《领跑高中》物理二轮复习 专题一 力与运动 第3讲 抛体运动与圆周运动（教师用书）

第3讲　抛体运动与圆周运动
1.（2024·海南高考3题）如图，在跨越河流表演中，一人骑车以v0＝25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽度为d＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2，则两平台的高度差h为（　　）
A.0.5 m B.5 m
C.10 m D.20 m
解析：B　平抛运动h＝5 m，B正确。
2.（多选）（2024·江西高考8题）一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是（　　）
解析：AD　由于小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为一定值，则有x＝vxt，A可能正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则有y＝v0yt－gt2，vy＝v0y－gt，且vy最终减为0，B错误，D可能正确。
3.（2024·广东高考5题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　）
A.r B.l
C.r D.l
解析：A　由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，由弹簧的弹力提供向心力，有F＝mlω2，对卷轴，有v＝rω，联立解得v＝r，故选A。
4.（2024·浙江1月选考8题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（　　）
A. B.
C. D.（＋1）D
解析：C　设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋＝v0，解得v0＝，故选C。
考点一　曲线运动　运动的合成与分解
1.合外力方向与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的凹侧。
2.合力方向与速率变化的关系
3.运动的合成与分解：根据运动的实际效果分解。位移、速度、加速度的合成与分解都遵循平行四边形定则。
【例1】　（2023·辽宁高考1题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（　　）
答案：A
解析：篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向合力指向的一侧发生偏转，故B、C、D错误，A选项符合题意。
【例2】　如图所示，套在光滑竖直杆上的物体A，通过轻质细绳跨过光滑定滑轮与光滑水平面上的物体B相连接，A、B质量相同。现将A从与B等高处由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g，当细绳与竖直杆间的夹角为θ＝60°时，A下落的高度为h，此时物体B的速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：设物体A下落高度为h时，物体A的速度大小为vA，物体B的速度大小为vB，此时有vA＝＝2vB，物体A、B组成的系统机械能守恒，则有mgh＝m＋m，联立方程解得vB＝，故选A。
考点二　抛体运动
1.平抛运动（类平抛运动）问题的求解方法
2.斜抛运动（类斜抛运动）的处理方法
（1）斜抛运动是匀变速曲线运动，以斜上抛运动为例（如图所示）
速度：vx＝v0cos θ，
vy＝v0sin θ－gt
位移：x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2。
（2）当物体做斜上抛运动至最高点时，运用逆向思维，可转化为平抛运动。
【例3】　（多选）（2024·福建福州模拟）在某次飞镖锦标赛中，飞镖先后两次的抛出点在同一竖直线上的A、B两点，将飞镖沿水平方向抛出后，飞镖均扎在靶心处，两飞镖的轨迹如图乙中曲线1、2所示，飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角分别为α、β。已知AB、BO的竖直高度相同，飞镖可视为质点，空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（　　）
A.飞镖先后两次在空中的运动时间之比为∶1
B.飞镖先后两次抛出时的初速度大小之比为∶1
C.α＝2β
D.tan α＝2tan β
答案：AD
解析：飞镖先后两次在空中做平抛运动，竖直方向有2h＝g，h＝g，则在空中的运动时间之比为t1∶t2＝∶1，故A项正确；水平方向有x＝v1t1，x＝v2t2，飞镖先后两次抛出时的初速度大小之比为v1∶v2＝1∶，故B项错误；轨迹为曲线1的飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角的正切值为tan α＝，轨迹为曲线2的飞镖扎在靶上瞬间的速度与水平方向的夹角的正切值为tan β＝，则tan α＝2tan β，故D项正确；设φ＝2β，根据二倍角公式tan φ＝，可知α≠2β，故C项错误。
【例4】　（多选）（2024·山东高考12题）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A.运动时间为2 s
B.落地速度与水平方向夹角为60°
C.重物离PQ连线的最远距离为10 m
D.轨迹最高点与落点的高度差为45 m
答案：BD
解析：重物从P点运动到Q点的过程，水平方向上有x＝v0tcos 30°，竖直方向上有y＝－v0tsin 30°＋gt2，由几何关系有＝tan 30°，联立解得重物的运动时间t＝4 s，A错误；结合A项分析可知，重物落地时的水平分速度vx＝v0cos 30°，竖直分速度vy＝－v0sin 30°＋gt，则tan θ＝＝，所以重物的落地速度与水平方向夹角为60°，B正确；对重物从P点运动到Q点的过程，垂直于PQ连线方向有（v0sin 60°）2＝2ghmcos 30°，解得重物离PQ连线的最远距离hm＝10 m，C错误；结合B项分析，竖直方向上有＝2gym，联立解得重物轨迹最高点与落点的高度差ym＝45 m，D正确。
【例5】　（2024·河北保定二模）在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕。如图所示，排球场的宽为d，长为2d，球网高为，发球员在底线中点正上方的O点将排球水平击出，排球恰好擦着网落在对方场地边线上的E点，ED＝，不计空气阻力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A.O点距地面的高度为 B.排球做平抛运动的时间为
C.排球击出时的速度大小为 D.排球着地时的速度大小为2
答案：A
解析：排球做平抛运动的轨迹在地面上的投影为O'E，显然＝＝，所以排球在左、右场地运动的时间之比为1∶2，设排球做平抛运动的时间为3t，有H＝g（3t）2，＝g（3t）2－g（2t）2，解得H＝，3t＝，选项A正确，B错误；排球击出时的速度大小v0＝＝，选项C错误；排球着地时的速度大小v＝＝，选项D错误。
考点三　圆周运动
1.解决圆周运动问题的主要步骤
2.求解竖直平面内圆周运动问题的思路
【例6】　（多选）（2024·广东三模）如图所示，配有转盘的中式圆餐桌是我国的传统家具。质量为m的小碗（可视为质点）放在水平转盘边缘上随转盘一起由静止缓慢加速转动，若小碗与转盘以及桌面间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，转盘的半径为r，餐桌的半径为R，重力加速度为g，转盘与桌面的高度差不计，下列说法正确的是（　　）
A.当转盘的角速度增至时，小碗相对转盘开始滑动
B.小碗由静止到即将滑动的过程中，转盘对小碗做的功为μmgr
C.若R＝r，小碗最终会从桌面滑落
D.若小碗未滑离桌面，则R不会小于r
答案：BD
解析：小碗即将滑动时有μmg＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝，故A错误；根据动能定理可得W＝mv2＝μmgr，故B正确；小碗滑动后沿转盘边缘滑出，若未能滑到桌面边缘，根据牛顿第二定律可得μmg＝ma，由x＝＝r＜＝r，可知小碗不会从桌面边缘滑落，故C错误；小碗未滑离桌面需满足R≥＝r，故D正确。
【例7】　（2024·山东青岛一模）很多青少年在山地自行车上安装了气门嘴灯，夜间骑车时犹如踏着风火轮，格外亮眼。图甲是某种自行车气门嘴灯，气门嘴灯内部开关结构如图乙所示，弹簧一端固定，另一端与质量为m的小滑块（含触点a）连接，当触点a、b接触，电路接通使气门嘴灯发光，触点b位于车轮边缘。车轮静止且气门嘴灯在最低点时触点a、b距离为L，弹簧劲度系数为，重力加速度大小为g，自行车轮胎半径为R，不计开关中的一切摩擦，滑块和触点a、b均可视为质点。
（1）若自行车匀速行驶过程中气门嘴灯可以一直亮，求自行车行驶的最小速度；
（2）若自行车以的速度匀速行驶，求车轮每转一圈，气门嘴灯的发光时间。
答案：（1）　（2）
解析：（1）只要气门嘴灯位于最高点时a、b接触即可保证全程灯亮，弹簧原长时a、b间的距离为＋L＝2L
气门嘴灯位于最高点时，对于小滑块，有mg＋2kL＝
解得满足要求自行车行驶的最小速度为v＝。
（2）速度为时轮子滚动的周期为T＝＝
此速度下气门嘴灯所需的向心力为Fn＝m＝2mg，
此力恰好等于a、b接触时弹簧的弹力，即无重力参与向心力，对应与圆心等高的点，故当气门嘴灯位于下半圆周时灯亮，即t＝＝。
【例8】　（2024·江西高考14题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图a、b所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图a中，若圆盘在水平雪地上以角速度ω1匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径为r1的匀速圆周运动。求AB与OB之间夹角α的正切值。
（2）将圆盘升高，如图b所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做半径为r2的匀速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为θ，绳子在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角为β。求此时圆盘的角速度ω2。
答案：（1）　（2）
解析：（1）对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需的向心力，如图所示。
设转椅的质量为m，则
转椅所需的向心力Fn1＝mr1
转椅受到的摩擦力f1＝μmg
根据几何关系有tan α＝
联立解得tan α＝。
（2）转椅在题图b情况下所需的向心力Fn2＝mr2
转椅受到的摩擦力f2＝μN2
根据几何关系有tan β＝
竖直方向上由平衡条件有N2＋Tcos θ＝mg
水平面上有f2＝Tsin θsin β
联立解得ω2＝。
1.解决三维空间中抛体运动的方法
（1）明确题意，形成运动轨迹在空间分布情况的一个轮廓。
（2）以抛出点为坐标原点，根据运动情境建立三维直角坐标系。
（3）确定每个坐标轴上的受力特点，明确各自的运动性质。
（4）依据已知条件，运动学公式找出各个坐标轴的位移、速度、加速度大小。
（5）利用合成与分解知识确定研究的问题。
（6）注意：合成与分解思想要穿插在解题的各个环节中。
【典例1】　（多选）如图所示，某同学将离地1.25 m的网球以13 m/s的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离4.8 m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45 m的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直于墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取10 m/s2，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A.v＝5 m/s B.v＝3 m/s
C.d＝3.6 m D.d＝3.9 m
答案：BD
解析：设网球飞出时的速度为v0，竖直方向＝2g（H－h），代入数据得v0竖直＝ m/s＝12 m/s，则v0水平＝ m/s＝5 m/s，网球水平方向到P点的距离x水平＝v0水平t＝v0水平·＝6 m，根据几何关系可得打在墙面上时，垂直于墙面的速度分量v0水平⊥＝v0水平×＝4 m/s，平行墙面的速度分量v0水平∥＝v0水平×＝3 m/s，反弹后，垂直于墙面的速度分量v水平⊥'＝0.75×v0水平⊥＝3 m/s，则反弹后的网球速度大小为v水平＝＝3 m/s，网球落到地面的时间t'＝＝ s＝1.3 s，着地点到墙壁的距离d＝v水平⊥'t'＝3.9 m，故B、D正确，A、C错误。
2.解决斜面上圆周运动的临界问题的方法
在处理斜面上圆周运动的临界问题时，可能需要考虑物体在最高点和最低点的受力情况，特别是当物体即将离开斜面或保持在斜面上的瞬间。这时，摩擦力的作用尤为关键，因为它决定了物体是否能保持在其位置上。通过仔细分析这些临界状态下的受力情况，可以有效地解决这类问题。
【典例2】　（多选）某国家体育训练基地中有一台我国自主研发，世界首创的转盘滑雪训练机。运动员的某次训练过程可简化为如图所示的模型，转盘滑雪训练机绕垂直于盘面的固定转轴以恒定的角速度转动，盘面边缘处离转轴距离为r的运动员（可视为质点）始终相对于盘面静止。已知运动员的质量为m，运动员运动到最高点时恰好不受摩擦力，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为θ，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　）
A.圆盘的角速度大小为
B.运动员在最低点受到的摩擦力大小为2mgsin θ
C.运动员与盘面间的动摩擦因数可能小于tan θ
D.若仅减小圆盘的转速，则运动员可能相对于圆盘滑动
答案：AB
解析：运动员运动到最高点时恰好不受摩擦力，则有mgsin θ＝mω2r，解得圆盘的角速度大小为ω＝，故A正确；当运动员在最低点时受到的摩擦力最大，根据牛顿第二定律可得fm－mgsin θ＝mω2r，解得fm＝mgsin θ＋mω2r＝2mgsin θ，又fm＝μFN＝μmgcos θ可得运动员与盘面间的动摩擦因数应满足μ≥2tan θ，故B正确，C错误；若仅减小圆盘的转速，即角速度减小，运动员在最低点时有fm'＝mgsin θ＋mω2r，可知随着角速度的减小，运动员在最低点受到的静摩擦力减小，当角速度减小为0时，根据受力平衡可知，摩擦力大小为f＝mgsin θ＜fm＝2mgsin θ，可知运动员不可能相对于圆盘滑动，故D错误。
1.（2024·辽宁葫芦岛一模）在广东珠海举行的第十四届中国国际航空航天博览会上，身披七彩祥云的“歼-20”惊艳亮相珠海上空。在起飞一段时间内，“歼-20”水平方向做匀速直线运动，竖直向上运动的v2-h图像如图所示，则地面上观众看到的“歼-20”运动轨迹正确的是（　　）
解析：A　根据题意可知“歼-20”水平方向做匀速直线运动，由v2-h图像可知竖直方向向上做匀速直线运动，得合运动为匀速直线运动，由速度的合成得方向斜向上，故选A。
2.（2024·湖南岳阳预测）阴历正月十五放花灯，称为灯节，或称“元宵节”。这一天，人们将制作好的花灯，点上蜡烛，放入河中漂流，供大家欣赏。若河水各点流速与该点到较近河岸边的距离成正比，现将花灯以一定速度垂直于河岸推出去，假设花灯垂直于河岸的速度不变，则花灯到达对岸的运动路径正确的是（　　）
解析：B　设垂直于河岸的速度为v0，河宽为2d，花灯与河岸的距离为x（x≤d），则花灯沿水流方向的速度为v水＝kx，垂直于水流方向有x＝v0t，则有a＝＝＝kv0可知，加速度为一恒定值，且推出花灯处的加速度方向沿水流方向，靠近对岸位置加速度方向与水流方向相反，故花灯在从推出位置到河中间的运动为类平抛运动，从河中间到对岸的轨迹与该运动轨迹对称，根据加速度方向与合力方向相同，合力方向指向轨迹凹侧可知B项符合要求。
3.如图所示，某人以不同速度向对面的山坡上水平抛出两个质量不等的石块，分别落到A、B两处。不计空气阻力，则落到B处的石块（　　）
A.初速度大，运动时间短
B.初速度大，运动时间长
C.初速度小，运动时间短
D.初速度小，运动时间长
解析：A　落到B处的石块下落的高度较小，根据h＝gt2知，运动时间较短；根据初速度v0＝知，落在B处的石块水平位移大，运动时间短，则初速度较大。故选A。
4.A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动（如图），在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们（　　）
A.周期大小之比为3∶4
B.向心加速度大小之比为2∶1
C.运动半径之比为9∶8
D.线速度大小之比为3∶4
解析：B　相同时间内运动方向改变的角度之比是3∶2，可知转过的角度之比为3∶2，根据ω＝可知，角速度之比为3∶2，根据T＝可知，周期大小之比为2∶3，选项A错误；相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，根据v＝，可知线速度大小之比为4∶3，根据an＝ωv可知，向心加速度大小之比为2∶1，选项B正确，D错误；根据r＝可知，运动半径之比为8∶9，选项C错误。
5.2024年6月7日是全国高考日，如图甲所示的是某地消防车为高考学子们准备的最高礼仪“过水门”，寓意着鲤鱼跃龙门，祝所有考生金榜题名！其中一辆消防车喷出的水柱如图乙所示，A点为喷水口，B点为水柱与A等高点，水柱最高点到地面的距离为h，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A.水在空中处于超重状态
B.h越大，水在空中运动的时间越短
C.不论h为多大，水在空中运动的时间相同
D.水从A点运动到B点的时间为A点运动到最高点时间的2倍
解析：D　水柱中的水在空中处于失重状态，A错误；水柱最高点离地越高，水在空中运动的时间越长，B、C错误；根据斜抛运动的对称性，可知水从A点运动到B点的时间为A点运动到最高点时间的2倍，D正确。
6.（多选）（2024·福建厦门三模）将扁平的石子向水面快速抛出，石子可能会在水面上一跳一跳地飞向远方，俗称“打水漂”。石子接触水面时速度方向与水面的夹角越小，从水面跳起产生的“水漂”效果越明显。将一石子水平抛出，不计石子在空中飞行时的空气阻力，为了观察到明显的“水漂”效果，则应（　　）
A.适当增加出手的高度 B.适当减小出手的高度
C.适当增加出手的速度 D.适当减小出手的速度
解析：BC　令石子接触水面时速度方向与水面的夹角为θ，石子水平抛出的速度为v0，石子竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2，石子接触水面时，有tan θ＝＝，解得tan θ＝，可知，出手高度越大，石子接触水面时速度方向与水面的夹角越大，根据题意可知，为了观察到明显的“水漂”效果，则应适当减小出手的高度，故A错误，B正确；结合上述可知，石子出手速度越大，石子接触水面时速度方向与水面的夹角越小，可知，为了观察到明显的“水漂”效果，则应适当增加出手的速度，故C正确，D错误。
7.有一竖直转轴，转轴上不同高度处的两点分别系有一长为2l和l的细绳，细绳另一端分别系有质量均为m的小球A和B，与A球相连的绳子系得更高，将小球放置在光滑的水平桌面上，使小球随转轴一起转动，现逐渐增大转轴的转速，直到两小球均离开桌面，则下列说法正确的是（　　）
A.B球比A球先离开桌面
B.两球同时离开桌面
C.将与A球连接的绳子更换为3l长，则A球将后离开桌面
D.将与A球连接的绳子更换为3l长，A球两次离开桌面时的转速相同
解析：D　小球刚离开桌面时，设绳子与竖直方向夹角为θ，则mgtan θ＝mω2R，又tan θ＝，联立可得ω2＝，A球绳子悬点更高，故A球先离开桌面，离开桌面时的角速度与绳长无关，故A、B、C错误，D正确。
8.为加大生态环保力度，打赢污染防治攻坚战，某工厂坚决落实有关节能减排政策，该工厂水平的排水管道满管径工作，减排前后，落水点距出水口的水平距离分别为x0、x1，则减排前后相同时间内的排水量之比是多少？
答案：
解析：设水下落的高度为h，则竖直方向有h＝gt2，故下落高度相同，水流入下方的时间相同，水平方向有x＝vt，减排前后出水口处水的流速之比就等于水平位移之比，所以减排前后相同时间内的排水量之比就等于水平位移之比，即为。
9.（2024·浙江温州三模）如图所示，将两小沙包a、b以不同的初速度分别从A、B两处先后相差0.5 s水平相向抛出，同时落在水平面同一处，且速度方向与竖直方向夹角相等。两小沙包a、b视为质点，并在同一竖直面内运动，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A.A处比B处高1.25 m
B.若将两沙包同时水平抛出，落地前可能会相遇
C.若已知B处高度和沙包b的下落时间，可求出A、B的水平距离
D.若已知A处高度和沙包a的初速度，可求出A、B的水平距离
解析：D　设沙包b下落时间为t，则沙包a下落时间为（t＋0.5 s），A处比B处高为Δh＝g（t＋0.5 s）2－gt2，由此可知Δh＞1.25 m，故A错误；根据平抛运动的轨迹可知，在落地前两沙包不会相遇，故B错误；由于速度方向与竖直方向夹角相等，则＝，A、B的水平距离为x＝vbt＋va（t＋0.5 s），由此可知，需要已知沙包的下落时间和初速度，平抛运动的下落时间与高度有关，故C错误，D正确。
10.（2024·辽宁大连二模）2028年奥运会新增壁球运动项目。如图所示，运动员从A点将球斜向上击出，水平击中墙上B点反弹后又水平飞出，落到C点，BB'竖直，AB'C三点在同一水平面上，B'C垂直于AC。不计空气阻力，球碰撞B点前后的速度大小分别为v1、v2，球在AB、BC两段运动时间分别为t1、t2，则正确的是（　　）
A.v1＝v2 B.v1＜v2 C.t1＞t2 D.t1＝t2
解析：D　依题意，球在AB段做斜抛运动，看成反方向的平抛运动，则有hBB'＝g，球在BC段做平抛运动，有hBB'＝g，联立解得t1＝t2，故C错误，D正确；球在AB段水平方向，有xAB'＝v1t1，球在BC段水平方向，有xCB'＝v2t2，由图可知xAB'＞xCB'，联立解得v1＞v2，故A、B错误。
11.（2024·山东烟台三模）跑酷，又称自由奔跑，是一种结合了速度、力量和技巧的极限运动。如图甲所示的是一城墙的入城通道，通道宽度L＝6 m，一跑酷爱好者从左墙根由静止开始正对右墙加速运动，加速到M点时斜向上跃起，到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，P点距离地面高h＝0.8 m，然后立即蹬右墙壁，使水平方向的速度变为等大反向，并获得一竖直方向速度，恰好能跃到左墙壁上的Q点，P点与Q点等高，飞跃过程中跑酷爱好者距地面的最大高度为H＝2.05 m，重力加速度g取10 m/s2，整个过程中跑酷爱好者的姿态可认为保持不变，如图乙所示，则：
（1）跑酷爱好者助跑的距离是多少？
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小是多少？
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值是多少？
答案：（1）3.6 m　（2） m/s　（3）
解析：（1）跑酷爱好者到达右墙壁P点时，竖直方向的速度恰好为零，根据逆向思维可知，从M点到P点的逆过程为平抛运动，则h＝g，从P点到Q点的过程为斜抛运动，根据对称性可得H－h＝g，L＝v0t2，解得t1＝0.4 s，t2＝1 s，v0＝6 m/s，跑酷爱好者助跑的距离为x＝L－v0t1＝3.6 m。
（2）跑酷爱好者刚离开墙壁时竖直方向的速度大小为vy＝g×＝5 m/s，跑酷爱好者刚离开墙壁时的速度大小为v＝＝ m/s。
（3）跑酷爱好者刚离开P点时的速度方向与竖直方向夹角的正切值为tan θ＝＝。
12.电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离L＝60 m，灭火弹出膛速度v0＝50 m/s，方向与水平面夹角θ＝53°，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能E＝CU2，转化为灭火弹动能的效率η＝15％，灭火弹的质量为3 kg，电容C＝2.5×104 μF，电容器工作电压U应设置为多少？
答案：（1）60 m　（2）1 000 V
解析：（1）灭火弹离开炮口后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向上做竖直上抛运动。则灭火弹在水平方向上有vx＝v0cos 53°＝30 m/s，
灭火弹从离开炮口到击中高楼所用的时间
t＝＝ s＝2 s，
在竖直方向上有vy＝v0sin 53°＝40 m/s，
灭火弹击中高楼位置距地面的高度H＝vyt－gt2，
代入数据解得H＝60 m。
（2）由题意可知ηE＝ m，
解得E＝25 000 J，
又E＝ CU2，
代入数据解得U＝1 000 V。
13.如图所示的是跳台滑雪轨道简化模型，AB段光滑曲面为加速滑道，BCD段圆弧滑道为半径r＝16 m的姿态调整滑道，左侧与AB段平滑连接，右侧与水平跳台DE连接，EF段为倾角30°的速降斜坡。质量为60 kg的滑雪运动员从加速滑道滑下后到达圆弧轨道的最低点C点时的速度大小v1＝20 m/s，经过D点时的速度大小为v2＝15 m/s，运动员整个运动过程的最高点P恰好在E点的正上方h＝7.2 m处，最后落在斜坡上的Q点。已知重力加速度为10 m/s2，不计空气阻力，速降斜坡足够长，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力；
（2）水平平台DE的长度；
（3）经过P点之后，运动员距斜坡的最远距离（结果用根式表示）。
答案：（1）2 100 N，方向竖直向上　（2）10.8 m
（3） m
解析：（1）在C点，对运动员，由牛顿第二定律有FN－mg＝
解得FN＝2 100 N
即运动员在C点时受到圆弧轨道的弹力大小为2 100 N，方向竖直向上。
（2）设运动员在由D点飞出时速度与水平方向成α角，从D点运动到P点的过程中，竖直方向有（v2sin α）2＝2gh，v2sin α＝gt1
水平方向有xDE＝v2t1cos α
解得α＝53°，xDE＝10.8 m。
（3）运动到P点的速度vP＝v2cos α
对其垂直于斜坡方向分解vy＝vPsin θ，ay＝gcos θ
当垂直于斜坡方向上的速度减为0时，距离斜坡最远，由几何关系可知d＝hcos θ＋H
其中＝2ayH
解得d＝ m。
14.单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。某次练习过程中，运动员以vM＝10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，速度方向与轨道边缘线AD的夹角α＝72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2， sin 72.8°＝0.96，cos 72.8°＝0.30。求：
（1）运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；
（2）M、N之间的距离L。
答案：（1）4.8 m　（2）12 m
解析：（1）在M点，设运动员在ABCD面内垂直于AD方向的分速度为v1，由运动的合成与分解规律得v1＝vMsin 72.8°　①
设运动员在ABCD面内垂直于AD方向的分加速度为a1，由牛顿第二定律得mgcos 17.2°＝ma1　②
由运动学公式得d＝　③
联立①②③式，代入数据得d＝4.8 m　④
（2）在M点，设运动员在ABCD面内平行AD方向的分速度为v2，由运动的合成与分解规律得
v2＝vMcos 72.8°　⑤
设运动员在ABCD面内平行AD方向的分加速度为a2，由牛顿第二定律得mgsin 17.2°＝ma2　⑥
设腾空时间为t，由运动学公式得t＝　⑦
L＝v2t＋a2t2　⑧
联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得L＝12 m　⑨
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