2026年大庆市中考数学模拟试卷1（含答案）

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大庆市中考数学模拟试卷1
一．选择题
1．﹣2024的倒数是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2．2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为（　　）
A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×1012
3．下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A． B． C．D．
4．如图所示的几何体的俯视图是（　　）
A．B． C．D．
5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
6．下列命题中，真命题是（　　）
A．两边及一角对应相等的两个三角形全等
B．直角三角形的高有且只有一条
C．一次函数不一定是正比例函数
D．有一个角等于60°的三角形是等边三角形
7．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售将亏本20元，而按标价的8折出售将赚40元．为了保证不亏本，最多要打折（　　）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
8．为了解某小区居民的家庭月平均用水量的情况，物业公司从该小区1500户家庭中随机抽取150户家庭进行调查，统计了他们的月平均用水量，将收集的数据整理成如下的统计图表：
月平均用水量x（吨） 频数
5≤x＜7 15
7≤x＜9 a
9≤x＜11 32
11≤x＜13 40
13≤x＜15 33
总计 150
根据统计图表得出以下四个结论，其中正确的是（　　）
A．本次调查的样本容量是1500
B．这150户家庭中月平均用水量为7≤x＜9的家庭所占比例是30%
C．在扇形统计图中，月平均用水量为11≤x＜13的家庭所对应圆心角的度数是95°
D．若以各组组中值（各小组的两个端点的数的平均数）代表各组的实际数据，则这150户家庭月平均用水量的众数是12
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
10．如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　 　．
①y随着x的增大而减小；②函数图象与y轴正半轴相交．
12．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是　 　．
13．有一个圆锥形的零件，底面半径长为4cm，母线长为10cm，用一张扇形铁皮恰好能将这个零件的侧面包裹住（接缝忽略不计），这张扇形铁皮的面积是 　 　cm2．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的边长为，它的顶点D，E，G分别在△ABC的边上，则BG的长为 　 　．
15．若存在一个整数m，使得关于x的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是 　 　．
16．如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0，4），点B，C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB′C′，则点C′的坐标为 　 　．
17．将连续的正整数排成如图所示的数表．记a（i，j）为数表中第i行第j列位置的数字，如a（1，2）＝4，a（3，2）＝8，a（5，4）＝22．若a（m，n）＝2024，则m＝　 　，n＝　 　．
第10题图 第14题图 第16题图
18．对于二次函数y＝x2﹣2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a＝﹣1时，这个函数的图象在函数y＝﹣x图象的上方；③若a≥1，则当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 　 　（填写序号）．
三．解答题
19．计算：
20．先化简，后求值：，然后在0，1，2三个数中选一个适合的数，代入求值．
21．春节假期期间，小兰一家开车从甲市前往乙市旅游，导航系统推荐了两条路线，路线一的路程为240千米，路线二的路程为270千米．汽车在路线二上行驶的平均时速是路线一上平均时速的1.5倍，且路线二的用时比路线一少1个小时．分别求汽车在路线一和路线二上行驶的平均速度．
22．如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
23．2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 　 　度；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 　 　分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
24．如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）的顶点为P，且2a+b＝0，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点．
（1）当a＝1，c＝﹣1时，求该抛物线顶点P的坐标；
（2）当时，求a的值；
（3）若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值．
26．如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
27．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为⊙O的切线；
（2）设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，
①求证：PC2＝PF PA；
②若PC＝5，PF＝4，求PE和sin∠PEF的值．
28．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
一．选择题
1．C．2．C．3．C．4．A．5．B．6．C．7．A．8．D．9．C．10．D．
二．填空题
11．y＝﹣x+2（答案不唯一）．12．．13．40π．14．3．15．﹣10．
16．．17．45，2．18．①②④．
三．解答题
19．解：＝．
20．解：原式＝（﹣）÷＝，
∵x﹣1≠0且x﹣2≠0，
∴x≠1且x≠2，
∴x＝0，
则原式＝1．
21．解：设路线一上平均时速为x千米/小时，则路线二上行驶的平均时速为1.5x千米/小时，
根据题意有：，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，
∴1.5x＝60×1.5＝90（千米/小时），
答：路线一上平均时速为60千米/小时，则路线二上行驶的平均时速为90千米/小时，
22．解：过C作CH⊥AB于H，
∵∠CAB＝45°，AC＝30n mile，
∴AH＝CH＝15n mile，
∵∠CBH＝60°，
∴BC＝＝＝10（n mile），
过D作DG⊥AB于G，
∴∠DBG＝180°﹣60°﹣30°﹣60°＝30°，
∴∠BDG＝60°，
∴∠CDB＝60°，
∴CD＝＝＝20（n mile），
答：C，D间的距离为20n mile．
23．解：（1）3÷5%＝60（人）
答：随机抽取的八年级学生人数为60人；
（2）90；
（3）补全直方图略；
（4）77；
（5） （人）
答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到8（0分）及以上的学生人数为390人．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
25．解：（I）∵2a+b＝0，a＝1，
∴b＝﹣2a＝﹣2，
又∵c＝﹣1，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴该抛物线顶点P的坐标为（1，﹣2）．
（II）如图，过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m，
在Rt△MOH中，由，
∴，
解得（舍），
∴点M的坐标为，
∵2a+b＝0，即，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+c的对称轴为直线x＝1．
∵对称轴与x轴相交于点D，
∴OD＝1，∠ODP＝90°．
在Rt△OPD中，由，
∴，
解得（负值舍去），
由a＞0，得该抛物线顶点P的坐标为，
∴该抛物线的解析式为，
∵点在该抛物线上，
∴，
∴a＝10．
（III）过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1，
则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m，
∴DH＝OH﹣OD＝m﹣1，
在Rt△DMH中，DM2＝DH2+HM2＝（m﹣1）2+1，
如图，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN＝90°，
∵∠MDN＝90°，DM＝DN，
又∵∠DNK＝90°﹣∠NDK＝∠MDH，
在Rt△NDK和△DMH中，
，
∴△NDK≌△DMH（AAS），
∴点N的坐标为（2，1﹣m），
在Rt△DMN中，∠DMN＝∠DNM＝45°，
∴MN2＝DM2+DN2＝2DM2，即．
∵，
∴ME＝NF，
在△DMN的外部，作∠DNG＝45°，且NG＝DM，连接GF，
得∠MNG＝∠DNM+∠DNG＝90°，
∴△GNF≌△DME（SAS），
∴GF＝DE，
∴DE+MF＝GF+MF≥GM，
当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即，
在Rt△GMN中，GM2＝NG2+MN2＝3DM2，
∴，
∴DM2＝5，
∴（m﹣1）2+1＝5，
解得m1＝3，m2＝﹣1（舍），
∴点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（2，﹣2），
∵点M（3，1），N（2，﹣2）都在抛物线y＝ax2﹣2ax+c上，
∴1＝9a﹣6a+c，﹣2＝4a﹣4a+c，
∴a＝1．
26．解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（m，8），
∴2×m+6＝8，
解得m＝1，
∴A（1，8），
∴m＝2×1+6＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）不等式2x+6﹣＞0的解集为x＞1．
（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜n＜6，
∴＜0，
∴﹣＞0
∴S△BMN＝|MN|×|yM|＝×（﹣）×n＝﹣（n﹣3）2+，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
27．（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AD于点E，
∴∠DEC＝90°，
∵CD＝BC，
∴C是BD的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，
∴AD∥OC，
∴∠CED＝∠OCE＝90°，
∴CE⊥OC，
又∵OC是半径，
∴CE是圆O的切线；
（2）①证明：连接AC，
∵CE⊥OC，
∴∠ECO＝90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ECO，
∴∠OCB＝∠ECA，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠ACE，
∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠OBC﹣∠ABF＝∠ACE﹣∠ACF，
∴∠EBC＝∠ECF，
∵∠EBC＝∠CAP，
∴∠ECF＝∠CAP，
∵∠CPF＝∠CPA，
∴△PCF∽△PAC，
∴，
∴PC2＝PF PA；
②解：∵AB是直径，点F在圆上，
∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，
∵∠EPF＝∠EPA，
∴△PEF∽△PAE，
∴，
∴PE2＝PF PA，
又由（2）的①知：PC2＝PF PA，
∴PE＝PC＝5，
在Rt△PEF中，．
28．解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2），
得 ，解得 ，
∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x+2；
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点D（1，1）；
（2）如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，
设点E的横坐标为t．
设直线AD的表达式为y＝kx+b，
由题意知 ，
解得 ，
∴直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，
则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），
∴EG＝t2﹣t，
∵ ADFE的面积为12，
∴S△ADE＝S△四边形ADFE＝＝6，
∴S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE＝，
∵HD＝1，
∴EG＝12，
∴t2﹣t＝12，
解得t1＝4，t2＝﹣3 （舍），
∴E（4，10），
∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F，
∴F（5，9），
将F（5，9代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），
得m2﹣11m+18＝0，
解得m1＝2，m2＝9；
（3）如图2，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，
设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），
∵y＝x2﹣2mx+m2+2﹣m＝（x﹣m）2+2﹣m，
∴抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），
∴DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，
∴DK＝KQ，∠DQK＝45°，
∵MN∥DQ KQ∥NP，
∴∠MNP＝∠DQK＝45°，
∴∠NMP＝45°，
∴MP＝NP，
∴n﹣h＝h2﹣2h+2，
∴n＝h2﹣h+2＝（h﹣）2+，
∴当时，，
∴点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，
最近距离即边BD上的高，高为：，
∴△BDN面积的最小值为S△BDN＝××＝．
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