6.6图形的位似寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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6.6图形的位似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）

A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④
2．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的顶点 ，点 在第一象限，已知 与 位似，位似中心是原点 ，且 的面积是 面积的 4 倍，则点 对应点 的坐标为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
3．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴正半轴上，点A在第一象限．将顶点A，B的横、纵坐标都乘3，得到点，则关于与的关系说法正确的是（ ）

A．与关于点位似，相似比为
B．与关于点位似，相似比为
C．与关于点位似，相似比为
D．与关于点位似，相似比为
4．如图，以点为位似中心，作的一个位似三角形，，，的对应点分别为，，，与的比值为，若两个三角形的顶点及点均在如图所示的格点上，则的值和点的坐标分别为（ ）
A．2，(2, 8) B．4，(2, 8) C．2，(2, 4) D．2，(4, 4)
5．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，的三个顶点均在格点上，与位似，点为位似中心，且位似比为1：2．若在网格中建立坐标系，点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
6．如图，与位似，位似中心为．与的面积之比为，若，则的长度为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．20
7．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）

A．8 B．16 C．24 D．32
8．下列说法正确的是（ ）
A．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似
B．相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形
C．三点确定一个圆
D．如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等
9．如图与关于点A 成位似图形，若他们的位似比为，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段CD两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B的坐标为，则点A的坐标为　　
A． B． C． D．
11．如图，△ABE和△CDE是以点E(1，0)为位似中心的位似图形，已知点A(3，4)，C(2，2)，D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是( )
A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1)
12．如图，已知线段AB坐标两端点的坐标分别为A（1，2），B（3，1），以点O为位似中心，相似比为3，将AB在第一象限内放大，A点的对应点C的坐标为（　 　）
A．（3，6） B．（9，3） C．（－3，－6） D．（6，3）
二、填空题
13．如图，四边形和是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为 ．
14．如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为 ．
15．在平面直角坐标系中，，现以原点O 为位似中心画出，使与相似比为2，则A的对应点的坐标为
16．已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是 ；在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是 ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，画出四边形以点O为位似中心的位似图形，使它与四边形的相似比是2∶1．
19．将如图所示的图形缩小，使得缩小前后对应线段的比为．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)点关于原点对称的点的坐标为________；
(2)请以原点为位似中心，在轴左侧画一个，使与位似，且相似比为，点、、的对应点分别为、、．
21．与的半径分别为R、r，如果在直线取一点P，使，那么称与关于点P位似，P叫作位似中心，k叫作与的位似比（规定：同心圆关于圆心位似）．
(1)如图①，已知和点P，画，使与关于点P位似，且与的位似比为；
(2)如图②，已知和关于点P位似，直线l经过点P且与相切，切点为A，请判断直线l与的位置关系，并说明理由．
22．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O．
（1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形；
（2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2；
（3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来．
23．如图，三个顶点的坐标分别为．以原点O为位似中心，把这个三角形按相似比2放大，得到．写出三个顶点的坐标．
24．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）和格点．
(1)以点为位似中心，将在网格中放大成，使，请画出；
(2)以点为三角形的一个顶点，请画一个格点，使，且相似比为．

《6.6图形的位似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A D A C A A D
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
2．D
【分析】本题考查坐标与位似，等边三角形的性质，勾股定理，过点作，根据等边三角形的性质，求出点坐标，根据两个三角形的面积，求出相似比，进而得到位似比，根据以原点为位似中心的对应点的坐标特点，进行求解即可．
【详解】解：过点作，
∵边三角形 的顶点 ，
∴，
∴，
∴，
∵ 与 位似，且 的面积是 面积的 4 倍，
∴与的相似比为，
∴位似比为：，
∵位似中心是原点 ，
∴或，
即： 或 ；
故选D．
3．D
【分析】此题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而得出答案．
【详解】解：∵将顶点A，B的横、纵坐标都乘3，得到点，，
∴关于与的关系正确的是与关于原点位似，相似比为3：1．
故选：D．
4．A
【分析】利用勾股定理求出DA1与DA的值，然后相比即可求出k值；连接DB并延长至B1，使DB1=2DB，连接DC并延长至C1，使DC1=2DC，然后顺次连接A1，B1，C1，然后根据平面直角坐标系写出点C1的坐标即可得解．
【详解】根据勾股定理DA=，
DA1=，
∴k==2，
C1的坐标为（2，8）．
故选A．
【点睛】本题考查了利用位似变换作图，以及位似变换的性质，位似比的求解，是基础题，找出对应点的位置是解题的关键．
5．D
【分析】根据位似变换的概念和性质、结合图形解答．
【详解】解：如图，
由图可知，点C的坐标为(-2，3)，
以点A为位似中心，在网格中画，使与△ABC位似，且位似比为1：2，
则点的坐标为(-5，0)或(-1，4)，
故选：D．
【点睛】本题考查位似变换的应用，熟练掌握位似变换的概念和性质是解题关键．
6．A
【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的性质，由题意得出，结合与的面积之比为，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵与位似，
∴，
∵与的面积之比为，
，
∵，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．由可得，从而和的相似比为，即可求出的周长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴和的相似比为，
∵的周长为8，
∴的周长为24．
故选：C
8．A
【分析】此题考查了相似三角形的判定，位似图形的性质，确定圆的条件，同圆或等圆中弦和圆周角的关系，根据相似三角形的判定，位似图形的性质，确定圆的条件，同圆或等圆中弦和圆周角的关系求解即可．
【详解】A．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似，正确；
B．相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，原说法错误；
C．不共线的三点确定一个圆，原说法错误；
D．同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆周角相等，原说法错误．
故选：A．
9．A
【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到与相似，根据相似多边形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵与关于点A 成位似图形，他们的位似比为，
∴与相似，他们的相似比为，
∴与的面积比为，
故选：A．
10．D
【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出A点坐标．
【详解】∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，D（2，0），点B的坐标为（6，0），
∴，
∴位似比为，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（3，6）．
故选D．
【点睛】此题主要考查了位似图形以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解题关键．
11．C
【详解】解：设点B的坐标为（x，y），
∵△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，
∴，，
解得x＝5，y＝2，
所以，点B的坐标为（5，2）．
故选：C．
12．A
【详解】由题意得1=6，C（3，6），所以选A.
13．
【详解】此题考查了位似图形和相似的性质，熟练掌握相似形的面积比等于相似比的平方是解题的关键，根据位似图形的性质和得到四边形和的相似比为，即可得到答案．
【分析】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴四边形和的相似比为，
∴四边形与四边形的面积比为，
故答案为：.
14．
【分析】根据点A、B的坐标，得到，根据，得到位似比为：，结合图形得出，则点A的对应点C的坐标是的坐标同时乘以2，因而得到的点C的坐标．
【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，，
∴，
∵以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，，
∴两图形位似比为：，
∴点C的坐标为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了图形的位似，熟练掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标特征是解题的关键．
15．或
【分析】本题主要考查了位似变换，分位似图形在原点的同侧和异侧两种情况讨论，再根据位似比可得答案．
【详解】由题意得，当位似图形在原点同侧时，A点的对应点的坐标是，即；
当当位似图形在原点异侧时，A点的对应点的坐标是，即．
故答案为：或．
16．（4，6）
【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标．
【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，
∴对应点的坐标应乘以2，
∵点的坐标为（2，3），
∴点的坐标为，即（4，6）
故答案为（4，6）．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键．
17． （﹣1，）， （﹣，）．
【分析】先利用矩形的性质写出B点坐标，则根据线段中点坐标公式可写出矩形AOCB的对称中心的坐标；再利用以原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系分别写出B1、B2、B3、B4的坐标，然后矩形A4OC4B4的对称中心的坐标．
【详解】解：∵OA=2．OC=1，
∴B（-2，1），
∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（-1，），
∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，
∴B1（-3，），
同理可得B2（-，），B3（-，），B4（-，），
∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．
故答案为（-1，），（﹣，）．
【点睛】本题考查作图-位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
18．见解析
【分析】分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′；以及，，即可．
【详解】解：如图，四边形OA′B′C′和即为所求．
【点睛】本题考查作图 位似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．见解析
【分析】取正六边形的中心点为位似中心，连接点和图形的各个顶点，然后取连接线段的中点，最后依次连接各个中点即可．
【详解】解：取正六边形的中心点为位似中心，连接点和图形的各个顶点，
取每个连接线段的中点，依次连接各个中点，如下图：
【点睛】此题考查了作图—位似变换，先确定位似中心，再分别连接位似中心与原图的关键点，再根据位似比确定关键点是解题的关键．
20．(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，求关于原点对称的点的坐标：
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数即可得到答案；
（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以负2得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可．
【详解】（1）解；∵，
∴点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求．
21．(1)见解析
(2)直线l是的切线，理由见解析
【分析】本题主要考查了画位似图形，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定：
（1）根据题意可得，，据此作图即可；
（2）连接，作于点C，设和的半径分别为．由切线的性质得到，则可证明，得到，再由和的关于点P位似，得到，则，据此可证明直线l是的切线．
【详解】（1）解：如图所示，和即为所求；
由题意得，，
由，得到，；
（2）解：直线l是的切线，理由如下：
如图，连接，作于点C，
设和的半径分别为．
∵直线l是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵和的关于点P位似，
∴，
∴，
∵，是的半径，
∴直线l是的切线．
22．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）有，答案见解析．
【解析】（1）根据平移的方向和距离，确定正方形四个顶点的对应点的位置后，顺次连接即可；
（2）连接O点与各顶点，在同一方向延长，使延长后的线段为之前的两倍，确定对应点的位置后，顺次连接即可；
（3）连接A'C1、B'D1、C'A1、D'B1，它们的交点即为位似中心．
【详解】解：（1）图形如图所示：
（2）图形如图所示：
（3）有，如图所示，P点即为所求：
【点睛】本题考查了网格中的作图，涉及到了平移、作位似图形、找位似中心等内容，要求学生理解并掌握相关概念与作图步骤等，解题的关键是明白两个图形位似，则对应点的连线交于一点，该点即为位似中心，同时应明白位似比的概念，能利用位似比作一个图形的位似图形等．
23．或
【分析】本题考查的是位似变换的性质，先根据位似变换的性质画出图形，然后根据图形写出坐标即可．
【详解】解：如图，
或．
24．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）以为位似中心，欲使，即 ，则与的相似比为，即延长到，使，同样的方法，使，因为，则；
（2）分别将各边长同时乘以 ，分别为，，，利用勾股定理，分别找出来即可．
【详解】（1）解：延长到，使，同样的方法，使，因为，则，
，即，
如图，即为所求，

（2），，，
，且相似比为，
，，，
如图，即为所求（注意，，的长）．

【点睛】本题考查了本位似变换、相似变换等知识，勾股定理，格点作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
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