二次函数重难点专题训练卷（2）
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二次函数重难点专题训练卷（2）
班级 姓名
选择题
1、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）21教育名师原创作品
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
3、已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）
A．m=n B．m=n C．m=n2 D．m=n2
4、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）
A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
5、已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ）
A． B． C． D．2
6、已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
7、若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
8、在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
二、填空题
9、设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ．
10、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 （填写序号）
解答题
11、二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）。
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数的图象。
12、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
13、如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
14、如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
15、抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，
① 求该抛物线的解析式；
② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．21世纪教育网版权所有
16、如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N． 21cnjy.com
（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数． 21·世纪*教育网
17、已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．【版权所有：21教育】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．21*cnjy*com
①当点F为M′O′的中点时，求t的值；
②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
18、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）2-1-c-n-j-y
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
二次函数重难点专题训练卷（2）
答案详解
一、选择题
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）www.21-cn-jy.com
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，
h==，
∵PD∥BC，
∴=，
∴AD=2x，AP=x，
∴S1+S2=?2x?x+（2﹣1﹣x）?=x2﹣2x+4﹣=（x﹣1）2+3﹣，
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，
当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．
故选C．
3、已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）2·1·c·n·j·y
A．m=n B．m=n C．m=n2 D．m=n2
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），
∴点A、B关于直线x=﹣对称，
∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），
将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，
∵b2=4c，
∴m=n2，
故选D．
4、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，
∴2a+b=0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误；
∵A点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
∴选项C错误；
当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴选项D正确．
故选D．
5、已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C（﹣1，4），
如图所示，作CD⊥AB于D．
在RT△ACD中，tan∠CAD===2，
故答案为D．
6、已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，
∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，
∴m+n=2a，mn=2，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，
∵a≥2，
∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，
故选A．
7、若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．
故选：C．
8、在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．
又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．
A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；
D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．
故选：D．
二、填空题
9、设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ﹣ ．
【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
∴+===﹣．
故答案为：﹣．
10、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 ①③ （填写序号）
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc）， 21*cnjy*com
∴
∴bc＞0，故①正确；
∴a＞1时，则b、c均小于0，此时b+c＜0，
当a=1时，b+c=0，则与题意矛盾，
当0＜a＜1时，则b、c均大于0，此时b+c＞0，
故②错误；
∴x2+（a﹣1）x+=0可以转化为：x2+（b+c）x+bc=0，得x=b或x=c，故③正确；
∵b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根，
∴a﹣b﹣c=a﹣（b+c）=a+（a﹣1）=2a﹣1，
当a＞1时，2a﹣1＞3，
当0＜a＜1时，﹣1＜2a﹣1＜3，
故④错误；
故答案为：①③．
解答题
11、二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）。
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数的图象。
【解答】 解：（1）∵二次函数的图象经过点（4，3），（3，0），
∴，解得。
（2）∵该二次函数为。
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，－1），对称轴为x=1。
（3）列表如下：
x
···
0
1
2
3
4
···
y
···
3
0
1
0
3
···
描点作图如下：
12、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=或x=，
∴A（，0），B（，0）；
令x=0，则y=，
∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），
∴E点的坐标为（m， m），
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，
∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为（，）．
13、如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；21·cn·jy·com
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，
则有解得
∴二次函数y=x2﹣2x，
（2）由（1）得，B（1，﹣1），
∵A（﹣1，3），
∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，
设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或
∴P（1+，2）和（1﹣，2）
②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或
∴P（1+，4）或（1﹣，4）．
（3）设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，
∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，
由解得，
∴OM==，ON=m?，
∴=，
∴k=时， =．
∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．
14、如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，
∴点A纵坐标为﹣3，
y=﹣3时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，
∴点A坐标（m，﹣3），
∴AC=m，
∴BE=2AC=2m．
（2）∵m=，
∴点A坐标（，﹣3），
∴直线OA为y=﹣x，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3，
∴点B坐标（2，3），
∴点D纵坐标为3，
对于函数y=﹣x，当y=3时，x=﹣，
∴点D坐标（﹣，3）．
∵对于函数y=x2﹣x﹣3，x=﹣时，y=3，
∴点D在落在抛物线上．
（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四边形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵?DE?EO=?GB?GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴==，
∵点B坐标（2m，2m2﹣3），
∴OC=2OE，
∴3=2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m=．
②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），
∴直线AE解析式为y=﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为y=x，
由消去y得到﹣2mx+2m2﹣3=x，解得x=，
∴点M横坐标为，
∵△AMF的面积=△BFG的面积，
∴?（+3）?（m﹣）=?m??（2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2=0，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
15、抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，
① 求该抛物线的解析式；
② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 （1）①y＝x2-；②点D的坐标为(-1，-3)或(，)；（2）是定值，等于2
【解析】解：（1）①将P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得
，解得 ，抛物线的解析式为： ．
②如图：
由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P(1，－3)得D(-1，-3)；
如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP，
设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线PD2为 ，再联立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ）www-2-1-cnjy-com
∴点D的坐标为(-1，-3)或（ ）
（2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，过点P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易证：△PAH∽△EAO，则 即，∴，
同理得∴，∴，则OE＋OF＝
∴，又OC＝－c,∴.
∴是定值，等于2．
16、如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．
（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．
【解答】（1）解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标（0，1），
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），
故N的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．
（2）∵A（﹣1，0），B（1，0），
∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2，
∴当PO最大时PA2+PB2最大．如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，
∴OP的最大值=OC+PO=+1，
∴PA2+PB2最大值=2（+1）2+2=38+4．
（3）M与N所围成封闭图形如图所示，
由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．
17、已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．21教育网
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．
①当点F为M′O′的中点时，求t的值；
②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），
∴y=﹣x2+x+2．
（2）①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′．
∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，
∴==3，
∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，
∴△AOC∽△MNO，
∴∠OAC=∠NMO，
∵∠NMO+∠MON=90°，
∴∠MON+∠OAC=90°，
∴∠AGO=90°，
∴OM⊥AC，
∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，
∴O′M′∥OM，
∴O′M′⊥AC，
∵M′F=FO′，
∴EM′=EO′，
∵EN′∥CO，
∴=，
∴=，
∴EN′=（5﹣t），
在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，
∴（+t）2=1+（﹣t）2，
∴t=1．
②如图2中，
∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，
∴GH⊥AC，
∴∠GHE=90°，
∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，
∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，
∴△GHE∽△AOC，
∴==，
∴EG最大时，EH最大，
∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．
∴t=2时，EG最大值=，
∴EH最大值=．
∴t=2时，EH最大值为．
18、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB?OC=×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），
∵P点在第四限，
∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，
∴S△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?（OH+HB）=PM?OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，
即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；
（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，
则∠AGP=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AON和Rt△NOB中
∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，﹣1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，
∴直线m解析式为y=x﹣1，
即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．
班级 姓名
选择题
1、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象可能是（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）21教育名师原创作品
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
3、已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）
A．m=n B．m=n C．m=n2 D．m=n2
4、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）
A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
5、已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ）
A． B． C． D．2
6、已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
7、若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
8、在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
二、填空题
9、设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ．
10、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 （填写序号）
解答题
11、二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）。
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数的图象。
12、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
13、如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
14、如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
15、抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，
① 求该抛物线的解析式；
② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．21世纪教育网版权所有
16、如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N． 21cnjy.com
（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数． 21·世纪*教育网
17、已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．【版权所有：21教育】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．21*cnjy*com
①当点F为M′O′的中点时，求t的值；
②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
18、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）2-1-c-n-j-y
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
二次函数重难点专题训练卷（2）
答案详解
一、选择题
2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB边上一动点，PD⊥AC于点D，点E在P的右侧，且PE=1，连结CE．P从点A出发，沿AB方向运动，当E到达点B时，P停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是（ ）www.21-cn-jy.com
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB===2，设PD=x，AB边上的高为h，
h==，
∵PD∥BC，
∴=，
∴AD=2x，AP=x，
∴S1+S2=?2x?x+（2﹣1﹣x）?=x2﹣2x+4﹣=（x﹣1）2+3﹣，
∴当0＜x＜1时，S1+S2的值随x的增大而减小，
当1≤x≤2时，S1+S2的值随x的增大而增大．
故选C．
3、已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x1，m）、B（x1+n，m）两点，则m、n的关系为（ ）2·1·c·n·j·y
A．m=n B．m=n C．m=n2 D．m=n2
【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当x=﹣时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（x1，m），B（x1+n，m），
∴点A、B关于直线x=﹣对称，
∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m），
将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c，
∵b2=4c，
∴m=n2，
故选D．
4、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，
∴2a+b=0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误；
∵A点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，而b=﹣2a，
∴a+2a+c=0，
∴3a+c=0，
∴选项C错误；
当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴选项D正确．
故选D．
5、已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C（﹣1，4），
如图所示，作CD⊥AB于D．
在RT△ACD中，tan∠CAD===2，
故答案为D．
6、已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣3 D．0
【解答】解：∵m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，
∴m，n是关于x的方程x2﹣2ax+2=0的两个根，
∴m+n=2a，mn=2，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2=m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣4﹣4a+2=4（a﹣）2﹣3，
∵a≥2，
∴当a=2时，（m﹣1）2+（n﹣1）2有最小值，
∴（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值=4（a﹣）2+3=4（2﹣）2﹣3=6，
故选A．
7、若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．
故选：C．
8、在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y的最小值是﹣3 D．y的最小值是﹣4
【解答】解：y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1），
则该抛物线与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1．
又y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴该抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．
A、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
B、无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，故无法判断y1与y2的大小，故本选项错误；
C、y的最小值是﹣4，故本选项错误；
D、y的最小值是﹣4，故本选项正确．
故选：D．
二、填空题
9、设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则+的值为 ﹣ ．
【解答】解：∵方程x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，
∴x1+x2=，x1x2=﹣，
∴+===﹣．
故答案为：﹣．
10、已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是 ①③ （填写序号）
【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc）， 21*cnjy*com
∴
∴bc＞0，故①正确；
∴a＞1时，则b、c均小于0，此时b+c＜0，
当a=1时，b+c=0，则与题意矛盾，
当0＜a＜1时，则b、c均大于0，此时b+c＞0，
故②错误；
∴x2+（a﹣1）x+=0可以转化为：x2+（b+c）x+bc=0，得x=b或x=c，故③正确；
∵b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根，
∴a﹣b﹣c=a﹣（b+c）=a+（a﹣1）=2a﹣1，
当a＞1时，2a﹣1＞3，
当0＜a＜1时，﹣1＜2a﹣1＜3，
故④错误；
故答案为：①③．
解答题
11、二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）。
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数的图象。
【解答】 解：（1）∵二次函数的图象经过点（4，3），（3，0），
∴，解得。
（2）∵该二次函数为。
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，－1），对称轴为x=1。
（3）列表如下：
x
···
0
1
2
3
4
···
y
···
3
0
1
0
3
···
描点作图如下：
12、如图，抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E
（1）求直线BC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，
∴令y=0，可得x=或x=，
∴A（，0），B（，0）；
令x=0，则y=，
∴C点坐标为（0，），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x；
（2）设点D的横坐标为m，则纵坐标为（m，），
∴E点的坐标为（m， m），
设DE的长度为d，
∵点D是直线BC下方抛物线上一点，
则d=m+﹣（m2﹣3m+），
整理得，d=﹣m2+m，
∵a=﹣1＜0，
∴当m==时，d最大===，
∴D点的坐标为（，）．
13、如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；21·cn·jy·com
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值．
【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1，
则有解得
∴二次函数y=x2﹣2x，
（2）由（1）得，B（1，﹣1），
∵A（﹣1，3），
∴直线AB解析式为y=﹣2x+1，AB=2，
设点Q（m，0），P（n，n2﹣2n）
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有，解得或
∴P（1+，2）和（1﹣，2）
②当AB为边时，根据中点坐标公式得解得或
∴P（1+，4）或（1﹣，4）．
（3）设T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，
∴可以设直线TM为y=﹣x+b，则m2﹣2m=﹣m+b，b=m2﹣2m+，
由解得，
∴OM==，ON=m?，
∴=，
∴k=时， =．
∴当k=时，点T运动的过程中，为常数．
14、如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE=2AC．
（1）用含m的代数式表示BE的长．
（2）当m=时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．
（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G．
①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．
②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．
【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC，
∴点A纵坐标为﹣3，
y=﹣3时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得x=0或m，
∴点A坐标（m，﹣3），
∴AC=m，
∴BE=2AC=2m．
（2）∵m=，
∴点A坐标（，﹣3），
∴直线OA为y=﹣x，
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣3，
∴点B坐标（2，3），
∴点D纵坐标为3，
对于函数y=﹣x，当y=3时，x=﹣，
∴点D坐标（﹣，3）．
∵对于函数y=x2﹣x﹣3，x=﹣时，y=3，
∴点D在落在抛物线上．
（3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°，
∴四边形ECAG是矩形，
∴EG=AC=BG，
∵FG∥OE，
∴OF=FB，∵EG=BG，
∴EO=2FG，
∵?DE?EO=?GB?GF，
∴BG=2DE，
∵DE∥AC，
∴==，
∵点B坐标（2m，2m2﹣3），
∴OC=2OE，
∴3=2（2m2﹣3），
∵m＞0，
∴m=．
②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3），
∴直线AE解析式为y=﹣2mx+2m2﹣3，直线OB解析式为y=x，
由消去y得到﹣2mx+2m2﹣3=x，解得x=，
∴点M横坐标为，
∵△AMF的面积=△BFG的面积，
∴?（+3）?（m﹣）=?m??（2m2﹣3），
整理得到：2m4﹣9m2=0，
∵m＞0，
∴m=．
故答案为．
15、抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，
① 求该抛物线的解析式；
② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 （1）①y＝x2-；②点D的坐标为(-1，-3)或(，)；（2）是定值，等于2
【解析】解：（1）①将P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得
，解得 ，抛物线的解析式为： ．
②如图：
由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P(1，－3)得D(-1，-3)；
如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP，
设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线PD2为 ，再联立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ）www-2-1-cnjy-com
∴点D的坐标为(-1，-3)或（ ）
（2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，过点P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易证：△PAH∽△EAO，则 即，∴，
同理得∴，∴，则OE＋OF＝
∴，又OC＝－c,∴.
∴是定值，等于2．
16、如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．
（1）求N的函数表达式；
（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；
（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．
【解答】（1）解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标（0，1），
将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），
故N的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．
（2）∵A（﹣1，0），B（1，0），
∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2PO2+2，
∴当PO最大时PA2+PB2最大．如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，
∴OP的最大值=OC+PO=+1，
∴PA2+PB2最大值=2（+1）2+2=38+4．
（3）M与N所围成封闭图形如图所示，
由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．
17、已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．21教育网
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．
①当点F为M′O′的中点时，求t的值；
②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+），把点M（1，3）代入得a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣6）（x+），
∴y=﹣x2+x+2．
（2）①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′．
∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，
∴==3，
∴=，∵∠AOC=∠MON=90°，
∴△AOC∽△MNO，
∴∠OAC=∠NMO，
∵∠NMO+∠MON=90°，
∴∠MON+∠OAC=90°，
∴∠AGO=90°，
∴OM⊥AC，
∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，
∴O′M′∥OM，
∴O′M′⊥AC，
∵M′F=FO′，
∴EM′=EO′，
∵EN′∥CO，
∴=，
∴=，
∴EN′=（5﹣t），
在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′=（5﹣t），EO′=EM′=+t，
∴（+t）2=1+（﹣t）2，
∴t=1．
②如图2中，
∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，
∴GH⊥AC，
∴∠GHE=90°，
∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，
∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，
∴△GHE∽△AOC，
∴==，
∴EG最大时，EH最大，
∵EG=GN′﹣EN′=﹣（t+1）2+（t+1）+2﹣（5﹣t）=﹣t2+t+=﹣（t﹣2）2+．
∴t=2时，EG最大值=，
∴EH最大值=．
∴t=2时，EH最大值为．
18、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，
∴A点坐标为（﹣1，0），
∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，
∴S△ABC=AB?OC=×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC解析式为y=x﹣3，
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），则M点坐标为（x，x﹣3），
∵P点在第四限，
∴PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，
∴S△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?（OH+HB）=PM?OB=PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，
∴当x=时，PMmax=，则S△PBC=×=，
此时P点坐标为（，﹣），S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，
即当P点坐标为（，﹣）时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为；
（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，
则∠AGP=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AON和Rt△NOB中
∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，﹣1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得，解得，
∴直线m解析式为y=x﹣1，
即存在满足条件的直线m，其解析式为y=x﹣1．
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