成都市高2025级高一上期期末模拟考试试题
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1、命题“x>0，x>sinx”的否定是（ ）
A x≤0，x
0，x>sinx D x>0，x≤sinx
设向量=（12，n），=（-1，2），若//，则n=（ ）
A 6 B -6 C 24 D -24
3、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且cos=-，若角的终边上有一点P（x，-4），则x的值为（ ）
A 3 B -3 C 3 D 4
若函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数y=的定义域为（ ）
A [0，1）（1,2] B [0，1） C （1,2] D [0，1）（1,4]
5、已知一元二次方程+mx+1=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，则实数m的取值范围是（ ）
A （-，-2][2，+） B （-，-2）（2，+） C （-，-2] D（-，-2）
6、著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”如函数f(x)=的图像大致是（ ）
7、已知函数f(x)=lgx+2x-5的零点在区间（n-1，n）（n）内，则n=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
8、已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上单调递增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),则a，b，c的大小关系为（）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9、已知集合A ={1，a+2}，B ={1，2，}，若AB，则a的值可以为（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
10、已知函数f(x)=，则关于函数f(x)的说法正确的是（ ）
A 定义域为{x|x1且x-1} B 关于点（0，0）对称
C 在区间（1，+）上为增函数 D 值域为（-，-2]（0，+）
11、已知函数 f(x)=+x-2，g(x)=lnx+x-2，且 f(a)=g(b)=0，则下列结论正确的是（ ）
A a<1填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上。
12、已知y=f(x)是函数y=x（（a＞0,且a≠1））的反函数，则y=f(x)的图像经过的定点坐标为 。
13、已知函数f(x)=（x<0）与g(x)=ln（x+a）的图像上存在关于y轴对称的点，则a的
取值范围是 。
已知函数f(x)=sin(x+)(>0)在（-，）上单调，且将函数f(x)的图像向右
平移4个单位长度后与原来的图像重合，当x （0，4）时，使得不等式f(x) 成立的x的最大值为 。
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分13分）
已知全集U=R，集合A ={x|-3x-4<0}，B ={x|0（1）当m=3时，求（A）∩B；
（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围。
16、（本小题满分15分）
（1）若角满足0<<，且sin+cos=，求sincos，sin-cos的值；
（2）若集合A={x|a+1（本小题满分15分）
近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术。据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态项，可以用公式V=ln计算火箭的最大速度V（单位：m/s），其中（单位：m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s。参考数据：ln230=5.4，1.648<<1.649。
当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？
18、（本小题满分17分）
已知函数f(x)=1-2x，g(x)=x。
（1）求函数y=[f(x)]-6g(x)+3的零点；
（2）讨论函数h(x)=-[g(x)]-f(x)-k在[1，27]上的零点个数。
19、（本小题满分17分）
已知函数f(x)=a-，其中aR。
（1）判断并证明函数f(x)在（1，+∞）上的单调性；
（2）我们知道，函数y=g(x)的图像关于点P（m，n）成中心对称图形的充分必要条件是函数y=g(x+m)-n为奇函数，据此，求函数y=f(x)图像的对称中心；
（3）把集合{xI|（x）成都市高2025级高一上期期末考试数学模拟试题
答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1、命题“x>0，x>sinx”的否定是（ ）
A x≤0，x0，x>sinx D x>0，x≤sinx
【解析】
【考点】①全称量词定义与性质；②存在（或特称）量词定义与性质；③全称命题否定的基本方法。
【解题思路】根据全称量词和存在（或特称）量词的性质，运用全称命题否定的基本方法，结合问题条件确定出命题“x>0，x>sinx”的否定命题就可得出选项。
【详细解答】全称命题的否定命题是特称命题，同时结论也要否定，命题“x>0，
x>sinx”的否定命题是“x>0，x≤sinx”，D正确，选D。
2、设向量=（12，n），=（-1，2），若//，则n=（ ）
A 6 B -6 C 24 D -24
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②向量共线定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据平面向量和向量共线的性质，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，结合问题条件求出n的值就可得出选项。
【详细解答】向量=（12，n），=（-1，2），//，-n+24=0，解之得：n=24，C正确，选C。
3、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且cos=-，若角的终边上有一点P（x，-4），则x的值为（ ）
A 3 B -3 C 3 D 4
【解析】
【考点】①任意角余弦定义与性质；②确定任意角余弦在各个象限符号的基本方法。
【解题思路】根据任意角余弦的性质，运用确定任意角余弦在各个象限符号的基本方法，结合问题条件求出x的值就可得出选项。
【详细解答】cos=-<0，角的终边在第二象限或第三象限内，角的终边上有一点P（x，-4），角的终边在第三象限内，+16=25，x=-3，B正确，选B。
4、若函数y=f(x)的定义域为[0，4]，则函数y=的定义域为（ ）
A [0，1）（1,2] B [0，1） C （1,2] D [0，1）（1,4]
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②求函数定义域的基本方法。
【解题思路】根据函数定义域的性质，运用求函数定义域的基本方法，结合问题条件求出函
数y=的定义域就可得出选项。
【详细解答】函数y=f(x)的定义域为[0，4]，函数y=有意义，必有0≤2x≤4，且x-10，0≤x≤2，且x1，函数y=的定义域为 [0，1）（1,2] ，A正确，选A。
5、已知一元二次方程+mx+1=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，则实数m的取值范围是（ ）
A （-，-2][2，+） B （-，-2）（2，+） C （-，-2] D（-，-2）
【解析】
【考点】①一元二次方程定义与性质；②一元二次方程根的判别式及运用；③一元二次方程根与系数的关系定理及运用；④一元二次函数定义与性质。
【解题思路】根据一元二次方程和一元二次函数的性质，运用一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件得到关于m的不等式组，求解不等式组求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】一元二次方程+mx+1=0的两个不等实根都在区间（0，2），=-4>0①,4+2m+1=2m+5>0②，0<-m<4③，联立①②③解得：-6、著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”如函数f(x)=的图像大致是（ ）
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数定义域和奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件确定出函数f(x)的大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=的定义域为（-，0）（0，+），函数f(x)的定义域（-，0）（0，+）关于原点对称，f(-x)===f(x)，函数f(x)是偶函数，A，B错误；f(1)==0，x（0，1）时，f(x)<0，x（1，+）时，f(x)>0，且随自变量x的增大，函数f(x)的值无限接近于0，C错误，D正确，选D。
7、已知函数f(x)=lgx+2x-5的零点在区间（n-1，n）（n）内，则n=（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数零点存在定理及运用；③确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据函数零点的性质，运用函数零点存在定理和确定函数零点的基本方法，结合问题条件求出函数f(x)=lgx+2x-5的零点所在的区间，从而求出n的值就可得出选项。
【详细解答】f(2)=lg2+4-5=lg2-1<0，f(3)=lg3+6-5=lg3+1>0，函数f(x)=lgx+2x-5在
+）上单调递增，函数f(x)=lgx+2x-5的零点在区间（2，3）内，即函数f(x)=lgx+2x-5的零点在区间（3-1，3）内，n=3，B正确，选B。
8、已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上单调递增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),则a，b，c的大小关系为（）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③函数单调性定义与性质；④函数图像定义与性质；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数，指数，函数单调性和函数图像的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，b=f(2)=f(1-)=f(1
+)=f(),c=f()=f(1-6)=f(1+6)=f(12),1<<<<2<3<12，函数f(x)在[1，+）上单调递增， c>a>b ，A正确，选A。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9、已知集合A ={1，a+2}，B ={1，2，}，若AB，则a的值可以为（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①集合定义与性质；②子集定义与性质；③集合表示的基本方法。
【解题思路】根据集合和子集的性质，运用集合表示的基本方法，结合问题条件求出 a的值就可得出选项。
【详细解答】集合A ={1，a+2}，B ={1，2，}，若AB，a+2=2①，或=a+2，联立①②解得：a=-1，a=0，或a=2，当a=-1时，=1，此时B ={1，2，1}与集合元素的互异性不符，a的值可以为0，或2，B，D正确，选B，D。
10、已知函数f(x)=，则关于函数f(x)的说法正确的是（ ）
A 定义域为{x|x1且x-1} B 关于点（0，0）对称
C 在区间（1，+）上为增函数 D 值域为（-，-2]（0，+）
【解析】
【考点】①函数定义域定义与性质；②函数奇偶性定义与性质；③函数单调性定义与性质；④函数值域定义与性质；⑤判断函数奇偶性，求函数定义域和值域的基本方法。
【解题思路】根据函数定义域，函数奇偶性，函数单调性和函数值域的性质，运用判断函数奇偶性，求函数定义域和值域的基本方法，结合问题条件对各选项说法是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，数f(x)=有意义，必有|x|-10，解之得：x1且x-1，函数f(x)的定义域为{x|x1且x-1} ，A正确；对B，函数f(x)的定义域为{x|x1且x-1} 关于原点对称，f(-x)===f(x)，函数f(x)是偶函数，图像关于y轴对称，B错误；对C，函数f(x)在区间（1，+）上为减函数，C错误；对D，函数f(x)是偶函数，函数f(x)的值域与函数f(x)在区间 y
[0，1）（1，+）上的值域一致，作出
函数f(x)在区间[0，1）（1，+）上的图 0 1 x
像如图所示，由图知函数f(x)在区间上[0，1） -2
（1，+）的值域为（-，-2]（0，+），
函数f(x)的 值域为（-，-2]（0，+），D正确，综上所述，A，D正确，选A，
D。
11、已知函数 f(x)=+x-2，g(x)=lnx+x-2，且 f(a)=g(b)=0，则下列结论正确的是（ ）
A a<1【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②指数函数定义与性质；③对数函数定义与性质；④
④确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据函数零点，指数函数和对数的性质，运用确定函数零点的基本方法，结合问题条件，求出a，b的取值范围，从而判断各个选项结论的正确与错误就可得出选项。
【详细解答】如图，函数f(x)，g(x)在（0，+）上单调递增，函数f(x)，g(x)在（0，+）上都只有唯一零点分别为a ，b，f(0) =1+0-2=-1<0，f(1) =e+1-2=e-1>0，g(1)=0+1-2
=-1<0，g(2)=ln2+2-2=ln2>0，a<10，
g(a)f(1) >0， g(a)<01，
当时，g()<0，D错误，综上所述，A，B，C正确，选A，B，C。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上。
12、已知y=f(x)是函数y=x（（a＞0,且a≠1））的反函数，则y=f(x)的图像经过的定点坐标为 。
【解析】
【考点】①对数函数定义与性质；②反函数定义与性质；③指数函数定义与性质；④求已知函数反函数的基本方法。
【解题思路】根据对数函数，反函数和指数函数的性质，运用求已知函数反函数的基本方法，结合问题条件就可求出y=f(x)的图像经过的定点坐标。
【详细解答】y=f(x)是函数y=x（（a＞0,且a≠1））的反函数，函数y=f(x)=（a＞0,且a≠1）的图像经过的定点坐标为（0，1）
13、已知函数f(x)=（x<0）与g(x)=ln（x+a）的图像上存在关于y轴对称的点，则a的
取值范围是 。
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③轴对称图形定义与性质。
【解题思路】根据指数函数，对数函数和轴对称图形的性质，结合问题条件得到关于a的不
等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】如图，分别作出函数f(x)，g(x)
的图像如图所示，函数f(x)=（x<0）与
g(x)=ln（x+a）的图像上存在关于y轴对称的点， 0 1
g(x)=ln（x+a）<1，x+a14、已知函数f(x)=sin(x+)(>0)在（-，）上单调，且将函数f(x)的图像向右
平移4个单位长度后与原来的图像重合，当x （0，4）时，使得不等式f(x) 成立的x的最大值为 。
【解析】
【考点】①正弦三角函数定义与性质；②正弦型三角函数定义与性质；③处理正弦型三角函数的基本方法。
【解题思路】根据正弦三角函数和正弦型三角函数的性质，结合问题条件求出的值，从而求出函数f(x)的解析式，运用处理正弦型三角函数的基本方法，结合问题条件求出x的取值范围就可求出使得不等式f(x) 成立的x的最大值。
【详细解答】函数f(x)=sin(x+)(>0)在（-，）上单调，（-+，+）[2k-，2k+]或（-+，+）[2k+，2k+]，
0<<或0<< ，将函数f(x)的图像向右平移4个单位长度后与原来的图像重合， f(x-4)=sin[（x-4）+]= sin(x-4+)= sin(x+)，
x-4+=2k+x+， =-（kZ），>0，=，f(x)=sin(x+)
当x （0，4）时，x+（，2+），f(x) ，x+，
x，当x （0，4）时，使得不等式f(x) 成立的x的最大值为。
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分13分）
已知全集U=R，集合A ={x|-3x-4<0}，B ={x|0（1）当m=3时，求（A）∩B；
（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围。
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集定义与性质；③全集定义与性质；④补集定义与性质；⑤并集定义与性质；⑥一元二次不等式定义与性质；⑦求解一元二次不等式的基本方法；⑧集合运算的基本方法。
【解答思路】（1）根据全集，交集，补集和一元二次不等式的性质，运用求解一元二次不等式和集合运算的基本方法，结合问题条件就可求出（A）∩B；（2）根据并集和子集的性质，运用求解一元二次不等式和集合运算的基本方法，结合问题条件就可求出实数m的取值范围。
【详细解答】（1） 当m=3时，全集U=R，集合A ={x|-3x-4<0}={x|-116、（本小题满分15分）
（1）若角满足0<<，且sin+cos=，求sincos，sin-cos的值；
（2）若集合A={x|a+1【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②集合定义与性质；③子集定义与性质；④三角函数基本关系及运用；⑤表示集合的基本方法。
【解答思路】（1）根据任意角三角函数的性质，运用三角函数基本关系，结合问题条件就可求出sincos，sin-cos的值；（2）根据集合和子集的性质，运用表示集合的基本方法，结合问题条件得到关系a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的群众组织范围。
【详细解答】（1）角满足0<<，且sin+cos=，sincos=（-1）
=-，sin-cos===；（2）集合A={x|a+1-2}，B={x|-3x<0}={x|0（本小题满分15分）
近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术。据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态项，可以用公式V=ln计算火箭的最大速度V（单位：m/s），其中（单位：m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为2000m/s。参考数据：ln230=5.4，1.648<<1.649。
当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比最小整数值？
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②对数运算法则和基本方法。
【解题思路】（1）根据对数的性质，运用对数运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出A型火箭的最大速度；（2）根据对数的性质，运用对数运算法则和基本方法，结合问题条件就可求出在材料更新和技术改进前总质比最小整数值。
【详细解答】（1）=2000m/s，=230，V=ln=2000ln230=20005.4=10800（m/s），即A型火箭的最大速度为10800m/s；（2）A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的，=20001.5=3000（m/s），=，3000l
n-2000ln≥500，ln≥0.5，≥，≥27，1.648<
<1.649，44.496<27<44.523，即在材料更新和技术改进前总质比最小整数值45。
18、（本小题满分17分）
已知函数f(x)=1-2x，g(x)=x。
（1）求函数y=[f(x)]-6g(x)+3的零点；
（2）讨论函数h(x)=-[g(x)]-f(x)-k在[1，27]上的零点个数。
【解析】
【考点】①对数函数定义与性质；②函数零点定义与性质；③求函数零点的基本方法；④数学换元法运用；⑤确定函数在某区间上零点个数的基本方法；⑥参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】（1）根据对数函数的性质，结合问题条件得到关于x的方程，求解方程求出x的值，从而就可求出x的值就可求出函数y=[f(x)]-6g(x)+3的零点；（2）根据对数函数的性质，运用数学换元法，结合问题条件得到关于t的一元二次方程，利用参数分类讨论的原则和基本方法分别确定出数h(x)=-[g(x)]-f(x)-k在[1，27]上的零点个数就可得出问题的解答。
【详细解答】（1）函数f(x)=1-2x，g(x)=x，函数y=[f(x)]-6g(x)+3=4x
-10x+4==2（2x-5x+2）=2（2x-1）（x-2），令2（2x-1）（x-2）=0解得：x=，或x=2，x=，或x=9，函数y=[f(x)]-6g(x)+3的零点为x=，或x=9；（2）函数h(x)=-[g(x)]-f(x)-k=x+2x-1-k，设t
=x，x[1，27]，t[0，3]，函h(x)=-[g(x)]-f(x)-k=-x+2x-1-k
在[1，27]上零点的个数，函数h(t)=t-2t+1+k=0在[0，3]上零点的个数，函数y=t-2t+1与直线y=k在[0，3]上交点的个数，作出函数y=t y
-2t+1的图像如图所示，由图知，当k<-4或k>0时， 0 1 2 3 x
函数y=t-2t+1的图像与直线y=k在[0，3]上没有交 -1 y=k
点；当k=0或-4≤k<-1时，函数y=t-2t+1的图像与直 -2 y=t-2t+1
线y=k在[0，3]上只有一个交点；当-1≤k<0时，函数y -3
=t-2t+1的图像与直线y=k在[0，3]上有两个交点， -4
当k<-4或k>0时，函数h(x)=-[g(x)]-f(x)-k在[1，27]上没有零点；当k=0或-4≤k<-1时，函数h(x)=-[g(x)]-f(x)-k在[1，27]上只有一个零点；当-1≤k<0时，函数h(x)=-[g(x)]
-f(x)-k在[1，27]上有两个零点。
19、（本小题满分17分）
已知函数f(x)=a-，其中aR。
（1）判断并证明函数f(x)在（1，+∞）上的单调性；
（2）我们知道，函数y=g(x)的图像关于点P（m，n）成中心对称图形的充分必要条件是函数y=g(x+m)-n为奇函数，据此，求函数y=f(x)图像的对称中心；
（3）把集合{xI|（x）【解析】
【知识点】①指数函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③奇函数定义与性质；④中心对称图形定义与性质；⑤函数在给定区间上k倍集定义与性质；⑥判断（或证明）函数单调性的基本方法；⑦判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；⑧求解探索性问题的基本方法；⑨数学换元法及运用；⑩参数分类讨论的法则和基本方法。
【解答思路】（1）根据指数函数和函数单调性的性质，运用判断（或证明）函数单调性的基本方法，结合问题条件就可判断并证明函数f(x)的单调性；（2）根据奇函数和中心对称图形的性质，运用判断（或证明）函数奇偶性的基本方法，结合问题条件就可求出函数y=f(x)图像的对称中心；（3）根据函数在给定区间上k倍集的性质，运用求解探索性问题的基本方法，数学换元法和参数分类讨论的法则与基本方法，结合问题条件就可判断是否存在a，使得函数y=f(x)关于y=在区间(-，0）上的倍集不为空集并实数a的取值范围（或说明理由）。
【详细解答】（1）函数f(x)在（1，+∞）上是单调递增函数，证明：任取，（1，+∞），且<，f（）-f（）=-+=<0，函数f(x)在（1，+∞）上是单调递增函数；（2）函数f(x)的定义域为（-，1）（1，+∞），
函数f(x)图像对称中心的横坐标为x=1，f（1-x)+f(1+x)=2a--=2a
--=2a-2（+）=2a-2（）=2（a+1），f(1+x)-（a+1）
=-[f(1-x)-（a+1）]，函数f(1+x)-（a+1）是奇函数，函数f(x)图像对称中心为P（1，a+1）；（3）设存在实数a，使得函数y=f(x)关于y=在区间(-，0）上的倍集不为空集，t=（00与题意不符；当a0时，函数g(t)图像的开口向上，g(t)<0在（0，1）内有解，=-4（2a+4）
=（4-4a+15）>0，解得：a<-，或a>，对称轴t==1+，若a<-，对称轴t==1+（，1），g(t)<0在（0，1）内最少有一解；若a>，称轴t==1+（1，），函数g(t)在（0，1）上单调递减，g(t)<0在（0，1）内有解，g(0)=0-0+2a+4=2a+4>5+4=9，g(1)=-+a+4<0，解得：a<，或a>，a>，
>，综上所述，若存在实数a，使得函数y=f(x)关于y=在区间(-，0）上的倍集不为空集，则实数a的取值范围是（-，-）（，+∞）。成都市高2024级高二上期期末考试数学模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1、在空间直角坐标系中，点A （-2，1，5）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A （2，1，5） B （2，-1，-5） C （-2，-1，-5） D （-2，-1，5）
2、若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ）
A （1，） B （-3，） C （-，3） D （1，-）
3、抛物线=36x的准线方程是（ ）
A y=9 B y=-9 C x=9 D x=-9
4、圆+=1与圆+=16的位置关系是（ ）
A 相交 B 内切 C 外切 D 内含
5、“烟霏霏，雪霏霏，雪向梅花枝上堆”，1月7日成都迎来了2025年首场雪，天气预报说，在今后的三天中每一天下雪的概率均为40%，我们用1，2，3，4表示下雪，用5，6，7，8，9，0表示不下雪，通过计算机得到以下20组随机数：907,966,191,925,271,932,812，
458，569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989，用随机模拟的方法计算这三天中恰有两天下雪的概率是（ ）
A 40% B 30% C 25% D 20%
6、下列命题是真命题的是（ ）
A “若x，y互为相反数，则x+y=0”的逆否命题 B “偶函数的图像关于y轴对称”是特称命题 C “x>1且y>1”是“x+y>2”d的充要条件 D 若xy≠0，则x，y至少有一个不为0
7、连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数，事件=“第一次得到的数字是2”；事件=“第二次得到的数字是奇数”；事件=“两次得到数字的积是
奇数”；事件=“两次得到数字的和是6”。则（ ）
A 事件和事件对立 B 事件和事件互斥
C 事件和事件相互独立 D P（）= P（）
8、设A，B为双曲线-=1上的两点，线段AB的中点为M（2，2），则|AB|=（ ）
A B 2 C D 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、在空间直角坐标系O-xyz中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（2，1，-2），C（4，3，2），则（ ）
A . =4 B 点A到直线BC的距离为
C | |= D 直线OA与平面OBC所成角的正弦值为
10、某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为；了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）
A x=0.015 B 此次竞赛成绩低于70的学生的比率估计为25%
C 此次竞赛成绩众数估计值为75 D 此次竞赛成绩平均数的估计值不超过80
11、已知曲线C：y=，直线l：mx+y+2+2m=0，点A为曲线C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A 直线l恒过定点（0，-2） B 当m=-1时，直线l被曲线C截得的弦长为2
C 若直线l与曲线C有两个交点，则m的取值范围为（-，-1）
D 当m=1时，点A到直线l距离的最小值为3- 2
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上。
12、抛物线=4x的准线方程为 。
13、天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地， x 2 3 3.5 4.5 7
经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与 y 26 38 43 60 a
天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程=12.6x+0.6，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如表：则表中a的值为 。
14、已知，分别为椭圆M：+=1（a>b>0）的左，右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使.=-，则椭圆M的离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）。
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分13分）
“世界图书与版权日”又称“世界读书日”2024年4月23日是第29个“世界读书日”，自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读。现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在[60，70）的学生平均成绩为62，方差为9，落在[,70，80）的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差。
（本小题满分15分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD-中，E，F，G，H，K，L分别为AB，B，，，D，DA各棱的中点。
求证：C平面EFGHKL；
求平面EL与平面EFGHKL夹角的余弦值。
（本小题满分15分）
已知圆C：+-2x+2y-14=0，直线l：（m+2）x+（m-1）y+2m-8=0。
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值以及最短弦长。
18、（本小题满分17分）
下面的三个游戏都是在袋子中装人大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球。
方便计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；
若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率；
19、（本小题满分17分）
一动圆C与圆：+=外切，与圆：+=内切。
设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
①若点A（-2，0），B（2，0），P是直线x=4上的动点，直线PA，PB与曲线分别相交于M，N两点，证明：直线MN过定点；
②设AMN和BMN的面积分别为和，求-的最大值。
成都市高2024级高二上期期末考试数学模拟试题
答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求的。
1、在空间直角坐标系中，点A （-2，1，5）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A （2，1，5） B （2，-1，-5） C （-2，-1，-5） D （-2，-1，5）
【解析】
【考点】①空间直角坐标系定义与性质；②空间点的坐标定义与性质；③确定已知点关于某坐轴对称点坐标的基本方法。
【解题思路】根据空间直角坐标系和空间点的坐标的性质，运用确定已知点关于某坐轴对称点坐标的基本方法，结合问题条件确定出点A （-2，1，5）关于x轴的对称点的坐标就可得出选项。
【详细解答】在空间直角坐标系中，点A （-2，1，5），点A （-2，1，5）关于x轴的对称点的坐标为（-2，-1，-5），C正确，选C。
2、若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ）
A （1，） B （-3，） C （-，3） D （1，-）
【解析】
【考点】①直线倾斜角定义与性质；②已知直线倾斜角求直线斜率和方向向量的基本方法。
【解题思路】根据直线倾斜角的性质，运用已知直线倾斜角求直线斜率和方向向量的基本方法，结合问题条件求出直线的斜率，从而求出直线的方向向量就可得出选项。
【详细解答】直线的倾斜角为，直线的斜率k=-，即直线的方向向量为 （-3，），B正确，选B。
3、抛物线=36x的准线方程是（ ）
A y=9 B y=-9 C x=9 D x=-9
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②已知抛物线方程，确定其准线方程的基本方法。
【解题思路】根据抛物线的性质，运用已知抛物线方程，确定其准线方程的基本方法，求出抛物线=36x的准线方程就可得出选项。
【详细解答】抛物线的方程是=36x，2p=36，=9，抛物线=36x的准线方程是x=-9，D正确，选D。
4、圆+=1与圆+=16的位置关系是（ ）
A 相交 B 内切 C 外切 D 内含
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②判断圆与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】根据圆的性质，运用判断圆与圆位置关系的基本方法，判断出两个圆的位置关系就可得出选项。
【详细解答】两个圆的圆心距为=5，两个圆半径的和为1+4=5，圆
+=1与圆+=16的位置关系是外切，C正确，选C。
5、“烟霏霏，雪霏霏，雪向梅花枝上堆”，1月7日成都迎来了2025年首场雪，天气预报说，在今后的三天中每一天下雪的概率均为40%，我们用1，2，3，4表示下雪，用5，6，7，8，9，0表示不下雪，通过计算机得到以下20组随机数：907,966,191,925,271,932,812，
458，569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989，用随机模拟的方法计算这三天中恰有两天下雪的概率是（ ）
A 40% B 30% C 25% D 20%
【解析】
【考点】①随机数的定义与性质；②平均数计算公式及运用；③相互独立事件同时发生概率的定义与性质；④求相互独立同时发生概率的基本方法。
【解题思路】根据随机数的性质和平均数计算公式求出今后的三天中每一天下雪的概率，运用相互独立事件同时发生概率的性质和求相互独立同时发生概率的基本方求出这三天下雪的概率就可得出选项。
【详细解答】设这三天中恰有两天下雪的事件为A，由20组随机数得到今后的三天中每一天下雪的概率为p=（0+0+++++++0++1++++0+++1++0）20=，p（A）=（1-）=30%，B正确，选B。
6、下列命题是真命题的是（ ）
A “若x，y互为相反数，则x+y=0”的逆否命题 B “偶函数的图像关于y轴对称”是特称命题 C “x>1且y>1”是“x+y>2”d的充要条件 D 若xy≠0，则x，y至少有一个不为0
【解析】
【考点】①命题定义与性质；②四种命题及其相互关系；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据命题的性质和四种命题之间的关系，运用判断命题真假的基本方法，对各选项命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】命题“若x，y互为相反数，则x+y=0”是真命题，逆否命题与原命题同真假，“若x，y互为相反数，则x+y=0”的逆否命题是真命题，A正确，选A。
7、连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上面的点数，事件=“第一次得到的数字是2”；事件=“第二次得到的数字是奇数”；事件=“两次得到数字的积是
奇数”；事件=“两次得到数字的和是6”。则（ ）
A 事件和事件对立 B 事件和事件互斥
C 事件和事件相互独立 D P（）= P（）
【解析】
【考点】①事件定义与性质；②对立事件定义与性质；③互斥事件定义与性质；④相互独立
事件定义与性质；⑤并事件定义与性质。
【解题思路】根据对立事件，互斥事件，相互独立事件和并事件的性质，运用判断对立事件，互斥事件，相互独立事件和并事件的基本方法，结合问题条件对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，事件 与事件不可能同时发生，但也可以都不发生， 事件和事件互斥，A错误；对B，事件 与事件可能同时发生， 事件和事件不是互斥事件，B错误；对C，事件 的发生对事件是否发有影响， 事件和事件不是相互独立事件，C错误；对D，事件 发生，事件不一定发生，但事件发生，事件不一定发生， 事件是事件和事件的并事件，D正确，选D。
8、设A，B为双曲线-=1上的两点，线段AB的中点为M（2，2），则|AB|=（ ）
A B 2 C D 2
【解析】
【考点】①双曲线定义与性质；②线段中点定义与性质；③弦长公式及运用；④设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解题思路】根据双曲线和线段中点的性质，运用弦长公式和设而不求，整体代入的数学思想，结合问题条件求出|AB|的值就可得出选项。
【详细解答】设A（，），B（，），线段AB的中点为M（2，2），直线AB的方程为x=my+2-2m，联立直线AB与双曲线的方程得：（2-1）+8m（1-m）y+8-2=0，+=-=4，.=-，由+=-
=4解之得：m=，|AB|==2
=2=22=2，B正确，选B。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9、在空间直角坐标系O-xyz中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（2，1，-2），C（4，3，2），则（ ）
A . =4 B 点A到直线BC的距离为
C | |= D 直线OA与平面OBC所成角的正弦值为
【解析】
【考点】①空间向量定义与性质；②空间向量数量积定义与性质；③空间向量模长定义与性质；④空间向量坐标运算的法则和基本方法；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥求直线与平面所成角正弦值的基本方法。
【解题思路】根据空间向量，空间向量数量积和空间向量模长的性质，运用空间向量坐标运算的法则与基本方法，点到直线的距离公式和求直线与平面所成角正弦值的基本方法，结合问题条件求出 . 点A到直线BC的距离为，，||和直线OA与平面OBC所成角的正弦值就可得出选项。
【详细解答】在空间直角坐标系O-xyz中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（2，1，-2），C（4，3，2），=（1，1，-2），=（2，2，4），. = 12+ 12+ （-2）4=2+2-8=-44， | |== ，A错误，C正确；过点A作ADBC
于点D，设D（x，y，z）=（x-2，y-1，z+2）=t=（2t，2t，4t），D（2t+2，2t+1，4t-2），=（2t+1，2t+1，4t-2），ADBC，.=2（2t+1）+2（2t+1）+4（4t-2）=24t-4=0，t=，=（，，-）， 点A到直线BC的距离为||==，B正确；设平面OBC的法向量为=（x，y，z），=（2，1，-2），=（4，3，2），，且，.=2x+y-2z=0①，且.=4x+3y+2z=0②，联立①②解之得：x=4，y=-6，z=1，=（4，-6，1），=（1，0，0），直线OA与平面OBC所成角的正弦值为||=||
=，D错误，综上所述，B，C正确，选B，C。
10、某市举行了一次数学史和趣味数学知识竞赛，为；了解本次竞赛成绩情况，对本次竞赛学生成绩进行抽样调查，将调查数据整理得到如图所示频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（ ）
A x=0.015 B 此次竞赛成绩低于70的学生的比率估计为25%
C 此次竞赛成绩众数估计值为75 D 此次竞赛成绩平均数的估计值不超过80
【解析】
【考点】①频率分布直方图定义与性质；②频率定义与性质；③众数定义与性质；④平均数定义与性质；⑤统计估计的基本方法。
【解题思路】根据频率分布直方图，频率，众数和平均数的性质，运用统计估计的基本方法，结合问题条件对各选项的结论是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】10（0.005+x+0.020+0.030+0.035）=1，x=0.1（0.005+0.020+0.030+0.035）
=0.1-0.09=0.0100.015，A错误；此次竞赛成绩低于70的学生的频率为10（0.005
+0.020）=0.025=25%，B正确；此次竞赛成绩的众数为=75，C正确；此次竞赛成绩低于70的学生的频率为10（0.00555+0.02065+0.03575+0.03085+0.0
1095）=77<80，D正确，综上所述，B，C，D正确，选B，C，D。
11、已知曲线C：y=，直线l：mx+y+2+2m=0，点A为曲线C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A 直线l恒过定点（0，-2） B 当m=-1时，直线l被曲线C截得的弦长为2
C 若直线l与曲线C有两个交点，则m的取值范围为（-，-1）
D 当m=1时，点A到直线l距离的最小值为3- 2
解析】
【考点】①圆定义与性质；②直线与圆位置关系及运用；③设而不求，整体代入数学思想及运用；④弦长公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】根据圆的性质和直线与圆的位置关系，运用设而不求，整体代入数学思想，弦长公式和点到直线的距离公式，结合问题条件对各选项说法的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当x=0时，y=-0-2-2m不恒为-2，直线l不能恒过定点（0，-2），A错误；对B，当m=-1时，直线l的方程为：y=x，联立直线l与曲线C的方程得：2-4y=0，
直线l与曲线C的交点为M（0，0），N（2，2），|MN|==2，直线l被曲线C截得的弦长为2，B正确；对C，曲线C：y=，+=4（y≥0）,直线l与曲线C有两个交点，=<2①，-2m-2>0②，--2<0，--2>2③，或联立①②③解得：-2sin）， 当m=1时，直线l的方程为：x+y+4=0，=
=，当且仅当=，即=时，==3
- 2为最小值，当m=1时，点A到直线l距离的最小值为3- 2，D正确，综上所述B，D正确，选B，D。
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡上。
12、抛物线=4x的准线方程为 。
【解析】
【考点】①抛物线定义与性质；②抛物线准线定义与性质；③求抛物线准线方程的基本方法。
【解题思路】根据抛物线和抛物线准线的性质，运用求抛物线准线方程的基本方法，结合问题条件就可求出抛物线=4x的准线方程。
【详细解答】抛物线=4x，p=4=1，抛物线=4x的准线方程为x=-p=-1。
13、天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地， x 2 3 3.5 4.5 7
经统计，天府绿道旅游人数x（单位：万人）与 y 26 38 43 60 a
天府绿道周边商家经济收入y（单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程=12.6x+0.6，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如表：则表中a的值为 。
【解析】
【考点】①随机变量线性相关定义与性质；②线性回归方程定义与性质；③求已知线性相关随机变量回归方程的基本方法。
【解题思路】根据随机变量线性相关和线性回归方程的性质，运用求已知线性相关随机变量回归方程的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】==4，==37+，=12.6，
=-=37+-12.64=0.6，2+a=515=255，a=255-2=153。
14、已知，分别为椭圆M：+=1（a>b>0）的左，右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上有且仅有一个点P使.=-，则椭圆M的离心率的取值范围为 （写成集合或区间形式）。
【解析】
【考点】①椭圆定义与性质；②向量数量积定义与性质；③求椭圆离心率的基本方法。
【解题思路】根据椭圆和向量数量积的性质，结合问题条件得到关于MNB周长关于线段|MA|，|MN|的式子，利用线段公理就可求出MNB周长的最小值，从而求出点M的坐标。
【详细解答】如图，设P（x，y），分别为椭圆M： y B
+=1（a>b>0）的左，右焦点，A为右顶点， Ax
B为上顶点，（-c，0），（c，0），A（a，0），
B（0，b），点P是线段AB上一点，（x-a，y）=（-ta，tb）(0-≥2-，≤e<1，椭圆M的离心率的取值范围为[，1）。
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分13分）
“世界图书与版权日”又称“世界读书日”2024年4月23日是第29个“世界读书日”，自“世界读书日”确定以来，某高校每年都会举办读书知识竞赛活动来鼓励该校学生阅读。现从参加竞赛的学生中抽取100人，将他们的竞赛成绩分成六组：第1组[40，50），第2组[50，60），第3组[60，70），第4组[70，80），第5组[80，90），第6组[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求这100名学生成绩的众数和平均数（取各组区间中间值计算）；
（2）已知成绩落在[60，70）的学生平均成绩为62，方差为9，落在[,70，80）的学生平均成绩为77，方差为4，求这两组成绩的总体平均数和总体方差。
【解析】
【考点】①众数定义与性质；②平均数定义与性质；③方差定义与性质；④求组距数据众数的基本方法；⑤求组距数据平均数的基本方法；⑥求组距数据方差的基本方法。
【解题思路】（1）根据众数和平均数的性质，运用求组距数据众数和平均数的基本方法，结合问题条件就可求出这100名学生成绩的众数和平均数；（2）根据平均数和方差的性质，运用求组距数据平均数和方差的基本方法，结合问题条件就可求出这两组成绩的总体平均数和总体方差。
【详细解答】（1）由图知这100名学生成绩的众数为=75,平均数为10（450.10+550.015+650.020）+750.030+850.015+950.010）=10107.05=70.5；（2）
成绩落在[60，70）的学生平均成绩为62，方差为9，落在[,70，80）的学生平均成绩为77，方差为4，绩落在[60，70）的学生人数为100100.020=20（人），绩落在[70，80）的学生人数为100100.030=30（人），这两组成绩的总体平均数=
=71，总体方差==60。
已知直线：x-y+2=0和：x+y=0相交于点P。
（1）若直线l经过点P且与：x+2y-2=0垂直，求直线l的方程；
（2）若直线经过点P且与：2x-3y-1=0平行，求直线的方程。
【解析】
【考点】①直线定义与性质；②直线点斜式方程及运用；③两条直线垂直的充分必要条件及运用；④两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据直线的性质和两条直线垂直的充分必要条件，运用直线点斜式方程就可求出直线l的方程；（2）根据直线的性质和两条直线平行的充分必要条件，运用直线点斜式方程就可求出直线的方程。
【详细解答】（1）联立直线：x-y+2=0和：x+y=0的方程解得：x=-1，y=1，点P（-1，1），直线l与直线：x+2y-2=0垂直，直线l的方程为2x-y+a=0，直线l过点P，-2-1+a=0，a=3，直线l的方程是2x-y+3=0；（2）直线与直线：2x-3y-1=0平行，直线的方程为2x-3y+b=0，直线过点P，-2-3+b=0，b=5，直线的方程是2x-3y+5=0。
（本小题满分15分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD-中，E，F，G，H，K，L分别为AB，B，，，D，DA各棱的中点。
求证：C平面EFGHKL；
求平面EL与平面EFGHKL夹角的余弦值。
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②平面向量定义与性质；③空间直角坐标系定义与性质；④
直线垂直平面判定定理及运用；⑤直线垂直平面性质定理及运用；⑥建立空间直角做哪些的基本方法；⑦平面向量坐标运算的法则和基本方法；⑧求平面法向量的基本方法；⑨求平面与平面所成角余弦值的基本方法。
【解题思路】（1）根据正方体的性质，运用直线垂直平面判定定理和直线垂直平面性质定理，结合问题条件就可证明直线C平面EFGHKL；（2）根据正方体，平面向量和空间直角坐标系的性质，运用建立空间直角坐标系的基本方法，平面向量坐标运算的法则与基本方法，求平面法向量的基本方法和求平面与平面所成角余弦值的基本方法，结合问题条件就可求出平面EL与平面EFGHKL夹角的余弦值。
【详细解答】（1）如图，连接AC，BD，ABCD-是正方体，ACBD，A平面ABCD,，BD平面ABCD，ABD，A，AC平面AC，AAC=A，BD平面AC，E，L分别是AB，DA的中点，C平面AC，EL//BD，CBD，CEL，同理可证CKL，EL，KL平面EFGHKL，ELKL=L，C平面EFGHKL；（2）如图，设平面EL的法向量为=（x，y，z），棱长为2的正方体ABCD-中，ADDC，DDA，DDC，以D为原点，，，分别x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz，D（0，0，0），
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（2，0，2），E，L分别是AB，DA的中点，E（2，1，0），L（1，0，0），= （0，1，-2），= （-1，0，-2）， ，且，.=0+y-2z=0①，且.=-x+0-2z=0②，联立①②解之得：x=-2，y=2，z=1，=（-2，2，1），C平面EFGHKL，向量=（-2，2，-2）是平面EFGHKL的一个法向量，c0s<，> =
= = ，平面EL与平面EFGHKL夹角的余弦值为。
（本小题满分15分）
已知圆C：+-2x+2y-14=0，直线l：（m+2）x+（m-1）y+2m-8=0。
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）当直线l被圆C截得的弦长最短时，求m的值以及最短弦长。
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②直线定义与性质；③直线与圆位置关系定义与性质；④判断直线过定点的基本方法；⑤判断直线与圆位置关系的基本方法。
【解题思路】（1）根据直线的性质，运用判断直线过定点的基本方法，结合问题条件就可证明直线l恒过定点；（2）根据圆，直线和直线与圆位置关系的性质，运用判断直线与圆位置关系的基本方法，结合问题条件就可求出m的值以及最短弦长。
【详细解答】（1）直线l：（m+2）x+（m-1）y+2m-8=0，直线l：（x+y+2）m+（2x-y-8）0，联立方程x+y+2=0和方程2x-y-8=0解之得：x=2，y=-4，当x=2，y=-4时，（m+2）x+（m-1）y+2m-8=2m+4-4m+4+2m-8=0，直线l：（m+2）x+（m-1）y+2m-8=0过定点P（2，-4）；（2）当x=2时，圆C：+-2x+2y-14=0，圆C：+=16，圆C的圆心为（1，-1），半径r=4，|PC|==<4，点P（2，-4）在圆C内，当且仅当直线l与线段PC垂直时弦长最短.=1，解之得：,m
=-，当m=-时，直线l：（m+2）x+（m-1）y+2m-8=0，直线l：3x-9y-42=0，
==，最短弦长为=2。
18、（本小题满分17分）
下面的三个游戏都是在袋子中装人大小和质地相同的小球，然后从袋子中不放回地取球。
（1）方便计算三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；
（2）若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，求甲获胜次数多于乙的概率；
【解析】
【考点】①随机事件定义与性质；②互斥事件定义与性质；③相互独立事件定义与性质；④求互斥事件概率的基本方法；⑤求相互独立事件概率的基本方法。
【解题思路】（1）根据随机事件和互斥事件的性质，运用求互斥事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出三个游戏中甲获胜的概率，并判断哪个游戏对甲更有利；（2）根据随机事件，互斥事件和相互独立事件的性质，运用求互斥事件概率和求相互独立事件概率的基本方法，结合问题条件就可求出甲获胜次数多于乙的概率。
【详细解答】（1）设三个游戏中甲获胜的事件为 A，B，C，p（ A）=，p（ B）==，p（ C）==，>，三个游戏中甲获胜的概率分别为，，，第一个游戏对甲更圆利；（2）设三个游戏中甲两个游戏获胜的事件为 D，三个游戏中甲三个游戏都获胜的事件为 E，p（ D）=（1-）+（1-）+（1-）=++=，p（ E）==，若三个游戏各进行一次，且每个游戏的结果互不影响，则甲获胜次数多于乙的概率为+=。
19、（本小题满分17分）
一动圆C与圆：+=外切，与圆：+=内切。
设动圆圆心的轨迹为，求曲线的方程；
①若点A（-2，0），B（2，0），P是直线x=4上的动点，直线PA，PB与曲线分别相交于M，N两点，证明：直线MN过定点；
②设AMN和BMN的面积分别为和，求-的最大值。
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②轨迹方程定义与性质；③椭圆定义与性质；④直线方程定义与
性质；⑤求轨迹方程的基本方法；⑥求直线方程的基本方法；⑦三角形面积公式及运用；⑧两点之间的距离及运用；⑨设而不求，整体代入数学思想及运用。
【解题思路】（1）根据圆和轨迹方程的性质，运用求轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出曲线的方程；（2）①根据椭圆和直线方程的性质，运用求直线方程的基本方法，结合问题条件求出直线PA，PB的方程，从而求出点M，N关于次数t的坐标，直线MN关于次数t的方程，就可证明直线MN过定点；②根据椭圆和直线的性质，运用设而不求，整体代入数学思想，两点之间的距离公式和三角形的面积公式，结合问题条件得到-就关于次数t的表达式，从而就可求出-的最大值。
【详细解答】（1）设动圆圆心C（x，y），动圆半径为R，动圆C与圆：+=外切，与圆：+=内切，|C|=+R，|C|=-R，|C|+|C|=
+=4，曲线的方程为+=1（a>b>0），|C|+|C|=2a=4,c=1，=-
=4-1=3，曲线的方程为+=1（-2≤x≤2）；（2）①证明：点A（-2，0），B（2，0），P是直线x=4上的动点，设P（4，t），M（，），N（，），直线PA的方程为y=（x+2），联立直线PA与曲线的方程得：（+27）+4x+4-108=0,
-2=，解之得：=，=，M（，），同理可得N（，），==，
直线MN的方程为y-=（x-），y=（x-1），当x=1时，y=（1-1）=0，直线MN过定点（1，0）；②直线MN过定点G（1，0），直线MN的方程为x=my+1，|AG|,==3，|BG|==1，点A到直线MN的距离是点B到直线MN的距离的3倍，=3，-=2=2|BG|
|-|=||-|=，联立直线MN与椭圆的方程得：（3+4）+6my-9=0，=36+36（3+4）=144（1+）>0，+=-，.=，-==，设t
=，t[1，+），-===≤=3，当且仅当t=1时等号成立，-的最大值为3。
P
O
