浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷（培优卷）（含答案）

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浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷（培优卷）
（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分
1．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．某口袋中有10个球，其中白球有2个，绿球有5个，其余为黑球．从袋中任意摸出1个球，若为绿球，则甲获胜；若为黑球，则乙获胜．为使游戏对甲、乙双方公平，丙放入x个黑球，则x为（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．阴天会下雨
C．13名同学，至少有两人的出生月份相同
D．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
4．将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（ ）
A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2
6．已知圆心角为的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为．则这个圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
8．某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，和分别是，边上的高，且相交于F点，若，，则的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．如图，是的直径，是的弦，，E是上一点，且，连接交于点F，连接交于点G，若，，则长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．现有5包同一品牌的饼干，其中3包已过期，随机抽取2包，2包都过期的概率是 ．
12．一个不透明的箱子里装有蓝、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其他都相同．李明将球搅匀后从箱子中随机摸出1个球，记下颜色后，再将它放回，不断重复实验．多次实验结果如表，当摸球次数足够多时，摸到白球的频率将会稳定于 ．（精确到）
摸球次数 100 400 600 700 1000 1300 1500
白球频率
13．已知线段是线段、的比例中项，如果，，则 ．
14．如图，点、在上，点不与、重合，，则的度数是 ．
15．二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为 ．
16．已知函数（为常数），当时，函数的最大值与最小值之差为9，则的值为 ．
第II卷
浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷（培优卷）
（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中1个红球，2个白球．从中任意摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求：
(1)摸出的2个球都是白球的概率．
(2)摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率．
18．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
19．如图，中，为的直径，分别交于点D，E，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．如图，在中，点在的延长线上，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
21．如图，在中，，于点D，且，为上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若E为的中点，，求的长．
22．某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
24．已知是的外接圆，点是的中点．
(1)如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示；
(2)如图2，过点作，交弦的延长线于点．
①求证：；
②若的半径为4，，求的值；
(3)如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论．
25．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
(3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标．
参考答案
一、选择题
1—10：BDCDC BBBDC
二、填空题
11．
12．
13．
14．
15．3或-5
16．或．
三、解答题
17．【解】（1）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中摸出的2个球都是白球的结果有4种，
∴摸出的2个球都是白球的概率为．
（2）解：由树状图可知，摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的结果有4种，
∴摸出的2个球中，1个是白球，1个是红球的概率为．
18．【解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为；
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当时，．
∴y的值为．
19．【解】（1）证明：∵为的直径，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
连接，如图：
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．【解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解： 点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
过点D作，交于点G，则，，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即G为中点，
，
点为的中点，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
22．【解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意得，，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设每天获取的利润为W，
由题意得， ，
∵规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，
∴，
∴，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是元．
23．【解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
（2）解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
24．【解】（1）解：∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）①证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接交于，连接，
由（1）可知，，为的中点，
∵，
∴为的中点，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即；
，即；
∴，
解得，，
∴的值为；
（3）解：，证明如下；
如图3，作，使，连接，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
∵是半圆，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可知，，
∴，
由勾股定理得，，即．
25．【解】（1）解：由题意可得，，
解得，，
抛物线的解析式为：；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为：，
∴，
当时，，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
，
直线过点，则，
解得，，
直线，
如图1，分别过点，作轴，轴，与交于点，，
，
，
∵ 过点作轴与直线交于点，
∴，
，，
，
∴当时，，
，，
，
的值是一个定值，这个定值为；
（3）解：如图2，过点作于点，交轴于点，作，过点作交于点，
，
，点是的中点，
，，设直线的解析式为，
∴，
∴，
直线，
，，
∴，，
∴，且，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
直线，
联立，
解得，
，
，，设直线的解析式为，
∴，
解得，，
直线，
联立，
解得，
，
∵点是的中点，
∴由中点坐标公式可得，，
∴，
∴，
，
设直线的解析式为，
，
解得，，
，
直线的表达式为：，
联立，
解得，
．
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