7.3特殊角的三角函数寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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7.3特殊角的三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．用计算器验证，下列等式中正确的是( )
A．
B．
C．
D．
3．下列等式：①sin30°+sin30°=sin60°；②sin25°=cos65°；③cos45°=sin45°；④cos62°=sin18°．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是(　　)
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
5．锐角三角函数tan30°的值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．如图，一个人从山脚下的点出发，沿山坡小路走到山顶点．已知坡角为，山高千米．用科学计算器计算小路的长度，下列按键顺序正确的是( )
A． B．
C． D．
7．计算6tan 45°－2cos 60°的结果是（ ）
A．4 B．4 C．5 D．5
8．下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
10．的值等于（　　）
A． B． C． D．
11．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
12．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是(　　)
A．sin30°C．tan30°二、填空题
13．若α为锐角,且tan (90°-α)=,则tan α= .
14．定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ．
15．请从以下两个小题中任选一个作答．
A：如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ ．
B：用科学计算器计算：+3tan56°≈ ．（结果精确到0.01）
16．计算： ．
17．2cos30°＝ ．
三、解答题
18．已知：如图，是弧的中点，过点的弦交弦于点，设的半径为，，
(1)求圆心到弦的距离；
(2)猜想和的位置关系，并说明理由；
(3)求的度数．
19．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
20．用计算器求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
21．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，求cosB．
22．（1）验证下列两组数值的关系：
2sin30° cos30°与sin60°；
2sin22.5° cos22.5°与sin45°．
（2）用一句话概括上面的关系．
（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．
（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．
23．四边形ABCD中，点E在边AB上，连结DE，CE．
（1）若∠A=∠B=∠DEC=50°，找出图中的相似三角形，并说明理由；
（2）若四边形ABCD为矩形，AB=5，BC=2，且图中的三个三角形都相似，求AE的长．
（3）若∠A=∠B=90°，AD＜BC，图中的三个三角形都相似，请判断AE和BE的数量关系并说明理由．
24．用计算器求下列各式的值：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
《7.3特殊角的三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B B A D D C D
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵
∴，，
解得：，，
∴，
∴是钝角三角形，
故选B．
2．D
【分析】利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验 ．
【详解】解：利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验 ．
正确的是．
故选D.
【点睛】本题考查了用过计算器计算三角函数，会用科学记算器进行计算是解题关键．
3．B
【详解】解：①sin30°=，sin60°=，+ =1≠，故本小题错误；
②sin25°=cos（90°﹣25°）=cos65°，故本小题正确；
③cos45°= ，sin45°= ，∴cos45°=sin45°，故本小题正确；
④cos62°=sin（90°﹣62°）=sin28°≠sin18°，故本小题错误．
所以正确的是②③共2个．
故选B．
4．B
【详解】解：用计算器解cos44°≈0.72．
故选B．
5．B
【分析】根据锐角三角函数值求解．
【详解】解：tan30°．
故选：B．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，对于特殊角的三角函数值必须熟记 ．
6．A
【分析】在△ABC中，通过解直角三角形可得出sinA=，则AB=，即可得出结论．
【详解】在中，，
∴，
∴按键顺序为：.
故选A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及计算器，熟练应用计算器是解题关键．
7．D
【解析】略
8．D
【分析】根据特殊角锐角三角函数值，即可判断．
【详解】解：∵，
∴A、应该是，故本选项错误，不符合题意；
B、应该是，故本选项错误，不符合题意；
C、应该是，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项一定成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
9．C
【详解】连接EF交AC于点M，由四边形EGFH为菱形可得FM=EM，EF⊥AC；利用“AAS或ASA”易证△FMC≌△EMA，根据全等三角形的性质可得AM=MC；在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=，且tan∠BAC=；在Rt△AME中，AM=AC= ，tan∠BAC=可得EM=；在Rt△AME中，由勾股定理求得AE=5．故答案选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质；矩形的性质；勾股定理；锐角三角函数．
10．D
【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案.
【详解】解：cos60°＝，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数值的求解，准确计算是解题的关键．
11．A
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据角的余弦值即可求解
【详解】解：，
故选：A
12．D
【分析】根据特殊角的三角函数值，分别求得的范围，结合A点在数轴上的位置即可求解．
【详解】由数轴上A点的位置可知，<<2．
A． 由sin30°B． 由cos30°C． 由tan30°D． 由cot45°故选：D．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
13．
【详解】根据特殊角的三角函数值，易得90°-α=60°，α=30°，则tan 30°=.
14．
【分析】根据代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键．
15． 72° 10.02
【分析】A、利用正五边形的性质计算得出∠EAD的度数，进而得出∠BAD的度数；
B、直接利用计算器输入计算即可．
【详解】解：A、正五边形每个内角的度数＝＝108°，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA＝（180°﹣∠E）＝（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝108°﹣36°＝72°，
故答案为：72°．
B、+3tan56°≈10.02．
故答案为：10.02．
【点睛】此题主要考查了正多边形的性质以及计算器用法，正确掌握计算器使用方法是解题关键．
16．
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
17．
【详解】试题分析：根据cos30°=，继而代入可得出答案．
解：原式=．
故答案为．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆，难度一般．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了垂径定理、锐角三角函数及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
（1）连接，过点作于，由垂径定理可知，在中，利用勾股定理求出即可得答案；
（2）连接、，由于是弧的中点，可得，利用等腰三角形三线合一的性质即可得出；
（3）利用锐角三角函数，可求出，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出．
【详解】（1）解：连接，过点作于，
∵，
∴，
∵的半径为，
∴，
∴
故圆心到弦的距离为．
（2）解：（2）猜想：，理由如下：
如图，连接、，
∵是弧的中点，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴．
19．（1）1；（2）0
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入进而得出答案．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
20．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查的是锐角三角函数值的计算；
（1）直接利用计算器进行计算即可；
（2）直接利用计算器进行计算即可；
（3）直接利用计算器进行计算即可；
（4）直接利用计算器进行计算即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
21．
【详解】分析：先根据正切值求出∠A的度数，根据直角三角形的性质得到∠B的度数，再根据余弦的定义即可求解．
本题解析：∵tanA=
∴∠A=60°．
∵∠A+∠B=90°，
∴∠B=90°-60°=30°．
∴cosB=
点睛：此题考查的知识点是特殊角的三角函数值，关键明确求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
22．（1）；；0.7；0.7；（2）一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）结论成立；（4）2sinα cosα＝sin2α．
【分析】（1）分别计算出各数，进而可得出结论；
（2）根据（1）中的关系可得出结论；
（3）任选一个角验证（3）的结论即可；
（4）用α表示一个锐角，写出这个关系式即可．
【详解】（1）∵2sin30° cos30°=2，sin60°．
2sin22.5° cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°0.7，∴2sin30° cos30°=sin60°，2sin22.5° cos22.5=sin45°；
（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；
（3）2sin15° cos15°≈2×0.26×0.97，sin30°；
故结论成立；
（4）2sinα cosα=sin2α．
【点睛】本题考查了三角函数，根据题意找出规律是解答此题的关键．
23．（1）△DAE∽△EBC，理由见解析；（2）AE=1或4；（3）AE=BE或BE=2AE，理由见解析.
【分析】（1）三角形内角和为180°，所以∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，又因为∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°，所以∠ADE=∠CEB，已知∠A=∠B，所以△DAE∽△EBC；
（2）设AE=x，则BE=5﹣x，不难证明△DAE∽△EBC，根据相似三角形的性质列方程求出x即可；（3）分两类进行讨论：①∠A=∠B=∠DEC=90°，②∠DEC≠90°，结合相似三角形的性质分别求出AE和BE的数量关系．
【详解】（1）△DAE∽△EBC，
理由：∵∠A=∠DEC=50°，
∴∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=130°，∠DEA+∠CEB=180°﹣∠DEC=130°，
∴∠ADE=∠CEB，
∵∠A=∠B，
∴△DAE∽△EBC；
（2）
设AE=x，则BE=5﹣x，
∵矩形ABCD，
∴∠A=∠B=∠ADC=∠BCD=90°，
∵图中三个三角形都相似，
∴△DEC为直角三角形，
∵∠EDC＜90°，∠ECD＜90°，
∴∠DEC=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵AED+∠CEB=90°，
∴∠AED=∠ECB，
∴△DAE∽△EBC，
∴=，即=，
解得：x=1或4，
即AE=1或4；
（3）AE=BE或BE=2AE，
理由：①
当∠A=∠B=∠DEC=90°时，∠DCE≠∠CEB，可得∠DCE=∠BCE，
所以△DEC∽△DAE∽△EBC，
∴=，==，
∴=，即BE=AE；
②当∠DEC≠90°时，
如图，∵AD＜BC，
∴∠CDE=90°，
∵∠DCE≠∠CEB，
∴∠DCE=∠ECB，∠DEC=∠CEB，
∴DE=BE，
∵∠ADE≠∠DEC，
∴∠ADE=∠DCE，∠AED=∠DEC，
∴∠AED=∠DEC=∠CEB=60°，
∴==cos60°=，
∴BE=2AE．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质、相似三角形的判定，此类相似三角形不明确的一定要注意分类讨论．
24．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】直接利用计算器求出三角函数值即可；
【详解】解：（1）原式≈0.23090＋0.30680＝0.5377；
（2）原式≈0.84151 0.41421＝0.4273；
（3）原式≈8.26355 0.99622≈7.2673；
（4）原式≈0.22169 0.25882≈ 0.0371．
【点睛】此题主要考查了用计算器求锐角的三角函数值，熟练应用计算器是解题关键．
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