浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（含答案）

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浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分)
1．已知，则下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件属于必然事件的是（ ）
A．随机掷一枚质地均匀的骰子一次，掷出的点数是1
B．车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C．任意画一个三角形，其内角和是
D．有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形
3．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙
4.若△ABC∽△ADE，相似比为1:2，若BC=1,则DE的长为（ ）
1 B. 2 C. 3 D. 4
5．下列说法中不在同一直线上的三点确定一个圆； 长度相等的两条弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等； 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；正确的说法有 （ ）个
A． B． C． D．
6．若函数y＝a是二次函数且图象开口向上，则a＝（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．4或3
7．从等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中随机抽取其中一个图形，再随机抽取一个其中图形（可重复抽取同1个图形），两次均为中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（　　）
A． B． C． D．
9．已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．
有下列结论：
①；②若点均在该二次函数图象上，则；
③方程的两个实数根为，且，则；
④若m为任意实数，则．其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．抛物线（a为常数，）的对称轴是 ．
12．一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是 ．
13．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ．
14．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 米．
15．若二次函数的部分图像如图所示，对称轴为直线，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解 ．
16．如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为 ．
第II卷
浙教版2025—2026学年九年级上册数学12月第三次月考模拟试卷培优卷（测试范围第一章二次函数到第四章相似三角形）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．已知二次函数经过和．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)当时，求该二次函数的最大值和最小值．
18．数学文化哥德巴赫猜想哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．数学兴趣小组准备了4张除正面外完全相同的卡片，上面分别写着质数2，3，5，7．
(1)小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为 ．
(2)小组成员从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
19．如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求．
20．如图，E是正方形的边上的动点，交于点F．
(1)求证： ；
(2)设正方形的边长为4，．请用含有的代数式表示．
21．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作出以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍的；
(2)分别写出三个点的坐标；
(3)设与的面积分别为求的值
22．某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件．
(1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为 件．
(2)请写出y与x的函数关系式．
(3)设每天的销售利润为w元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．已知：二次函数（m为常数）.
(1)求证：函数图象与x轴有两个交点.
(2)若函数图象经过点，，
①当时，，求函数表达式.
②当时，都有，请直接写出m的取值范围.
24．如图1，C，D是半圆上的两点，若直径上存在一点P，满足，则称是的“幸运角”．
(1)如图2，是的直径，弦，是弧上一点，连结交于点P，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
(2)如图3，是的直径，弦，是的“幸运角”， 的“幸运角”为．
①连结，求证： ．
②当直径，时，求的长．
25．已知关于的二次函数（为常数）
(1)若函数图象过点，对称轴为直线，求的值；
(2)若函数表达式可以改写成，求证：；
(3)设，在（）的条件下，当时，函数的最大值与最小值差为，求的最大值．
参考答案
一、选择题
1—10：CCBBA BAABC
二、填空题
11．
12．
13．4
14．
15．
16．
三、解答题:
17．【解】（1）解：∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）解：由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
18．【解】（1）解：根据题意：小组成员从中随机抽取1张卡片，卡片上的数字是偶数的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中和是偶数的结果共有6种，
∴ 这2张卡片上的数字之和是偶数的概率为 ．
19．【解】（1）证明：∵点、、在上，于点，
∴，
∴垂直平分，
∴．
（2）解：∵点在圆上，是的直径，
∴，
∵点在上，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．【解】（1）证明：四边形ABCD是正方形,
∴,
∴.
又,
∴,
∴.
∴；
（2）解：由(1)得
∴
得,
得
∴．
21．【解】（1）解：如图：即为所求，
（2）解：∵三个顶点的坐标分别为，，，是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的，
∴的三个点的坐标分别为，，，
（3）解：∵是以原点为位似中心，将在第一象限内放大2倍得到的，
∴与的位似比是，
∴与的面积比为．
22．【解】（1）解：∵销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，
∴当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为（件），
故答案为：200；
（2）解：设销售价格上涨元/件，
销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
其销售量；
（3）解：依题意可得每天的销售利润为，
∵
故当时，最大值，
但为偶数，当或时，有最大利润，
为了让利于顾客，
，符合题意，此时．
此时销售单价为（元），
∴每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是元．
23．【解】（1）解：∵，
∴．
∴函数图像与x轴有两个交点．
（2）解：①∵函数图像经过点，，，
∴，．
∵，
∴．
．
∴ ，或．
②∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线．
∴关于对称轴对称的点为．
∵，
∴点在对称轴右侧，y值随x的增大而减小．
∵，
∴当时，；
当时，．
综上所述，m的取值范围为，或．
24．【解】（1）是的“幸运角”．
弦 是的直径，
平分
为的垂直平分线，
，
是的“幸运角”
（2）连接
的幸运角为，
弦 是的直径，
平分
为的垂直平分线，
即
②如图，过点作于点，
弦 是的直径，
平分
为的垂直平分线，
∴
∴，
∵
由①可得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．【解】（1）解：∵函数图象过点，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
；
（2）证明：，函数表达式可以改写成，
，
∴，
；
（3）解：∵，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为，
∴当时，函数的最小值为，
∵函数的最大值与最小值差为，
∴函数的最大值为，
把代入，得，
解得，，
∵，
∴，，且两个等号至少有一个可取，
∴，，
∴的最大值．
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