北京市第十四中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

2025北京十四中高三 12月月考
数 学
第一部分（选择题，共 40分）
一、选择题：共 10小题，每小题 4分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
1. 已知全集U = 2, 1,0,1,2,3,4 ，集合 A = x Z | x2 2 ，则 U A =（ ）．
A. 1,0,1 B. 2, 2,3 C. 2,2,3,4 D. 2,0,3
1
2. 在复平面内，复数 z = 对应的点位于（ ）
2+ i
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2 2 2
3. 若圆 x + y 2x 2ay + a = 0截直线 x 2y + 3 = 0所得弦长为 2，则a =（ ）．
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
4
2
4. 在 2 x 的展开式中， x 的系数为（ ）．
x
A. 8 B. 8 C. 48 D. 48
5. 已知函数 f (x) = 3log2x 2 (x 1)，则不等式 f (x) 0 的解集是（ ）
A. (1, 4) B. ( ,1) (4,+ ) C. (0,1) (4,+ ) D. (0, 4)
1
6. 在 ABC中，若 c = 4,b a =1,cosC = ，则 ABC的面积是（ ）
4
3 3 15
A. 1 B. C. 15 D.
4 4
7. 已知 an 为等差数列，a1 = 3， a4 + a6 = 10．若数列 bn 满足bn = an + an+1 (n =1,2, )，记 bn
的前 n项和为 Sn，则 S10 =（ ）．
A. 32 B. 80 C. 140 D. 224

8. 在 ABC中，“ ABC为直角三角形”是“对于任意 t 1， BA tBC AC ”的（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

9. 在 ABC中， AC = BC = 1, C = 90 ．P为 AB边上的动点，则 PB PC的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A. ,1 B. ,1 C. , 24 8 4
D. ,2
8
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10. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 Q是棱DD1上的动点，下列说法中错误的是（ ）．
①存在点 Q，使得C1Q∥ A1C ；
②存在点 Q，使得C1Q ⊥ A1C ；
③对于任意点 Q，Q到 A1C的距离为定值；
④存在点 Q，△A1CQ是锐角三角形．
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①③④
第二部分（非选择题，共 110分）
二、填空题：共 5小题，每小题 5分．
11. 已知双曲线C : 4x2 y2 = 4，则 C的焦点到其渐近线的距离为______．
12. ABC是等边三角形，点 D在边 AC的延长线上，且 AD = 3CD，BD = 2 7 ，则CD = ______；
sin ABD = ______.
2
13. 设抛物线 y = 8x的焦点为 F ，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l相切的圆的方程为_________.
x + a, x 1
14. 设函数 f (x) = 2 ，若 a = 2，则 f ( x)的单调递减区间是_______；若 f ( x)的值
a (x 2) +1, x 1
域为 ( ,+ )，则 a的取值范围是________.
n+1
15. 对于数列 an ，令Tn = a1 a2 + a3 a4 + + ( 1) a ，给出下列四个结论： n
①若 an = n，则T2025 =1013；
②若Tn = n，则a = 1 2025 ；
③若对任意的 n N ，都有 Tn M ，则有 an+1 an 2M ；
④存在各项均为整数的数列 a n ，使得 Tn Tn+1 对任意的 n N 都成立．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 如图，四边形 ABCD为梯形， AB∥CD，四边形 ADEF 为平行四边形．
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（1）求证：CE∥平面 ABF ；
（2）若 AB ⊥平面 ADEF , AF ⊥ AD, AF = AD = CD = 1, AB = 2，求：
（ⅰ）直线 AB与平面 BCF 所成角的正弦值；
（ⅱ）点 D到平面 BCF 的距离．
π 2 π
17. 已知函数 f (x) = sin(2 x + ) 2sin ( x )，其中 R, 0 .请从条件①、条件②、条件③
2 6
这三个条件中选择两．个．作为已知，使函数 f (x) 存在且唯一确定，并解答下列问题.
1
条件①： f (0) = ；
2
条件②： f (x) 最大值为 3 1；
π
条件③： f (x) 在区间 a,b 上单调，且b a最大值为 ；
2
（1）求函数 f (x) 的对称中心；
1
（2）若方程 f (x) = 在区间 (0,m)内有且仅有 1 个实根，求 m的取值范围.
2
18. 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021 年 12 月至 2022 年 5 月全国新能源市场
三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
12 月 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月
轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0
MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4
SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5
（1）从 2021 年 12 月至 2022 年 5 月中任选 1 个月份，求该月MPV 零售销量超过这 6 个月该车型月度零
售销量平均值的概率；
（2）从 2022 年 1 月至 2022 年 5 月中任选 3 个月份，将其中SUV 的月度零售销量相比上个月份增加的月
份个数记为 X，求 X的分布列和数学期望 EX ；
2
（3）记 2021 年 12 月至 2022 年 5 月轿车月度零售销量数据的方差为 s1 ，同期各月轿车与对应的MPV 月
2 2 2
度零售销量分别相加得到 6 个数据的方差为 s2 ，写出 s1 与 s2 的大小关系．（结论不要求证明）
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x2 y2
19. 已知椭圆E : + =1过点P ( 2,1)和Q (2 2,0) .
a2 b2
（1）求椭圆 E的方程；
（2）过点G (0, 2)作直线 l交椭圆 E于不同的两点 A,B，直线PA交 y轴于点M ，直线 PB交 y轴于点
N .若 GM GN = 2，求直线 l的方程.
20. 已知函数 f (x) = 2ln x x ln a， a 0 ．
（1）求曲线 y = f (x)在 (1, f (1))处切线的斜率；
（2）求函数 f ( x)的极大值；
x 2
（3）设 g (x) = ae x ，当 a (1,e)时，求函数 g (x)的零点个数．并说明理由．
21. 对任意正整数 n，记集合 An = (a1,a2 , ,an ) a1,a2 , ,an 均为非负整数，且 a1 + a2 + + an = n ，
集合 Bn = (b1,b2 , ,bn ) b1,b2 , ,bn 均为非负整数，且b1 + b2 + + bn = 2n ．设
= (a1,a2 , ,an ) An， = (b1,b2 , ,bn ) Bn，若对任意 i 1,2, ,n 都有 a b i i，则记 ．
（1）写出集合 A2 和 B2 ；
（2）证明：对任意 An，存在 Bn，使得 ；
（3）设集合 Sn = ( , ) An , Bn , 求证： Sn中的元素个数是完全平方数．
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参考答案
第一部分（选择题，共 40分）
一、选择题：共 10小题，每小题 4分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D A C D C B B D
第二部分（非选择题，共 110分）
二、填空题：共 5小题，每小题 5分．
2
2 2 y
11. 【答案】 双曲线C : 4x y = 4，即 x2 =1，
4
a2 =1,b2 = 4,c2 = a2 + b2 = 5,a,b,c 0，即a =1,b = 2,c = 5 ，
b
双曲线的渐近线方程为 y = x = 2x，焦点坐标为F1 ( 5,0) ,F2 ( 5,0)，
a
双曲线的焦点到任意一条渐近线的距离相等，取焦点F 2x + y = 01 ( 5,0)和渐近线 ，
2 ( 5 )+ 0
焦点到渐近线的距离 2 5d = = = 2，
22 +12 5
故答案为：2．
12. 【答案】如图所示，等边 ABC中， AD = 3CD，所以 AC = 2CD .
又 ，所以 BD2 = BC 2 +CD2BD = 2 7 2BC CD cos BCD，
2
即 (2 7 ) 2= (2CD) +CD2 2 2CD CD cos120 ，解得CD = 2 ，所以 AD = 6 ；
AD BD 6 2 7 3 21
由 = ，即 = ，解得 sin ABD = .
sin ABD sin A sin ABD sin 60 14
3 21
故答案为： 2 ； .
14
13. 【答案】由题,焦点为 F (2,0) ,准线 l为 x = 2 ,则圆的半径 r = 4 ,
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所以圆的方程为 (x 2)2 + y2 =16 ,
故答案为： (x 2)2 + y2 =16
x + 2, x 1
14. 【答案】依题意，当 a = 2时， f ( x) = 2 ，显然 f ( x)在 ( ,1)上单调递减，
2( x 2) +1, x 1
在 (1,2)上单调递增，在 (2,+ ) 上单调递减，
所以 f ( x)的单调递减区间是 ( ,1)， (2,+ ) ；
由于 y = x + a在 ( ,1 上的值域为 a 1,+ )，要 f ( x)的值域为 ( ,+ )，
则当且仅当 y = a(x 2)2 +1在 (1,+ )上的值域包含 ( ,a 1)，
则有 a 0 ，即 a 0 ，此时 y = a(x 2)2 +1在 (1,+ )上的值域为 ( ,1 ，
因此 a 1 1，解得 a 2 ，
所以 a的取值范围是0 a 2 .
故答案为： ( ,1)， (2,+ )； (0, 2
15. 【答案】对于①， an = n，
T2025 = (a1 a2 )+ (a3 a4 )+ + (a2023 a2024 )+ a2025 = 1012+ 2025 =1013，①正确；
n+1
对于②，T = n，令b = ( 1) a ，则Tn = b1 + b2 + + bn n = n，当 n 2 时，Tn 1 = n 1n n ，
b =T T n+1 n+1则 a =1n n n 1 =1= ( 1) an， an = ( 1) ，因此 2025 ，②错误；
n+1 n+2
对于③，由Tn = a1 a2 + a3 a4 + +( 1) an，得 ( 1) an+1 = Tn+1 Tn，
n+1
当 n 2 时， ( 1) a = T T ，则当 n 2 时， an+1 = ( 1)
n+2 (T n+1
n n n 1 n+1
Tn ),an = ( 1) (Tn Tn 1) ，
因此 | an+1 an |= ( 1)
n+2 (Tn+1 Tn ) ( 1)
n+1(T n+1n Tn 1) = ( 1) (Tn+1 Tn ) (Tn Tn 1)
|Tn Tn+1 Tn +Tn 1 |=|Tn 1 Tn+1 | |Tn 1 | + |Tn+1 | M +M = 2M ， n 2 .
当 n =1时， | a2 a1 |=| T2 | M 2M ，所以对任意的 n
*
N ，都有 an+1 an 2M 成立，正确，
对于④，假设存在各项均为整数的数列 an ，使得 Tn T *n+1 对任意的 n N 都成立，
则必有 T1 T2 T3 Tn ，且都是非负整数，令正整数 T1 = N，
于是 T2 N 1, T3 N 2, , TN 1, TN+1 0，
则 TN +1 = 0 ， TN+2 TN+1 = 0 ，与 TN +2 0 矛盾，错误；
故答案为：①③
三、解答题：共 6小题，共 85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 【答案】（1）
如图,在射线 AB上取点 P ,使 AP = DC ,连接 PF .
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由题设,得 AP//DC ,所以四边形 APCD为平行四边形.
所以 PC //AD且 PC = AD .
又四边形 ADEF 为平行四边形,
所以 AD//EF且 AD = EF .
所以 PC //EF且. PC = EF .
所以四边形 PCEF为平行四边形,
所以 PF //CE .
因为CE 平面 ABF ,PF 平面 ABF
所以CE // 平面 ABF .
（2）
（i）因为 AB ⊥平面 ADEF , AD, AF 平面 ADEF ，
所以 AB ⊥ AD, AB ⊥ AF .又 AD ⊥ AF ,
所以 AB , AD , AF 两两相互垂直.
如图建立空间直角坐标系 A xyz ,

则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),F (0,0,1) .所以BC = ( 1,1,0),BF = ( 2,0,1), AB = (2,0,0) .

m BC = 0,
设平面 BCF 的法向量为m = (x, y, z) ,则
m BF = 0,
x + y = 0,
即
2x + z = 0.

令 x =1 ,则 y =1, z = 2 .于是m = (1,1,2) .
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设直线 AB与平面 BCF 所成角为 ,则

m AB 6
sin = cos m, AB = = .
m | AB∣ 6
6
所以直线 AB与平面 BCF 所成角的正弦值为 .
6
（ii）因为 AB//CD ,
6
所以直线CD与平面 BCF 所成角的正弦值为 .
6
6
所以点D到平面 BCF 的距离为d =CD sin =
6
17. 【答案】（1）
π 1 3
依题意， f (x) = cos 2 x + cos(2 x ) 1= ( + ) cos2 x + sin 2 x 1，
3 2 2
1 3
若选②， f (x) 2max = ( + ) + 1= 3 1，解得 =1或 = 2 ，
2 4
π π
当 =1时， f (x) = 3 sin(2 x + ) 1，当 = 2 时， f (x) = 3 sin(2 x ) 1，
3 3
因此选②，可以求得两个不同函数，不符合题意，即条件②不可选；
1 1 π
于是选条件①③，由①知， f (0) = = ，解得 =1， f (x) = 3 sin(2 x + ) 1，
2 2 3
2π π
由③知，函数 f (x) 的最小正周期为 π，即 = π，解得 =1， f (x) = 3 sin(2x + ) 1，函数 f (x)
2 3
唯一确定，
π π kπ
由 2x + = kπ,k Z ，得 x = + ,k Z，
3 6 2
π kπ
所以函数 f (x) 的对称中心为 ( + , 1)(k Z) .
6 2
（2）
π 1 π 3
由（1）知， f (x) = 3 sin(2x + ) 1，由 f (x) = ，得 sin(2x + ) = ，
3 2 3 2
π π π
当 x (0,m)
π 3
时， 2x + ( , 2m+ )，依题意， sin(2x + ) = 在 (0,m)内有且仅有 1 个实根，
3 3 3 3 2
2π π 7π π
则 2m+ ，解得 m π，
3 3 3 6
π
所以 m的取值范围是 m π .
6
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18. 【答案】（1）
1
这 6 个月 MPV 车型月度零售销量平均值为 x = (0.8+ 0.2+ 0.2+ 0.3+ 0.4+ 0.4) 0.38.
6
故 MPV 月度零售销量超过 x 的月份为 12 月，4 月，5 月，
所以从 2021 年 12 月至 2022 年 5 月中任选 1 个月份，
3 1
该月 MPV 零售销量超过 x 的概率为 = .
6 2
（2）
从 2022 年 1 月至 2022 年 5 月，SUV 的月度零售销量相比上个月份增加的月份有 2 个：3 月和 5 月，
所以 X 的所有可能取值为0,1, 2 ，
C3 C13 1 2C
2
3 3 C
2
2C
1
3
则P(X = 0) = = , P(X =1) = = , P(X = 2) = 3 = ，
C35 10 C
3 3
5 5 C5 10
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 3 6
故 X 的数学期望EX = 0 +1 + 2 = .
10 5 10 5
（3）
依题意，2021 年 12 月至 2022 年 5 月轿车月度零售销量分别为 28.4,21.3,15.4,26.0,16.7,21.0，
1
其平均值为 (28.4+ 21.3+15.4+ 26.0+16.7 + 21.0) 21.467 ，
6
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为6.933, 0.167, 6.067, 4.533, 4.767,0.467 ，
2 1 2 2 2所以 s1 = 6.933
2 + ( 0.167) + ( 6.067) + 4.5332 + ( 4.767) + 0.4672 21.399，
6
同期各月轿车与对应的 MPV 月度零售销量分别相加得到 6 个数据为 29.2,21.5,15.6,26.3,17.1,21.4，
1
其平均值为 (29.2+ 21.5+15.6+ 26.3+17.1+ 21.4) = 21.85，
6
所以轿车与对应的 MPV 各月度零售销量与平均值的差为7.35, 0.35, 6.25,4.45, 4.75, 0.45，
1 2 2 2 2
所以 s
2
2 =
7.352 + ( 0.35) + ( 6.25) + 4.452 + ( 4.75) + ( 0.45) 22.629 ，
6
故 s
2
1 s
2
2 .
19. 【答案】（1）
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4 1
+ =1, a2 b2
将点 P ( 2,1) ,Q (2 2,0)坐标代入椭圆 E的方程，得 解得 a2 = 8,b2 = 2 ,所以椭圆 E的方
8 =1,
a
2
x2 y2
程为： + =1
8 2
（2）
若直线 l的斜率不存在，即直线 l为 x = 0 时， A和M 重合， B和 N 点重合，分别为椭圆的上下顶点
(0, 2 )(0, 2 )，此时 GM GN = (2 2 ) (2+ 2 ) = 2，符合题意.
若直线 l斜率存在，设直线 AB的方程为 y = kx + 2 ， A(x1, y1 )B (x2 , y2 )(x1 2 且 x2 2)，联立方程
y = kx + 2

2 2 (4k 2 2 2 1 x y 得， +1) x +16kx +8 = 0 ， = (16k ) 32(4k 2 +1) = 32(4k 2 1) 0, k 2 ,即
+ =1 4
8 2
1 1
k 或 k
2 2
16k 8 y
x + x = x x 1
2 y1 1
1 2 2 1 2
= k =
2 PA ，所以直线PA的方程为 y = (x + 2)+1，取4k +1 4k +1 x1 +1 x1 + 2
2( y 1) 2( y2 1 1 )
x = 0 得M 0, +1 ，同理可得N 0, +1
x1 + 2 x2 + 2
2( y 1) 2( y 1) 2( y 1) 2( y 1)
由 GM GN = 2
1 2 1 2
得 +1 2 +1 2 = 2，即 1 1 = 2 ，所以
x1 + 2 x2 + 2 x1 + 2 x2 + 2
2 x1 x2 2 x x(2k 1) = 2，即 (2k 1) 1 2 = 2，即
x1 + 2 x x2 + 2 1x2 + 2(x1 + x2 )+ 4
8
2 4k 2(2k 1) +1 = 2
8 32k
+ + 4
4k 2 +1 4k 2 +1
2
(2k 1) 1 2k 1
即 =1 k 2 ，因为 ，所以得 =1，即 k =1，经检验符合题意，此时直线 l为4k 8k + 3 2 2k 3
y = x + 2
综上所述，直线 l的方程为 y = x + 2 或 x = 0 .
20. 【答案】（1）
由 f (x) = 2ln x x ln a，知 f (1) = 1 ln a，即切点 (1, 1 ln a)
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2
求导 f (x) = 1，则切线的斜率 k = f (1) =1
x
所以曲线 y = f (x)在 (1, f (1))处切线的斜率为1 .
（2）
2
函数 f ( x)的定义域为 (0,+ )，求导 f (x) = 1，
x
令 f (x) = 0，得 x = 2
当 x (0,2) 时， f (x) 0，函数单调递增；当 x (2,+ ) 时， f (x) 0，函数单调递减；
4
故当 x = 2 时，函数取得极大值 f (2) = 2ln 2 2 ln a = ln
ae2
4
所以函数 f ( x)的极大值为 ln
ae2
（3）
g (x) = aex x2 x函数 ，求导 g (x) = ae 2x， a (1,e)
当 x ( ,0 时， g (x) 0，故函数在 ( , 0 上单调递增，
a
又 g(0) = a 0 ， g( 1) = 1 0 ，所以方程 g ( x) = 0在 x ( 1,0)有且仅有一个根，
e
即函数 g (x)在 x ( ,0 有一个零点.
当 x 0 时，讨论函数 g (x)的零点个数，即讨论方程 aex = x2的根的个数，
x2 x2
即讨论方程 a = 的根的个数，即讨论函数h(x) = 与 y = a的交点个数，
ex ex
2x x2
求导 h (x) = ，令 h (x) = 0，得 x = 0 或 x = 2
ex
当 x (0,2) 时，h (x) 0，函数单调递增；当 x (2,+ ) 时，h (x) 0 ，函数单调递减；
4 x2
又 h(0) = 0， h(2) = 1，又 a (1,e)，所以函数
2 h(x) = 与
y = a没有交点，
e ex
即函数 g(x) 在 x (0,+ ) 上无零点.
综上可知，当 a (1,e)时，求函数 g (x)的零点个数为1个.
21. 【答案】（1）
A2 = (0,2) ,(1,1) , (2,0) ， B2 = (0,4) ,(1,3) ,(2,2) ,(3,1) , (4,0) ．
（2）
对任意 = (a1,a2 , ,an ) An ，设bi = ai +1(i =1,2,3, ,n)，
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则b1,b2 , ,bn均为非负整数，且 ai bi (i =1,2,3, ,n)．
令 = (b1,b2 , ,bn )，则b1 + b2 + + bn = (a1 +1)+ (a2 +1)+ + (an +1) = (a1 + a2 + + an )+ n
= 2n，所以 Bn，且 ．
（3）
对任意 = (a 1,a2 , ,an ) An ， = (a1,a2 , ,an ) An，
记 + = (a 1 + a1,a2 + a2 , ,an + a )，则 a + a 1 1 ， a2 + a 2 ，…， an + a n n均为非负整数，
且 (a 1 + a1 )+ (a2 + a2 )+ + (a + a n n ) = (a 1 + a2 + + an )+ (a1 + a2 + + an ) = n+n = 2n，
所以 + Bn，且 + ， + ．
设集合 An中的元素个数为 t，设 An = 1, 2 , , t ．
设集合Tn = ( i , i + j ) i =1,2, , t, j =1,2, , t ．
对任意 A (i =1, 2, , t)i n ，都有 i + 1， i + 2 ，…， i + t Bn ，
且 i i + j ， j =1,2, , t．所以Tn Sn．
若 ( , ) Sn ，其中 = (a1,a2 , ,an ) An ， = (b1,b2 , ,bn ) Bn，
设 ci = bi ai (i =1,2, ,n)，因为 a b ，所以 ci i i = bi ai 0，
记 = (c1,c2 , ,cn )，则 c1 + c2 + + cn = (b1 a1 )+ (b2 a2 )+ (bn an )
= (b1 +b2 + + bn ) (a1 + a2 + + an ) = 2n n = n，
所以 A = + n，并且有 ，所以 ( , ) T ，所以 Sn Tn．所以 Sn n = Tn．
因为集合Tn 中的元素个数为 t
2 ，所以 Sn中的元素个数为 t
2 ，是完全平方数．
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