二次函数重难点专题训练卷（3）
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二次函数重难点专题训练卷（3）
班级 姓名
选择题
1、下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A． 没有交点
B． 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C． 有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D． 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
2、设二次函数，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）
A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D． 9a+c＞3b
4、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5、若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0
C． b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x2
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D． ③④
7、如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
8、如图，抛物线与交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，；④2AB＝3AC.其中正确结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D．①④
二、填空题
9、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 ．
10、某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 ．
解答题
11、已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
12、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
13、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）21教育网
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
14、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点． 21*cnjy*com
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
15、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．21世纪教育网版权所有
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
16、如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
17、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【版权所有：21教育】
18、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数重难点专题训练卷（3）
答案详解
一、选择题
【解答】 解：由题意可知抛物线必过点（1，0），
故1+b+c＝0，从而b＝－1－c.
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴32+3（－1－c）+c≤0，即2c≥6，解得c≥3，
故选B.
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D． 9a+c＞3b
【解答】 解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．
∴c＜﹣1；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣＞0，∴b＜0；
∵抛物线过点（﹣2，0）、（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＞0，
即9a+c＞3B．
故选D．
4、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】 解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
5、若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0
C． b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x22·1·c·n·j·y
【解答】 解：A、当a＞0时，
∵点M（x0，y0），在x轴下方，
∴x1＜x0＜x2，
∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，
∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，
∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；
B、a的符号不能确定，故本选项错误；
C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；
D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．
故选A．
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D． ③④
【解答】 解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口方向朝上，
∴a＞0，
又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），
∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误
③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；【来源：21·世纪·教育·网】
故③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（3，0），
∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确．
故选B．
7、如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：21*cnjy*com
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【解答】 解：①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，
若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。
③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），
当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；
∴此判断正确。
④ ∵使得M=1时，
若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；
若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。
由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。
∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，
∴M=1时，x=或x=﹣。∴此判断正确。
因此正确的有：③④。故选D。
8、如图，抛物线与交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，；④2AB＝3AC.其中正确结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D．①④
【解答】 解：由图可知的图象全部在x轴上方，所以无论x取何值，y2的值总是正数.
因为抛物线过点A（1，3），所以，所以，即.
当x＝0时，，，则.
当y＝3时，，解得x1＝﹣5，x2＝1，
即A（1，3），B（－5，3），则AB＝6；
当y＝3时，，解得x1＝5，x2＝1，
即A（1，3），C（5，3），
则AC＝4.所以2AB＝3AC.
因此，其中正确的是①④.
二、填空题
9、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 （﹣2，0） ．
【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，
设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得
=，
解得x=﹣2，
即A点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
10、某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 0＜a≤5 ．
【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（20+4t）﹣（20+4t）a
化简，得
y=﹣4t2+t+1400﹣20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴≥﹣4×302+×30+1400﹣20a
解得，a≤5，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a≤5．
解答题
11、已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．21cnjy.com
【解答】 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m＞0，∴m＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=﹣9+6+m
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，
∴P（1，2）．
12、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
【解答】 解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴
∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= (x－6)2+2.6
（2）当h=2.6时，y= (x－6)2+2.6
∵当x=9时，y= (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。
∵当y=0时，即 (18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球会过界。
（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。
x=9时，y= (9－6)2+h＞2.43 ①
x=18时，y= (18－6)2+h=≤0 ②
由① ②解得h≥。
∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥。
13、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）21教育名师原创作品
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【解答】解：
（1）由抛物线过M、N两点，
把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，
令y=0可得x2﹣3x+5=0，
该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得，解得，
∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
14、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．【出处：21教育名师】
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A（1，3），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，
∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴==3，
∴MF=3PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF==，
∴FN=PF，
∴MN=MF+FN=4PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴a2=2××4PF2，
∴a=2PF，
∴NC=a=2PF，
∴==，
∴MN=NC=×a=a，
∴MC=MN+NC=（+）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（ +）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，
解得a=3﹣或a=0（舍去），
OC=4﹣a=+1，MC=2+，
∴点M的坐标为（+1，2+）．
15、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．21·世纪*教育网
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；www-2-1-cnjy-com
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴x2+2x+1=1，
∴x1=6，x2=0，
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
设点P（m， m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S△AEC+S△APC
=AC×EF+AC×PF
=AC×（EF+PF）
=AC×PE
=×6×（﹣m2﹣3m）
=﹣m2﹣9m
=﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0
∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P（﹣，﹣）．
（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t=﹣4，
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t=3，
∴Q（3，1）．
16、如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），
则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM==，
∵sin∠AMF=，
∴=，
∴=，整理得到2m2+19m+44=0，
∴（m+4）（2m+11）=0，
∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），
∴点Q坐标（﹣4，）．
（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）．
∵直线AC解析式为y=x+5，
∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），
∵QN=PM，
∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，
解得m=﹣3±，
∴点M坐标（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．
②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣ m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣ m2﹣m+6）， 21·cn·jy·com
∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，
解得m=﹣3．
∴点M坐标（﹣2，3），
综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．
17、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．2-1-c-n-j-y
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），
∵C（0，4）在抛物线上，
∴4=﹣27a，
∴a=﹣，
∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4）
∴﹣x2+x+4=4，
∴x=6，
∵D（6，4），
（2）如图1，
∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，
∴F（3，），
∴FH=，
∵GH∥A1O1，
∴，
∴，
∴GH=1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．
（3）①当0＜t≤3时，如图2，
∵C2O2∥DE，
∴，
∴，
∴O2G=t，
∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，
②当3＜t≤6时，如图3，
∵C2H∥OC，
∴，
∴，
∴C2H=（6﹣t），
∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH
=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）
=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）
=t2﹣3t+12
∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．
18、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．www.21-cn-jy.com
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴
∴，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；
（2）如图1，
过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，
由（1）有，C（0，﹣2），
∵B（0，3），
∴直线BC解析式为y=x﹣2，
∵H（1，y）在直线BC上，
∴y=﹣，
∴H（1，﹣），
∵B（3，0），E（0，﹣1），
∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，
∴G（1，﹣），
∴GH=，
∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B，
∴F（，﹣），
∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
=GH×|xB﹣xF|
=××（3﹣）
=．
（3）如图2，
由（1）有y=﹣x2+x﹣2，
∵D为抛物线的顶点，
∴D（2，），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞），
∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM2+BM2=AB2，
∴m2+4+m2+1=9，
∴m=或m=﹣（舍），
∴M（0，），
∴MD=﹣，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t=﹣；
（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图3，
∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，﹣1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，
∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，
联立①②得，或（舍），
∴P（，），
即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．
班级 姓名
选择题
1、下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A． 没有交点
B． 只有一个交点，且它位于y轴右侧
C． 有两个交点，且它们均位于y轴左侧
D． 有两个交点，且它们均位于y轴右侧
2、设二次函数，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（ ）
A.c=3 B.c≥3 C.1≤c≤3 D.c≤3
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D． 9a+c＞3b
4、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5、若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0
C． b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x2
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D． ③④
7、如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
8、如图，抛物线与交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，；④2AB＝3AC.其中正确结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D．①④
二、填空题
9、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 ．
10、某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 ．
解答题
11、已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．【来源：21cnj*y.co*m】
12、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
13、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）21教育网
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
14、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点． 21*cnjy*com
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
15、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．21世纪教育网版权所有
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
16、如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
17、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．【版权所有：21教育】
18、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数重难点专题训练卷（3）
答案详解
一、选择题
【解答】 解：由题意可知抛物线必过点（1，0），
故1+b+c＝0，从而b＝－1－c.
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴32+3（－1－c）+c≤0，即2c≥6，解得c≥3，
故选B.
3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）
A． c＞﹣1 B．b＞0 C．2a+b≠0 D． 9a+c＞3b
【解答】 解：∵抛物线与y轴的交点在点（0，﹣1）的下方．
∴c＜﹣1；
∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x=﹣＞0，∴b＜0；
∵抛物线过点（﹣2，0）、（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x=﹣=1，
∴2a+b=0；
∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＞0，
即9a+c＞3B．
故选D．
4、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【解答】 解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
5、若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A． a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B． a＞0
C． b2﹣4ac≥0 D． x1＜x0＜x22·1·c·n·j·y
【解答】 解：A、当a＞0时，
∵点M（x0，y0），在x轴下方，
∴x1＜x0＜x2，
∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，
∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，
∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，
∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；
B、a的符号不能确定，故本选项错误；
C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；
D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．
故选A．
6、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法：
①2a+b=0
②当﹣1≤x≤3时，y＜0
③若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2
④9a+3b+c=0
其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①④ C．①②③ D． ③④
【解答】 解：①∵函数图象的对称轴为：x=﹣==1，
∴b=﹣2a，即2a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口方向朝上，
∴a＞0，
又∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点为（﹣1，0）、（3，0），
∴当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误
③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴若（x1，y1）、（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1＜y2；当x1＜x2＜1时，y1＞y2；【来源：21·世纪·教育·网】
故③错误；
④∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（3，0），
∴x=3时，y=0，即9a+3b+c=0，故④正确．
故选B．
7、如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：21*cnjy*com
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【解答】 解：①∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1。∴此判断错误。
②∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，
若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M。
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大。∴此判断错误。
③∵抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），
当x=0时，M=2，抛物线y1=﹣2x2+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；
∴此判断正确。
④ ∵使得M=1时，
若y1=﹣2x2+2=1，解得：x1=，x2=﹣；
若y2=2x+2=1，解得：x=﹣。
由图象可得出：当x=＞0，此时对应y1=M。
∵抛物线y1=﹣2x2+2与x轴交点坐标为：（1，0），（﹣1，0），
∴当﹣1＜x＜0，此时对应y2=M，
∴M=1时，x=或x=﹣。∴此判断正确。
因此正确的有：③④。故选D。
8、如图，抛物线与交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，；④2AB＝3AC.其中正确结论是（ ）
A.①② B.②③ C.③④ D．①④
【解答】 解：由图可知的图象全部在x轴上方，所以无论x取何值，y2的值总是正数.
因为抛物线过点A（1，3），所以，所以，即.
当x＝0时，，，则.
当y＝3时，，解得x1＝﹣5，x2＝1，
即A（1，3），B（－5，3），则AB＝6；
当y＝3时，，解得x1＝5，x2＝1，
即A（1，3），C（5，3），
则AC＝4.所以2AB＝3AC.
因此，其中正确的是①④.
二、填空题
9、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A、B（m+2，0）与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为（m，c），则点A的坐标是 （﹣2，0） ．
【解答】解：由C（0，c），D（m，c），得函数图象的对称轴是x=，
设A点坐标为（x，0），由A、B关于对称轴x=，得
=，
解得x=﹣2，
即A点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
10、某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为 0＜a≤5 ．
【解答】解：设未来30天每天获得的利润为y，
y=（20+4t）﹣（20+4t）a
化简，得
y=﹣4t2+t+1400﹣20a
每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，
∴≥﹣4×302+×30+1400﹣20a
解得，a≤5，
又∵a＞0，
即a的取值范围是：0＜a≤5．
解答题
11、已知二次函数y=﹣x2+2x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．21cnjy.com
【解答】 解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，
∴△=22+4m＞0，∴m＞﹣1；
（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），
∴0=﹣9+6+m
∴m=3，
∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+3，
∵抛物线y=﹣x2+2x+3，的对称轴为：x=1，
∴把x=1代入y=﹣x+3得y=2，
∴P（1，2）．
12、如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
【解答】 解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴
∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= (x－6)2+2.6
（2）当h=2.6时，y= (x－6)2+2.6
∵当x=9时，y= (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。
∵当y=0时，即 (18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球会过界。
（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。
x=9时，y= (9－6)2+h＞2.43 ①
x=18时，y= (18－6)2+h=≤0 ②
由① ②解得h≥。
∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥。
13、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）21教育名师原创作品
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．
【解答】解：
（1）由抛物线过M、N两点，
把M、N坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，
令y=0可得x2﹣3x+5=0，
该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，
∴抛物线与x轴没有交点；
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，
∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），
可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，
①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得，解得，
∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得，解得，
∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣），而原抛物线顶点坐标为（，），
∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
14、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．【出处：21教育名师】
（1）求出抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x；
（2）存在三个点满足题意，理由如下：
当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵A（1，3），
∴D坐标为（1，0）；
当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，
∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，
∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，
∴D点坐标为（0，）或（0，）；
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）；
（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，
∵PM∥OA，
∴Rt△ADO∽Rt△MFP，
∴==3，
∴MF=3PF，
在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，
∴tan∠ABD=，
∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，
在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，
∴tan∠PNF==，
∴FN=PF，
∴MN=MF+FN=4PF，
∵S△BCN=2S△PMN，
∴a2=2××4PF2，
∴a=2PF，
∴NC=a=2PF，
∴==，
∴MN=NC=×a=a，
∴MC=MN+NC=（+）a，
∴M点坐标为（4﹣a，（ +）a），
又M点在抛物线上，代入可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+）a，
解得a=3﹣或a=0（舍去），
OC=4﹣a=+1，MC=2+，
∴点M的坐标为（+1，2+）．
15、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P时直线AC下方抛物线上的动点．21·世纪*教育网
（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；www-2-1-cnjy-com
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵点A（0，1）．B（﹣9，10）在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x+1，
（2）∵AC∥x轴，A（0，1）
∴x2+2x+1=1，
∴x1=6，x2=0，
∴点C的坐标（﹣6，1），
∵点A（0，1）．B（﹣9，10），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+1，
设点P（m， m2+2m+1）
∴E（m，﹣m+1）
∴PE=﹣m+1﹣（m2+2m+1）=﹣m2﹣3m，
∵AC⊥EP，AC=6，
∴S四边形AECP
=S△AEC+S△APC
=AC×EF+AC×PF
=AC×（EF+PF）
=AC×PE
=×6×（﹣m2﹣3m）
=﹣m2﹣9m
=﹣（m+）2+，
∵﹣6＜m＜0
∴当m=﹣时，四边形AECP的面积的最大值是，
此时点P（﹣，﹣）．
（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，
∴P（﹣3，﹣2），
∴PF=yF﹣yP=3，CF=xF﹣xC=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°
同理可得：∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，1）且AB=9，AC=6，CP=3
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t=﹣4，
∴Q（﹣4，1）
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t=3，
∴Q（3，1）．
16、如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=，求点Q的坐标
（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0），
∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5．
（2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），
则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=（m+5），FM==，
∵sin∠AMF=，
∴=，
∴=，整理得到2m2+19m+44=0，
∴（m+4）（2m+11）=0，
∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃），
∴点Q坐标（﹣4，）．
（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）．
∵直线AC解析式为y=x+5，
∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6），
∵QN=PM，
∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]，
解得m=﹣3±，
∴点M坐标（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．
②当MN为边时，MN=PQ=，设点Q（m，﹣ m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣ m2﹣m+6）， 21·cn·jy·com
∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5，
解得m=﹣3．
∴点M坐标（﹣2，3），
综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+，3+）或（﹣2﹣，3﹣）．
17、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．2-1-c-n-j-y
（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．
∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），
∵C（0，4）在抛物线上，
∴4=﹣27a，
∴a=﹣，
∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，
∵CD垂直于y轴，C（0，4）
∴﹣x2+x+4=4，
∴x=6，
∵D（6，4），
（2）如图1，
∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，
∴F（3，），
∴FH=，
∵GH∥A1O1，
∴，
∴，
∴GH=1，
∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，
∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．
（3）①当0＜t≤3时，如图2，
∵C2O2∥DE，
∴，
∴，
∴O2G=t，
∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，
②当3＜t≤6时，如图3，
∵C2H∥OC，
∴，
∴，
∴C2H=（6﹣t），
∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH
=OA×OC﹣C2H×（t﹣3）
=×3×4﹣×（6﹣t）（t﹣3）
=t2﹣3t+12
∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．
18、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．www.21-cn-jy.com
（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，
∴
∴，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；
（2）如图1，
过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，
由（1）有，C（0，﹣2），
∵B（0，3），
∴直线BC解析式为y=x﹣2，
∵H（1，y）在直线BC上，
∴y=﹣，
∴H（1，﹣），
∵B（3，0），E（0，﹣1），
∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，
∴G（1，﹣），
∴GH=，
∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B，
∴F（，﹣），
∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|
=GH×|xB﹣xF|
=××（3﹣）
=．
（3）如图2，
由（1）有y=﹣x2+x﹣2，
∵D为抛物线的顶点，
∴D（2，），
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴设M（2，m），（m＞），
∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM2+BM2=AB2，
∴m2+4+m2+1=9，
∴m=或m=﹣（舍），
∴M（0，），
∴MD=﹣，
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，
∴t=﹣；
（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，
如图3，
∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，﹣1），
∴在y轴上取一点N（0，1），
∵B（3，0），
∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，
∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，
联立①②得，或（舍），
∴P（，），
即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（，）．
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