7.1正切寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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7.1正切
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图在梯形ABCD中，，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则tanA的值为(　　)
A． B． C． D．
3．在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
4．在中，，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过P作⊙O的切线PC，切点为C，连接BC．若⊙O的半径为6，，则线段PC的长为（ ）
A． B．6 C． D．12
6．如图，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是(　　)
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（ ）平方米
A． B． C． D．
8．在中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，若，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在△ABC中，AC=3，BC＝4，AB＝5,则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形是由矩形绕点顺时针旋转而得，且点、、在同一条直线上，在中，若，，则对角线旋转所扫过的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
13．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BCOA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE= ．
14．如图，∠BDC的正切值等于 ．
15．在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，则tanA的值为
16．如图，在四边形中，，，，，则 .
17．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D为圆心，4为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，则点F与点C的最小距离为 ．
三、解答题
18．已知正方形ABCD中，BC=3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF=BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．
（1）求证：△ADF≌△ABE；
（2）若BE=1，求tan∠AED的值．
19．如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，cotA＝，求tan∠DBC的值．
20．已知等腰三角形中，，．求的值．
21．如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．
（1）求证：．
（2）若，，求的值．
22．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E做EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．
（1）求证：四边形ABEF是正方形；
（2）如果AB=6，AD=8，求tan∠ADP的值．
23．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC=∠B，
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）点E是AB上一点，若CE=BE，tan∠B=，⊙O的半径是3，求EC的长．
24．如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．
(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．
《7.1正切》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D C C A A C A
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取则四边形MDCB为正方形，可证得≌，从而得到，∠MBN=∠CBE，再证得≌可得AN=AE，设 则DM=DC=2a，在中，再由勾股定理，可得，即可求解．
【详解】解：如图，过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取，
∵，AD⊥CD，
∴BM⊥BC，CD⊥BC，
∴∠D=∠NMB=∠C=90°，
∴四边形BCDM是矩形，
∵BC=CD，
∴四边形MDCB为正方形，
∴BM=CD，MD=BC=2AD，
∵BC=CD，
∴BM=BC，
∵∠NMB=∠C=90°，，
∴≌，
，∠MBN=∠CBE，
，
，
，
∵AB=AB，
∴≌
∴AN=AE，∠AEB=∠BNM，
设 则DM=DC=BM=2a，
∴
，
．
故选A．
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．
2．D
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=15，
∴tanA=
故选D
3．A
【分析】利用∠A的大小没有变进行判断．
【详解】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，
∴∠A的大小没有变，
∴tanA的值不变．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
4．D
【分析】本题考查求正切值，勾股定理求出的长，再根据正切的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选D．
5．C
【分析】连接OC，根据题意可知，．再由三角形外角的性质和切线的性质可求出，由正切即可求出PC长度．
【详解】如图连接OC，
∵，
∴，
∵OC和OB都为半径，
∴，
又∵，
∴，
根据题意，
∴，
∴，
∴
故选C．　
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，直角三角形两个锐角的关系以及正切函数．根据题意和连接辅助线求出是解题关键．
6．C
【详解】∵点A(，3)在第一象限，
∴AB=3，OB=t，
又∵tanα==，
∴t=2.
故选C.
7．A
【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．
【详解】解：由题意，在中，，
故地毯的长度为，
故地毯的面积至少需要（平方米），
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做的正切值是解题的关键.
根据正切的定义解答.
【详解】解：在中，
根据勾股定理得：
则
故选：A ．
9．C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解．
【详解】解：在中，，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
10．A
【详解】试题解析：∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴tanB=，
故选A.
11．A
【分析】连接，根据正切的定义，得出，进而得出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据旋转的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据扇形的面积公式，计算即可．
【详解】解：连接，
∵在矩形中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数、含角的直角三角形、旋转的性质、扇形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握特殊角的三角形函数值．
12．A
【分析】本题考查网格中的三角函数，过点作，利用正切的定义，求解即可．
【详解】解：过点作，如图，
则：，，
∴；
故选A．
13．
【详解】解：连接PB、PE．
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，
∴PB⊥BC，PE⊥OA，
∵BC//OA，
∴B、P、E在一条直线上，
∵A（2，0），B（1，2），
∴AE=1，BE=2，
∴tan∠ABE==，
∵∠EDF=∠ABE，
∴tan∠FDE=．
14．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，可以把求三角函数的问题，转化为直角三角形的边的比的问题．
【详解】解：根据圆周角的性质可得：∠BDC＝∠A．
∵tan∠A＝，
∴tan∠BDC=，
故答案为．
【点睛】本题考查圆周角的性质及锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，难度适中．
15．
【分析】根据勾股定理和三角函数即可解答．
【详解】解：已知在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c＝3a，
设a＝x，则c＝3x，b＝．即tanA＝．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理和三角函数，熟悉掌握是解题关键．
16．
【详解】如图，延长、交于点，
∵ ∠，∴ ．
∵ ，∴ ，则．
∵ ，∴ ．
17．4
【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，FC，GC，由△FAG∽△EAD，推出FG：DE＝AF：AE＝1：3，因为DE＝4，可得FG＝，推出点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，取AB的中点G，连接FG．FC．GC．
∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，
∴＝，
∵AB＝8，AG＝GB，
∴AG＝GB＝4，
∵AD＝12，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，
∴∠FAG＝∠EAD，
∴△FAG∽△EAD，
∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，
∵DE＝4，
∴FG＝，
∴点F的运动轨迹是以G为圆心为半径的圆，
∵GC＝，
∴FC≥GC FG，
∴FC≥4，
∴CF的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）根据辅助线的性质得到AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，由邻补角的定义得到∠ADF=∠ABE=90°，于是得到结论；
（2）过点A作AH⊥DE于点H，根据勾股定理得到AE=，ED==5，根据三角形的面积S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，求得AH=1.8，由三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：（1）正方形ABCD中，∵AD=AB，∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ADF=∠ABE=90°，在△ADF与△ABE中，
∵AD=AB，∠ADF=∠ABE，DF=BE，
∴△ADF≌△ABE；
（2）如图，过点A作AH⊥DE于点H，
在Rt△ABE中，∵AB=BC=3，BE=1，
∴AE=，ED==5，
∵S△AED=AD×BA=，S△ADE=ED×AH=，解出AH=1.8，
在Rt△AHE中，EH=2.6，
∴tan∠AED===．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
19．tan∠DBC=
【分析】设AE=3x，ED=4x，由勾股定理可知：AD=5x，根据角平分线的性质可知ED=CD=4x，再根据cotA＝ ＝，所以BC=12x，再根据锐角三角函数即可求出答案．
【详解】解：∵cotA＝，
∴设AE＝3x，ED＝4x，
∴由勾股定理可知：AD＝5x，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ED＝CD＝4x，
在RtABC中
cotA＝ ＝，
∴BC＝12x，
∴tan∠DBC＝ ＝.
故答案为tan∠DBC＝.
【点睛】本题考查锐角三角函数，涉及锐角三角函数，角平分线的性质，勾股定理等知识．掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
20．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
过点作于点，通过等腰三角形的性质“三线合一”求出，根据勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
又∵，
∴在中，，
∴．
21．（1）见解析1；（2）
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：在中，
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
（2）∵，
∴
∵
∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
22．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）由矩形的性质得出∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，证出四边形ABEF是矩形，再证明AB=BE，即可得出四边形ABEF是正方形；
（2）由正方形的性质得出BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，得出AB∥PH，求出DH=AD-AH=5，在Rt△PHD中，由三角函数即可得出结果．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四边形ABEF是正方形；
（2）解：过点P作PH⊥AD于H，如图所示：
∵四边形ABEF是正方形，
∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，
∴AB∥PH，
∵AB=6，
∴AH=PH=3，
∵AD=8，
∴DH=AD﹣AH=8﹣3=5，
在Rt△PHD中，∠PHD=90°．
∴tan∠ADP= = ．
23．（1）证明见解析；（2）；
【分析】（1）证明∠DAC+∠BAD=90°，则∠BAC=90°，可得出结论；
（2）设EC=EB=x，在Rt△AEC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠DAC=∠B，
∴∠DAC+∠BAD=90°，
∴∠BAC=90°，
∴BA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BCE=∠B，
∴EC=EB，设EC=EB=x，
在Rt△ABC中，，AB=6，
∴AC=3，
在Rt△AEC中，∵EC2=AE2+AC2，
∴x2=（6-x）2+32 ，
解得x=，
∴CE=．
【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
24．(1)见解析
(2)或
(3)或
【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或；
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，
∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH=，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，
，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．
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