7.2正弦、余弦寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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7.2正弦、余弦
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是 (　　)
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系内有一点，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，当小球向下滚动了米时，则小球下降的高度是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．若cosA＜,则锐角 A 一定（ ）
A．0°＜∠ A ＜∠60° B．0°＜∠ A ＜30°
C．30°＜∠ A ＜90° D．30°＜∠ A ＜60°
5．设为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在直角梯形中，，，，且，，则下底的长是（ ）

A． B． C． D．
7．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC与DF共线，将△DEF沿CB方向平移，当EF经过AC的中点O时，直线EF交AB于点G，若BC=3，则此时OG的长度为（ ）
A． B．
C． D．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD= ．
14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，那么sinA= ．
15．第14届国际数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则的值为 ．
图1 图2
16．已知：中，，，，则的值为 ．
17．如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P(3，4)，则sinα= ．
三、解答题
18．在Rt中，．求的值．
19．如图，菱形的对角线交于点，点分别在的延长线上，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
20．如图，在中，是边的中点，，垂足为点．已知．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
21．计算：．
22．已知中，∠BDC=30°，求15°和75°的四个三角函数值.
23．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．

24．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，求sinA，cosA，tanA的值．
《7.2正弦、余弦》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C C B C B B A D
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】根据勾股定理求出OA的长度，即可解决问题．
【详解】解：点A的坐标为(4，3)，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，坐标与图形，勾股定理，熟记概念并准确识图求出OA的长度是解题的关键．
2．C
【分析】过P作PH⊥x轴于点H，由余弦的定义求解即可．
【详解】解：如图，作PH⊥x轴于点H，
∵
∴PH=4，OH=3，
又∵，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，锐角余弦的定义，掌握余弦的定义正确求解锐角的余弦值是解题的关键．
3．C
【分析】根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图可知，
在Rt△ABC中，cosα＝，即，
解得：BC＝2，
由勾股定理得，AC＝＝1.5（米），
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．C
【详解】试题解析：根据特殊三角函数值,可知
余弦值随锐角角度的增大而减小，
故选C.
5．B
【分析】根据余切值的定义进行求解.
【详解】解：如图：过点A做AB⊥OB
∵
∴
设OB=4k，则OA=5k
根据勾股定理，
∴
故选：B.
【点睛】本题考查求锐角三角函数余切值，掌握余切的概念是本题的解题关键.
6．C
【分析】根据题意得出，，然后可得，然后问题可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查，已知余弦求边长，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7．B
【分析】作AD垂直BC的延长线于点D得出△ABD为等腰直角三角形，再根据45°角的cos值即可得出答案.
【详解】
作AD垂直BC的延长线于点D
则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45°
∴
故答案选择B.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数，比较简单，需要理解并记忆特殊锐角三角函数值.
8．B
【详解】试题解析：如图所示：
设BC=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，
∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，
根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，
作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD=；
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数等，通过作辅助线求出AM是解决问题的关键.
9．A
【分析】分别过O作OH⊥BC，过G作GI⊥OH，由O是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC的中点，则可得BH=，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=，在等腰直角三角形OGI中，即可求解．
【详解】解：过O作OH⊥BC于H，过G作GI⊥OH于I
∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴OH∥AB，
又O为中点，
∴H为BC的中点，
∴BH=BC=
∵GI⊥OH，
∴四边形BHIG为矩形，
∴GI∥BH，GI=BH=,
又∠F=45°，
∴∠OGI=45°，
∴在Rt△OGI中，．
故选：A
【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键．
10．D
【分析】根据直角三角形的性质求出三角函数值即可.
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，
∴sinB＝=．

故选D．
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.
11．C
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，掌握正弦值等于对边比斜边成为解题的关键．
根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：∵在中，，，，
∴．
故选：C．
12．C
【分析】先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可．
【详解】如图，根据勾股定理得，BC==12，
∴sinA=．
故选C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决问题的关键．
13．4
【详解】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∵CD⊥AB，
∴DE=CE，
在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，
∵cos∠EOD=cos60°=，
∴=，解得R=4，
∴OE=4﹣2=2，
∴DE=OE=2，
∴CD=2DE=4
故答案为4．
考点：垂径定理、解直角三角形
14．
【详解】,
A=45°，
根据特殊角三角函数值，可得sinA=sin45°=．
故答案为：．
考点：特殊角的三角函数值
15．/
【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值，根据即可求解．
【详解】解：根据题意，设，则，
∵，四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：如图，
在中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．0.8
【详解】试题分析：已知点P的坐标（3，4），就是已知直角三角形的两直角边的长3与4，根据勾股定理就可以求出OP的长5．根据三角函数的定义求sina=．
考点：解直角三角形
18．
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解决问题的关键是理解锐角三角函数的定义，根据勾股定理求出斜边．
利用勾股定理得出的长，再利用三角函数关系得出即可．
【详解】解：设，则．
由勾股定理，得，
19．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）证明，，得四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论；
（）由菱形的性质得，，，在中，由锐角三角函数定义求出，得出，再由锐角三角函数定义求出的长，然后由勾股定理求出 的长即可；
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握菱形的性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，， ，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据三角函数求出的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；
（2）先运用勾股定理求出，再由于D为上的中点可得，推出，利用正弦函数求出，据此即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵为直角三角形，D是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．
【分析】本题考查了零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦．熟练掌握零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦是解题的关键．
先分别计算零指数幂，算术平方根，绝对值，正弦，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
22．sin15°=
【分析】在直角三角形中做辅助线得出15°和75°锐角，设出边长，再根据三角函数定义即可解答.
【详解】解：如图，延长CD到点A，使AD=BD，设BC=1，则，．
【点睛】本题考查三角函数定义，解题关键是在直角三角形中做辅助线得出15°和75°锐角.
23．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝.
【详解】（1）如图，作AE⊥BC，

∴CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴．
24．sinA＝；cosA＝；tanA＝．
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长度为4；然后利用锐角三角函数的定义解答．
正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作
余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作
正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA
【详解】
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝4，
∴sinA＝＝；
cosA＝＝；
tanA＝＝．
【点睛】本题关键考查了勾股定理和锐角三角函数的定义及运用，能正确运用定义写出三角比是解决本题的关键．
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