6.7用相似三角形解决问题寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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6.7用相似三角形解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，路灯灯柱OP的长为9米，身高1．8米的小明从距离路灯的底部（点O）20米的点A处，沿AO所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（ ）
A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
2．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，如图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁米，爸爸拿的光源与小明手的距离为米，如图．在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应（ ）
A．增加米 B．增加米 C．增加米 D．减少米
3．如图是小明利用等腰直角三角板测量旗杆高度的示意图．等腰直角三角板的斜边BD与地面AF平行，当小明的视线恰好沿BC经过旗杆顶部点E时，测量出此时他所在的位置点A与旗杆底部点F的距离为10米．如果小明的眼睛距离地面1.7米，那么旗杆EF的高度为（　　）
A．10米 B．11.7米 C．10米 D．(5+1.7)米
4．为了测量水平地面上一棵不可攀的树的高度，某学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2米，观察者目高CD=1.5米，则树（AB）的高度( )
A．12米 B． 米
C．6米 D．5.2米
5．如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具，移动竹竿使竹竿和旗杆两者顶端的影子恰好落在地面的同一点A，此时，竹竿与点A相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（　　）
A．6m B．8.8m C．12m D．15m
6．如图，甲、乙两盏路灯杆相距20米，一天晚上，当小明从灯甲底部向灯乙底部直行16米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部已知小明的身高为米，那么路灯甲的高为（）
A．7米 B．8米 C．9米 D．10米
7．如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长米，窗户的下檐到教室地面的距离米（点、、在同一直线上），则窗户的高为（ ）
A．米 B．1米 C．米 D．2米
8．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的亮区DE，已知亮区DE到窗口下的墙脚的距离CE=5米，窗口高米，那么窗口底部离地面的高度BC为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米
9．一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为 ( )
A．7.5米 B．8米 C．14.7米 D．15.75米
10．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（ ）
A．增加1米 B．减少1米 C．增加2米 D．减少2米
11．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　)
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
12．如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m．BC＝12.4m．则建筑物CD的高是（　　）
A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m
二、填空题
13．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为 ．
14．2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，则 聚光灯距离地面的高度为 m．
15．如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是 ．

16．如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，因而把它形象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，拉杆米，则两梯杆跨度B、C之间距离为 米．
17．如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为24cm，要使烛焰的像A′B′是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛 cm的地方．
三、解答题
18．雨后的一天晚上，小明和小彬想利用自己所学的测量物体高度的相关知识，测量一盏探照灯离地面的距离．如图，当小明直立在点处时，小彬测得小明的影子的长为；此时小明恰好在他前方的点处的小水坑中看到探照灯（点）的倒影．已知小明的身高为，请你利用以上数据求出探照灯离地面的距离．
19．如图所示：笔直的公路边有甲、乙两栋楼房，高度分别为和，两楼之间的距离为，现有一人沿着公路向这两栋楼房前进，当他走到与甲楼的水平距离为且笔直站立时（这种姿势下眼睛到地面的距离为），他所看到的乙楼上面的部分有多高？
20．拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．

21．（1）如图1，在直角坐标系中，的顶点都在长度为1的网格纸的格点上，以原点为位似中心，在点的右侧画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，的坐标；
（2）①如图，婷婷在太阳光下的影子如图所示，在图2-2中，已知为婷婷的影子，请画出小高的影子在墙上部分；
②在图中，已知婷婷的身高为1.5米，她在太阳下的影子长为1米，米，米，直接写出小高的身高为______米．
22．刘徽，公元3世纪人，是中国历史上最杰出的数学家之一．《九章算术注》和《海岛算经》是他留给后世最宝贵的数学遗产．《海岛算经》第一个问题的大意是：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高3丈的标杆BC和DE，两杆之间的距离BD＝1000步，点D、B、H成一线，从B处退行123步到点F处，人的眼睛贴着地面观察点A，点A、C、F也成一线，从DE退行127步到点G处，从G观察A点，A，E，G三点也成一线，试计算山峰的高度AH及BH的长（这里古制1步＝6尺，1里＝180丈＝1800尺＝300步，结果用步来表示）．
23．有一块三角形铁片ABC，BC=12．高AH=8，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．
24．我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ．
《6.7用相似三角形解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C C B D B A D
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】设小明在A处的影长为x米，B处的影长为y米，根据AD∥OP，BC∥OP可知△ADM∽△OPM，△BCN∽OPN，进而可得边之间的比例关系，继而可求答案.
【详解】设小明在A处的影长为x米，B处的影长为y米．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽OPN，
∴，，
∵AD=BC，∴，
即，
∴x=5,y=1.5，∴x-y=3.5，故变短了3.5米．故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，能够熟练运用相似三角形的性质与判定是解题的关键.
2．B
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，根据题意，作出图形，利用相似三角形的性质，构造方程，进行解答，即可．令点为光源，为小明的手，为小狗手影，根据相似三角形的判定和性质，则，得到，设，则，根据题意，，则，计算得到答案，即可．
【详解】解：点为光源，为小明的手，为小狗手影，
∴，
作交于点，延长交于点，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴小明的手与光源的距离为：（米）．
故选：B．
，
3．B
【分析】延长BD交EF于H，如图，利用四边形ABHF为矩形得到AF=BH=10，HF=AB=1.7，再利用△BCD为等腰直角三角形，可判断△BHE为等腰直角三角形，所以EH=BH=10，然后计算EH+HF即可．
【详解】延长BD交EF于H，如图，
∵BD∥AF，EF⊥AF，
∴BH⊥EF，
易得四边形ABHF为矩形，
∴AF=BH=10，HF=AB=1.7，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴∠CBD=45°，
∴△BHE为等腰直角三角形，
∴EH=BH=10，
∴EF=EH+HF=10+1.7=11.7．
答：旗杆EF的高度为11.7m．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．也考查了等腰直角三角形的性质．
4．C
【分析】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【详解】根据题意，易得∠CDE=∠ABE=90°，∠CED=∠AEB，则△ABE∽△CDE，则，即，解得：AB=6米．
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似三角形的对应边成比例即可解答．
5．C
【分析】竹竿、旗杆以及经过竹竿和旗杆顶部的太阳光线正好构成了一组相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例即可求得旗杆的长．
【详解】如图，AD＝8m，AB＝30m，DE＝3.2m；
由于DE∥BC，则△ADE∽△ABC，
得：，即，
解得：BC＝12m，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似的三角形，建立适当的数学模型来解决问题．
6．B
【详解】
故选B.
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，根据题意，，易证，再根据相似三角形的性质解答即可．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：，
，，
又，米，
米，
（米），
，
，
，
解得：米，
米．
故选：．
8．B
【分析】根据光沿直线传播的道理可知AD∥BE，则△BCE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等即可解答．
【详解】由题意知，
可得，
∴，
∵（米），米，
∴，
∴米，
故选B.
【点睛】题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
9．A
【分析】根据题意，标杆、光线、影长组成的三角形与水杉、水杉影长、光线所组成的三角形相似，故可利用相似三角形的性质解答．
【详解】根据，
列方程可得到结论，设水杉的高是x米．则
即，
解得：x=7.5
则这棵水杉树高为7.5米．
故选A．
10．D
【分析】此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：如图，点为光源，表示小明的手，表示小狗手影，则，过点作，延长交于，则，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵米，米，则米，
∴，
，，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，
即，，，
∴，
则米，
∴光源与小明的距离减少（米），
故选：D．
11．C
【详解】设屏幕上图形的高度xcm，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得 ，解得x=18cm，即屏幕上图形的高度18cm，故选C.
12．B
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出CD即可．
【详解】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴，即，
∴CD=10.5（米）．
故选B．
【点睛】考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
13．14
【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．由题意可知，，，证明，得到，即可求出信号塔的高度．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质．
根据相似三角形的对应边的比相等列方程计算即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴，
∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为为，他在聚光灯下的影子为，
∴，
解得：，
故答案为：6.8．
15．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵三角尺与影子是相似三角形，
∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的面积的比是，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键．
证明，则，即，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
解得，，
故答案为：．
17．8
【详解】设蜡烛距小孔cm，则小孔距成像板cm，
由题意可知：AB∥A′B′，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴，解得：（cm）.
即蜡烛与成像板之间的小孔相距8cm.
点睛：相似三角形对应边上的高之比等于相似比.
18．探照灯离地面的距离为米
【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．设米，米，则米，证明，，利用相似三角形的性质得到线段的比例关系，构建方程组求解即可．
【详解】解：由题意可得：，，，，，
设米，米，则米．
，
，
，
①，
，，
，
，
②，
由①②解得：，
经检验，是方程组的解．
探照灯离地面的距离为米．
19．
【分析】作，交于M，如图，把题中数据与几何图中的线段对应起来，,点A、E、C共线，则，，然后证明，利用相似比计算出，再计算进行计算．
【详解】解：作，交于M，如图，
，点A、E、C共线，
则，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
即他所看到的乙楼上面的部分有7.8m高.
【点睛】本题考查了视点、视角和盲区：把观察者所处的位置定为一点，叫视点；人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角．视线到达不了的区域为盲区．合理使用相似的知识解决问题．
20．36m
【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设，则
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
同理可证，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴，
∴该古建筑的高度为36m．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键．
21．（1）图见解析，点的坐标为，点的坐标为
（2）①图见解析；②1.8
【分析】（1）连接交格线于、连接、连接交格线 于，过点作交于，连接、，再根据点、的位置写出其坐标即可；
（2）①过点A、E作直线，再过点C作直线交墙于F即可；②作交直线于H，根据平行投影的性质得，即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，即为所求；
点的坐标为，点的坐标为；
（2）①如图，即为所求，
②延长交直线于H，如图，
∴
∴
∴，，
故答案为：1.8．
【点睛】本题考查了位似变换，点的坐标，平行投影．解题关键是（1）熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．（2）平行投影的性质：物长与影长成正比．
22．AH为1255步，HB为30750步
【分析】根据题意得出△FCB∽△FAH，△EDG∽△AHG，进而利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】解：由题意，得，AH⊥HG，CB⊥HG，
∴∠AHF＝90°，∠CBF＝90°，
∴∠AHF＝∠CBF，
∵∠AFB＝∠CFB，
∴△CBF∽△AHF，
∴
同理可得
∵BF＝123，BD＝1000，DG＝127，
∴HF＝HB+123，HG＝HB+1000+127＝HB+1127，BC＝DE＝3丈＝3×＝5步，
∴
解得HB＝30750，HA＝1255步，
答：AH为1255步，HB为30750步．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
23．(1)种方案更好一些,理由见解析.
【详解】试题分析：分别利用相似计算两种方案的面积，再比较大小.
试题解析：
(1)种方案更好一些．设方案(1)中DE=x．
根据题意，得．
解得，，面积为；
设方案(2)中DE=2y．
根据题意，得．
解得y=3，面积为18．
∵，
∴(1)种方案更好一些
24．观赏者与墙壁的距离的长为
【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，证明，推出，即可解答．
【详解】解：根据题意得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
答：观赏者与墙壁的距离的长为 ．
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