第四章等可能条件下的概率寒假练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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第四章等可能条件下的概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．在一次兑换盲盒的游戏中，规定：在不透明的袋子中，放置3个黄球，2个红球，这些小球除颜色以外其他完全相同，搅匀后随机摸出两个球，若摸到的两个球颜色相同，便能得到一次兑换盲盒的机会，则参与者每次摸球得到兑换盲盒机会的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．十字路口的交通信号灯每两分钟红灯亮60s，绿灯亮55s，黄灯亮5s，当你拾头看信号灯恰好是黄灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20、”，“08”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”，则他们就给婴儿奖励.假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是 ( )
A． B． C． D．
5．在一个不透明的盒子中装有个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．16
6．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（　　）
A．6种 B．120种 C．240种 D．720种
7．在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（ ）
A．21 B．24 C．27 D．30
8．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的3个围棋棋子，其中黑子2个，白子1个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出1个黑子和1个白子的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．一个不透明的袋子里装有100个除颜色外都相同的小球，其中红色小球有3个，绿色小球有16个，蓝色小球有21个，其余全部为白色小球，搅匀后从中任意摸出一个小球，则摸到（ ）色小球的概率最小．
A．红 B．绿 C．蓝 D．白
12．如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示，一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，上面分别标有数字1，2，3，4，5，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向标有偶数所在区域的概率为（偶数），指针指向标有奇数所在区域的概率为（奇数），则（偶数） （奇数）（填“”、“”或“”）．
14．从一副52张(没有大小王)的扑克牌中每次抽出l张．然后放 回洗匀再抽，研究恰好出现“黑桃”的机会，若用计算器模拟试验，则要在 到 范围中产生随机数，若产生随机数是 ，则代表“出现黑桃”，否则就不是，无论进行多少次试验都可以知道“出现黑桃”的机会为 ．
15．从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是 ．
16．紫色石蕊试剂遇到酸性液体变成红色，遇到碱性液体变成蓝色，现有3瓶无标记液体，其中有两瓶酸性液体、一瓶碱性液体，现取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中，液体变为红色的概率为 ．
17．在一个不透明的口袋中，装有A，B，C，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是 ．
三、解答题
18．现有小莉，小罗，小强三个自愿献血者，两人血型为O型，一人血型为A型．若在三人中随意挑选一人献血，两年以后又从此三人中随意挑选一人献血，试求两次所抽血的血型均为O型的概率．（要求：用列表或画树状图的方法解答）
19．小志和小远玩摸球游戏，他们在一个不透明的箱子里装了6个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．他们从中任意摸出一个球，若摸到红球则小志获胜，若摸到黄球则小远获胜．
(1)小志获胜的概率是__________；
(2)这个游戏公平吗？若不公平，进行怎样的操作可以使游戏公平？（写一种即可）
20．你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗？某人设摊“摸彩”，他手拿一个布袋，内装除颜色外完全相同的4个红球和4个绿球，每次让顾客“免费”从袋中摸出4个球，输赢的规则是：
所摸球的颜色 顾客的收益
4个全红 得50元
3红1绿 得20元
2红2绿 失30元
1红3绿 得20元
4个全绿 得50元
若你摸出了2红2绿则失30元，而对于其他四种情况，你均能赢钱．乍一看，此规则似乎对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次．然而，顾客大多数都免不了以失败告终，而且试的次数越多，输的也就越多．假如5种情况是等可能的，则赢的机会为，输的机会仅为，平均每摸5次有4次都应该赢，但游戏的妙处就在于这5种情况的发生不是等可能的．经过计算可知，这5种情况出现的概率如下：
所摸球的颜色 出现的概率
4个全红
3红1绿
2红2绿
1红3绿
4个全绿
从表中可以看出，要想摸出“4个全红”或“4个全绿”的概率仅为，而摸到2红2绿的概率为，即有超过一半的机会失30元．
请你计算这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益．
21．不透明袋子中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球．
（1）能够事先确定取出的球是哪种颜色吗？
（2）取出每种颜色的球的概率会相等吗？
（3）取出哪种颜色的球的概率最大？
（4）如何改变各色球的数目，使取出每种颜色的球的概率都相等（提出一种方法即可）？
22．甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
(1)求甲第一个出场的概率；
(2)求甲比乙先出场的概率．
23．在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“山”“西”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“山”的概率为________．
(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图(或列表法)，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率；
(3)乙从中任取一球，记下汉字后再放回口袋中，然后再从中任取一球，记下取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“山西”的概率为，不画树状图或列表，写出的值，并比较，的大小．
24．小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．
《第四章等可能条件下的概率》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C A D A D D A
题号 11 12
答案 A C
1．D
【分析】本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得阴影部分的面积，再进一步利用概率公式计算即可．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
∴，
∴图中阴影部分的面积是
，
∴一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是：
，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了画树状图法或列表法求等可能情形下的概率计算；画树状图法或列表法，利用概率计算公式，即可求解；能理解放回与不放回的区别是解题的关键．
【详解】解：列表如下
黄 黄 黄 红 红
黄
黄
黄
红
红
共有种等可能结果，其中摸到的两个球颜色相同的有种结果，
摸到的两个球颜色相同的概率：；
故选：C．
3．A
【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，依此列式计算即可求解．
【详解】∵每两分钟红灯亮60秒，绿灯亮55秒，黄灯亮5秒，
∴拾头看信号灯恰好是黄灯亮的概率是P．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
4．C
【分析】本题考查了概率的应用，掌握树状图或列表法是解题关键．画出树状图确定全部可能结果以及满足条件的情况，即可求解．
【详解】解：画出树状图如下：
一共有种等可能的情况，婴儿能够排成“2008北京”或者“北京2008”的情况有种，
∴这个婴儿能得到奖励的概率是：，
故选：C．
5．A
【分析】设黄球的个数为x个，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：
，
解得：x=4，
经检验，x=4是原方程的解，且符合题意．
故选A
【点睛】本题主要考查了概率公式的应用，解此题的关键是设黄球的个数为x个，利用方程思想求解．
6．D
【分析】分为六步，第一位同学有6种选法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法，据此可得答案．
【详解】老师在中间，则第一位同学有6种选法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法
因此，共有种
故选：D．
【点睛】本题考查了简单事件的排列组合问题，正确理解题意，依次列出所有同学的可能的站法是解题关键．
7．A
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，概率公式的应用，准确计算是解题的关键．
利用黄球的实际个数除以其概率得到总数，总数减去黄球个数即为红球个数．
【详解】解：根据题意得两种球的总数为（个），
则红球的个数为（个），
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：令《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》分别为A、B、C、D，
画树状图法如下：
由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的情况有种，
∴恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是，
故选：D
9．D
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及摸出1个黑子和1个白子的结果数，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
黑子 黑子 白子
黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子）
黑子 （黑子，黑子） （黑子，白子）
白子 （白子，黑子） （白子，黑子）
共有6种等可能的结果，其中摸出1个黑子和1个白子的结果有4种，
摸出1个黑子和1个白子的概率为．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率．由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有12种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有12个，而能构成一个轴对称图形的有2个情况，
∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：．
故选A．
11．A
【分析】算出每种颜色的概率，再进行比较得出概率最小的．
【详解】 红色概率：，
绿色概率：，
蓝色概率：，
白色概率：，
∵，
∴红色概率最大，
故选：A.
【点睛】本题考查概率的大小比较，掌握概率计算方法是关键．
12．C
【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．
【详解】解：依题意，用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，
共六种可能，
只有是“平稳数”
∴恰好是“平稳数”的概率为
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
13．
【分析】根据题意得出（偶数），（奇数），即可得出结果．
【详解】解：∵一个圆形转盘被等分成五个扇形区域，有2个偶数区，3个奇数区，
∴有（偶数），（奇数），
所以（偶数）（奇数）．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查几何概率的计算方法，熟练掌握计算方法是解题关键．
14． 1 4 0 25
【详解】因为一副52长(没有大小王)的牌,黑桃占13张,随机抽出一张是黑桃的概率为,
所以要在1-13之间范围内产生随机数,若产生的随机数是1-13之间的数,则代表出现黑桃,无论进行多少次实验出现黑桃的概率都不变,故答案为:1,13,1到13中的数,
15．．
【详解】解：由题意可知，这三个数相乘的积分别是，所以正数的概率是
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
16．
【分析】此题考查了概率的知识，解题的关键是熟练掌握概率的求解方法．
【详解】解：取一滴紫色石蕊试剂随机滴入一瓶试剂中共有3种等可能情况，
其中滴入酸性液体有2种可能情况，即液体变为红色有2种，
∴液体变为红色的概率为，
故答案为：．
17．．
【详解】试题分析：画树状图如下：
∴P（两次摸到同一个小球）==.故答案为．
考点：列表法与树状图法；概率公式．
18．
【分析】列举出所有情况，看两次所抽血的血型均为O型的情况占总情况的多少即可．
【详解】画树状图如下：
共有9种情况，两次都为O型的有4种情况，所以概率是．
19．(1)
(2)游戏不公平，可在箱子里再放入个黄球，游戏公平．
【分析】（1）根据概率公式，用红球个数除以球的总个数求小志获胜概率．
（2）比较两人获胜概率判断是否公平，再思考使概率相等的操作．
本题主要考查了概率的计算与游戏公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 箱子里有个红球，个黄球，球的总数为个，
∴ 小志获胜的概率是．
（2）解：∵ 小远获胜的概率是，，
∴ 这个游戏不公平．
可在箱子里再放入个黄球（操作不唯一），此时红球个，黄球个，两人获胜概率均为，游戏公平．
20．元
【分析】根据平均收益等于各种情况的概率与其收益的乘积的和解答即可．
【详解】解：根据题意，这种游戏中顾客每摸一次球的平均收益为：
（元）．
【点睛】本题考查概率的意义，理解“平均收益”的意义，熟知平均收益等于各种情况的概率与其收益的乘积的和是解答的关键．
21．（1）不能；（2）不会相等，；（3）取出蓝球的概率最大；（4）使各颜色球的数目相等，例如：增加一个红球，减少一个蓝球．
【分析】（1）根据袋中装有不同颜色的球进行判断；
（2）计算出每种颜色的球的概率即可判断；
（3）计算出每种颜色的球的概率即可判断；
（4）使各种颜色的球数量相同即可．
【详解】解：（1）袋中装有不同颜色的球，所以不能确定取出球的颜色；
（2）不会相等，因为共有2＋3＋4＝9个球，
所以取出红球的概率是，
取出绿球的概率是＝，
取出蓝球的概率是；
（3）由（2）可知取出蓝球的概率最大；
（4）使各颜色球的数目相等即可
例如：增加一个红球，减少一个蓝球．
【点睛】本题主要考查了概率公式的简单应用，关键是掌握随机事件的概率为＝事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
22．(1)；
(2)．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）利用列举法可得：出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，继而可求得答案．
【详解】（1）∵甲、乙、丙三位歌手进入“我是歌手”冠、亚、季军决赛，
∴甲第一位出场的概率为；
（2）∵出场情况为：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况，
∴甲比乙先出场的情况有：甲乙丙，甲丙乙，丙甲乙，
∴甲比乙先出场的概率为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算．掌握概率公式和利用列举法求概率是解题关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）总的等可能结果有4种，概率为；
（2）总的等可能结果有12种，其中满足要求的有4种，；
（3）总的等可能结果有种，其中满足要求的有，概率为；
【详解】（1）解：汉字刚好是“山”的概率为；
（2）解：如图，总的等可能结果有12种，其中满足要求的有4种，
∴恰能组成“美丽”或“山西”的概率．

（3）解：同理可得：总的等可能结果有种，其中满足要求的有，
∴．
【点睛】本题考查概率的计算，列举法求概率；能够用树状图或列表工具得出所有等可能结果是解题的关键．
24．
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】画树状图得：
如图：共有6种可能出现的结果，小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的有2种情况，
∴小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率为：.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
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