第六章图形的相似寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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第六章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米．
A．9.6 B．10 C．7.2 D．8
2．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A．1 B． C．-1 D．+1
3．如图所示，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD平分∠ABC；③△ABD是等腰三角形；④△CBD∽△CAB．正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，，则下列结论中正确的结论有（ ）
①；②；③；④图中有3对相似三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，AB是的直径，点C为圆上一点，，的平分线交AC于点D，，则的直径为（ ）
A． B． C．5 D．
6．如图，下列条件不能判定的是（ ）
A．
B．；
C．；
D．
7．如图，，图中相似三角形共有（ ）
A．4对 B．3对 C．2对 D．1对
8．如图，四边形和四边形相似，点的对应点分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形与四边形是位似图形，位似比为．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
10．已知线段a、b、c、d满足ab=cd，把它改写成比例式，正确的是（　　）
A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d
11．若，且与的相似比为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．一个机器零件的长度是8毫米，画在比例尺是的图纸上的长度是（ ）
A．8分米 B．8毫米 C．8厘米 D．8米
二、填空题
13．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区（如图所示）．已知亮区到窗口下墙脚的距离，窗口高，则窗口底边离地面的高为 ．
14．如图，点P是内一点，过点P分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和36，则的面积是 ．
15．已知，且相似比为，中边上的中线，则中，边上的中线 ．
16．沿一张矩形纸较长两边的中点对折后，再对折一次，使两次的折痕平行．如果这两次对折后得到的矩形与原来的矩形纸相似，那么原来矩形纸的长与宽的比为 ．
17．如图，在中，平分交于点．若，，则 ．
三、解答题
18．如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为1.72米，，根据以上测量数据，求该塔的高度．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．、
(1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴下方画出；点为内的一点，则点在内部的对应点的坐标为_______．
(2)外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______．
20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．
（1）求下列各线段的比：，，；
（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）
21．如图，点D，C分别在上，交于点F，．
(1)求证：；
(2)求的长．
22．【背景知识】
宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等．
（1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米 （结果保留根号）
【实验操作】
折一个黄金矩形
第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处；
第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．

【问题思考】
（2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形；
（3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积．
23．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长．
24．如图，已知在四边形中，，延长、相交于点．求证：
《第六章图形的相似》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D C B D B A B A
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论．
【详解】解：由题意可得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即塔高为米，
故选：D．
2．C
【分析】由DE//BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出，结合BD=AB﹣AD即可求出的值．
【详解】∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵S△ADE=S四边形BCED，S△ABC=S△ADE+S四边形BCED，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．D
【分析】理解中垂线的意义，由AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，可得AD=BD，∠A=∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=∠C=72°，即△ABD与△BCD是等腰三角形，可得△CBDD∽△CAB.
【详解】解：
故选D．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想的应用．
4．C
【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的性质．
由题中条件可得，进而得出对应线段成比例，得到，根据点E是即可推出，故可判断结论①；由得到，根据，，可得，从而证得，因此，即可判断结论②；由题意易证与的三边不相等，即可判定结论③；综上可得，即可判断结论④．
【详解】∵四边形 是正方形，
∴，，
∴，
，
∴，
，
，
，
∴，即
是的中点，
∴，
，
∴
∴
∴，故①正确；
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∵，
∴与不全等，故③错误；
∵，，
∴，
∴有3对相似三角形．故④正确．
综上所述，结论正确的有3个．
故选：C
5．B
【分析】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，根据勾股定理求出AE的长，再说明，得到，然后求出AB的长即可．
【详解】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC的角平分线BD，
∴DE=DC=1，
∵AC=4，CD=1，
∴AD=AC-CD=3，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、角平分线的性质、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作出辅助线，证明，是解题的关键．
6．D
【分析】根据三角形相似的判别方法，对选项逐个判断即可．
【详解】解：A、
由勾股定理可得：，
∴
∴，选项正确，不符合题意；
B、
∴，选项正确，不符合题意；
C、∵，
∴，选项正确，不符合题意；
D、不能证明两三角形相似，选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了三角形相似的判定方法，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
7．B
【分析】本题告知了，则三条平行线分成的三角形有：△ADE，△AFG，△ABC，通过平行可以证明三角形相似的判定定理是，平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.所以他们两两相似.
【详解】在△AFG中
∵DE∥FG∴△ADE∽△AFG；
在△ABC中
∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC
∵FG∥BC∴△AFG∽△ABC
∴相似三角形共有3对
故选B．
【点睛】本题考查了平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似的判定定理，三角形相似的传递性也有一定涉及，两个三角形与同一个三角形相似，则这两个三角形也相似.
8．A
【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应角相等是解题的关键．利用相似多边形的对应角相等性质，再结合四边形的内角和为，求出每一个内角的角度，即可得出结论．
【详解】解：四边形和四边形相似，
，，，，
又，
．
故选：A．
9．B
【分析】根据相似多边形的性质求解即可．
【详解】四边形与四边形是位似图形，位似比为，
四边形四边形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质．
10．A
【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．对选项一一分析，选出正确答案．
【详解】解：A、a：d=c：b ab=cd，故正确；
B、a：b=c：d ad=bc，故错误；
C、c：a＝d：b bc=ad，故错误
D、b：c＝a：d ad =bc，故错误．
故选A．
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题关键是根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换．
11．C
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】∵，且与的相似比为，
∴．
故选．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方.
12．C
【分析】根据比例尺图上距离：实际距离进行求解即可．
【详解】解：由题意得：图上距离：实际距离，
∴图上距离：8毫米，
∴图上距离为80毫米，即为8厘米，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺图上距离：实际距离是解题的关键．
13．
【分析】根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可．
【详解】解：由题意，得，
，，
，
，
，
．
故答案为：.
【点睛】主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似三角形的性质，对应线段成比例解题．
14．81
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．
根据题意可得，，，，可得，可得对应边的比为，设，则，，由此可得，根据面积比等于对应边比的平方即可求解．
【详解】解：如图所示，由题意可得，，，，
，，，，
，
的面积分别为，
对应边的比为，
又四边形与四边形为平行四边形，
，
设，则，，
，
，
由相似三角形面积比等于相似比的平方，可得出：
，
．
故答案为：81 ．
15．6
【分析】此题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．因为，相似比为，根据相似三角形对应中线的比等于相似比，即可求解．
【详解】解：，相似比为，
中边上的中线：中边上的中线，
中边上的中线，
中边上的中线．
故答案为：6．
16．2:1
【分析】设原来矩形的长为x，宽为y，则可知两次对折后得到的矩形的长为y，宽为x，根据相似多边形对应边相等可得到x和y的关系可求得答案．
【详解】设原来矩形的长为x，宽为y，
则可知两次对折后得到的矩形的长为y，宽为x，
∵这两次对折后得到的矩形与原来的矩形纸相似，
∴，可得y2=x2，
∴y=x，
∴，
即原来矩形的长与宽的比为2：1，
故答案为2：1．
【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
17．
【分析】此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点．
过点作交的延长线于点，证明出，然后由得到，然后等量代换得到，然后代数求解即可．
【详解】如图，过点作交的延长线于点，
则，
平分，
．
故答案为：．
18．43米
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行投影，熟练掌握是解题的关键．
根据相似三角形的性质得到，，得到，代入数据即可得到结论．
【详解】由题意得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
解得．
答:塔高度为43米．
19．(1)
(2)，
【分析】(1)利用位似变换的性质分别做出各顶点的对应点即可，在利用位似变换的性质求出的坐标．
(2)线段、的垂直平分线的交点即为所求，在利用勾股定理求出半径即可．
【详解】（1）解：如图
根据位似变换的性质，
故答案为
（2）解：如图，点即为所求，
点坐标为
半径
故答案为，
【点睛】本题考查了位似变换，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20．（1），，；（2）成比例线段有．
【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；
（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．
【详解】（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2，
∴CD=EF=AB=3，BC=AD=6.5，CF=BC-BF=4.5，
∴，，；
（2）成比例线段有．
【点睛】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．
21．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．
（1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
（2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．（1）（米）；（2）见详解；（3）或．
【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽．
（2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证．
（3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可．
本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键．
【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于，
∴它的宽为： （米）．
（2）证明：，
由题意得，，，
，
，
，
，
∴矩形是黄金矩形．
（3）由折叠的性质可得，
又，
，
∴
，
又，
，
．
当 为黄金矩形的长时，则宽为，
则面积为．
当 为黄金矩形的宽时，则长为，
则面积为．
综上，矩形的面积为：或．
23．38
【分析】四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长．
【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，
∴，
又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8，
∴，
∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6，
∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等．
24．证明见解析
【分析】根据邻补角的定义得到，又因为又，所以可证明，结合相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：，
．
又，
，
，
即．
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