第五章二次函数寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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第五章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果将抛物线向下平移个单位，那么平移后抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项中，二次函数的图象的顶点在第三象限的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图象如图所示，则b的值是(　　)
A．－5 B．0 C．3 D．4
7．在平面直角坐标系中，已知，点A(1，m)和点B(3，n)（其中mn<0）在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．若点( 1，y1)，(2，y2)，(4，y3)也在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．方程x2＋2x－1＝0的根是函数y＝x＋2与函数y＝的图象交点的横坐标，利用此方法可推出方程x3＋x－1＝0的实数根x0所在的范围是（ ）
A．－1＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0≤2 D．2＜x0＜3
9．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点坐标是 B．开口向上，顶点坐标是
C．开口向下，顶点坐标是 D．开口向下，顶点坐标是
11．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（ ）
A． B． C． D．
12．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；④y＝5－2x2，是二次函数的有（ ）
A．② B．②③④
C．②③ D．②④
二、填空题
13．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
14．已知抛物线，经过四点，则与的大小关系是 ．(填“>”“<”或“=”)
15．如图，正方形、的顶点、都在抛物线上，点、、均在轴上．若正方形的面积是1，则正方形的边长为 ．

16．已知函数的图像是一条抛物线，则m= .
17．把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为 ．
三、解答题
18．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元．
(1)分别求出y与x、 w与x之间的函数表达式；
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
19．已知二次函数（是常数）
(1)若，
①该函数的顶点坐标为___________；
②当时，该函数的最大值___________；
③当时，该函数的最大值为___________；
(2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________．
20．某超市销售A、B两种玩具，每个A型玩具的进价比每个B型玩具的进价高2元，若用600元进A型玩具的数量与用500元进B型玩具的数量相同．
(1)求A、B两种玩具每个进价是多少元？
(2)超市某天共购进A、B两种玩具共50个，当天全部销售完． 销售A型玩具的价格（单位：元/个）与销售量（单位：个）之间的函数关系是：；销售B型玩具日获利（单位：元）与销售量（单位：个）之间的关系为：．若该超市销售这50个玩具日获利共300元，问B型玩具的销售单价是多少元？
(3)该超市购进的50个玩具中，B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，超市想尽快售完，决定每个A型玩具降价元销售，B型玩具的销售情况不变，若超市销售这50个玩具日获利的最大值为820元，直接写出的值．
21．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
22．二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 0 -3 -4 -3 m 5 …
（1）直接写出表格当中的m值：_____________
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）在图中画出这个二次函数的图象．

23．已知函数y＝3（x－4）2－27．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）当x取何值时，函数取得最值？并求出最值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于点(点在点的左侧)．
（1）求点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段及抛物线在两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为．
①当时，结合函数图象，直接写出区域内的整点个数；
②如果区域内有2个整点，请求出的取值范围．
《第五章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C B C C B D D
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后令，通过解解方程求解．
【详解】解：把抛物线的图象向下平移2个单位，则平移后的抛物线的表达式为，
令，则．
所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为．
故选B．
2．A
【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．
【详解】解：A．的顶点坐标为，在第三象限，故A符合题意；
B．的顶点坐标为，在第二象限，故B不符合题意；
C．的顶点坐标为，在第四象限，故C不符合题意；
D．的顶点坐标为，在第一象限，故D不符合题意；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，两种情况讨论并进行判断，本题得以解决．
【详解】解：，
函数的图像开口向上，
若且满足，
点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，
当点B在点A的左侧时，，，，
当点B在点A的右侧且时，，，，
综上所述，选项D不正确，
故选：D
4．C
【分析】根据两点可知图像的对称性，再根据 两点可知和函数的增减性，再结合选项函数即可判断出来．
【详解】解：
∴点与点B关于 轴对称;
由于不关于轴对称， 的图象关于原点对称，
∴选项A、B不合题意
∵
∴
由 可知在对称轴的左侧， 随的增大而增大, 对于二次函数只有 时满足，, 因此选项D不合题意, C 选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质，根据点的特征观查出图像的对称性和增减性是解题关键．
5．B
【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案．
【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得，
故选：B．
6．C
【分析】由图可知对称轴x=0，再根据对称轴的公式即可求得b值.
【详解】依题意二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的对称轴x=-=-=0,得b=3，故选C.
【点睛】此题主要考查二次函数的图像，根据图像读信息是解题的关键.
7．C
【分析】分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x=与直线x=之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【详解】解：∵y=ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b=0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x=1时m＜0，x=3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x=与直线x=之间，
即＜-＜，
∴点（2，y2）与对称轴距离最近，点（4，y3）与对称轴距离最远，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m＝0时，y＝x2与的交点A的坐标为（1，1），于是得到当m取任意正实数时，方程x3+mx﹣1＝0的实根x0一定在0＜x0＜1的范围内．
【详解】解：∵方程x3+mx﹣1＝0变形为x2+m﹣＝0，
∴方程x3+mx﹣1＝0的根可视为函数y＝x2+m的图象与函数的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，
∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y＝x2+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，
当m＝0时，y＝x2与的交点A的坐标为（1，1），
∴当m=1时，方程x3＋x－1＝0的实数根可视为函数y＝x2＋1的图象与函数的图象交点的横坐标，由以上分析可知方程x3＋x－1＝0的实数根x0所在的范围是0＜x0＜1．
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数与二次函数的交点问题，反比例函数与二次函数的交点坐标满足两函数的解析式，阅读理解能力和数形结合思想是解决问题的关键．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得．
【详解】解：将点代入抛物线得：，解得，
将点代入抛物线得：，
如图，若抛物线与线段恰有一个公共点，
则的取值范围是，
故选：D．
10．D
【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
二次项系数，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可．
【详解】解：∵对于抛物线，，
∴该抛物线开口向下，顶点坐标为．
故选：D．
11．A
【分析】建立坐标系，利用二次函数的顶点式求解判断
【详解】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y=+3
将（0，0）代入解析式得a＝，
∴抛物线解析式为y=，
当x＝10时，y＝，
∵＜2.44，满足题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，选择顶点式求二次函数的表达式是解题的关键．
12．D
【详解】试题分析：一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.所以②④是二次函数，其它不是，故选D.
13．
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．
【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3．
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣．
∴点P的坐标是（－3，﹣）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=，
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．
14．
【分析】根据两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，两点与对称轴的远近，判断与的大小关系．
【详解】解：∵抛物线过两点，
∴抛物线的对称轴为
∵，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∵，，
比较可知C点比点D离对称轴远，
∴对应的纵坐标值小，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
15．/
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握正方形的性质，二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
设，且，即可得，根据在抛物线上，可得，设正方形的边长为，且，同理可得，代入中，问题得解．
【详解】解：点是边的中点，
设，且，
在正方形中，，，
，
在抛物线上，
，
解得：，
设正方形的边长为，且，
，
，
结合正方形的性质，可知，
在抛物线上，
，
解得：（负值舍去），
故答案为：或．
16．m=3
【分析】根据二次函数的定义即可求解．
【详解】依题意得：m-1=2，
解得m=3．
故答案是：3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
17．
【分析】函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．
【详解】解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18．(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为
(2)10000元
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
（1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式；
（2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润．
【详解】（1）解∶ y与x之间的函数表达式为，
w与x之间的函数表达式为；
（2）解∶根据题意得：，
解得：；
∵，且，
∴当时，w取得最大值，最大值为10000，
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．
19．(1)①；②2；③
(2)2或．
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键．
（1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解；
（2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可；
【详解】（1）解：当时，则二次函数
①二次函数图像的顶点坐标为：；
②该抛物线的对称轴为，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2；
∴当时，该二次函数的最大值为2；
③当时，该二次函数的最大值为．
故答案为：①；②2；③
（2）二次函数的对称轴为：，开口向下，
当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：（舍去）；
当时，，解得：；
综上，常数m的值为或．
故答案为：或．
20．(1)每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元
(2)B型玩具的销售单价为13元
(3)4
【分析】（1）设B种玩具每种b元，则A种玩具每种元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）由题意可知，，解该方程即可求出x的值，进而可得出B种玩具的个数，从而求出销售单价；
（3）根据题意可知，此时，由a的取值范围，可得出该二次函数的对称轴的取值范围；由B型玩具的数量不少于A型玩具数量的数量的4倍，可得出x的取值范围，根据二次函数的性质可列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设每个型玩具的进价为元，则每个A型玩具的进价为元，可列方程：，
解得，
经检验是原方程的解，
答：每个A型玩具的进价是12元，每个B型玩具的进价是10元；
（2）依题意可得方程：，
解得（舍去）
则销售B型玩具：（个），日获利：（元），
则每个获利（元），
（元），
故B型玩具的销售单价为13元；
（3）设日获利为w元，根据题意得
，
，
，
，
B型玩具的数量不少于A型玩具数量的4倍，
，
，
解得，
当时，w取得最大值，
，
解得．
【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及分式方程的应用，不等式的应用及一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数，再求解．
21．（1）y＝﹣2x2+3x+1;（2）（，）．
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；
（2）利用配方法将所求的函数解析式转化为顶点式，即可直接得到答案．
【详解】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得
解得
故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
所以抛物线的顶点坐标是（，）．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．
22．（1）0；（2）；（3）图象见解析
【分析】（1）先确定出对称轴，根据抛物线的对称性即可求得；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据二次函数图象的画法作出图象即可．
【详解】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
关于直线的对称点是，
，
故答案为：0；
（2）设二次函数的表达式为，
将点代入可得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（3）函数图象如图所示：

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
23．（1）开口向上，对称轴为直线x＝4，顶点(4，－27)；（2）x＞4；x＜4；（3）x＝4时，函数y取得最小值，最小值为－27
【分析】（1）根据顶点式的特点即可求解；
（2）根据对称轴即可求解；
（3）根据函数的顶点坐标及函数图象即可求解．
【详解】解：（1）开口向上，对称轴为直线x＝4，顶点坐标为(4，－27)．
（2）当x＞4时，y随x的增大而增大；当x＜4时，y随x的增大而减小．
（3）当x＝4时，函数y取得最小值，最小值为－27．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式．
24．（1）A（a，0）；（2）①4；②
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；
（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；
②由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为：，
∴可得顶点坐标为：A（a，0）；
（2）①∵a=0，
∴抛物线表达式为：，
令，
解得：x1=，x2=，
∵，，
∴区域内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；
②由①可知当a=0时有4个整点，
当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，
∴a＜0，
∵抛物线的解析式为：，
∴抛物线的顶点在x轴，开口向上，
当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，
当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，
，
解得：a=-2或0（舍），
第二个整点为（0，2），代入抛物线，
，
解得：a=（舍）或，
第三个整点为（0，1），代入抛物线，
，
解得：a=1（舍）或-1，
综上：a的取值范围是：.
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
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