5.3用待定系数法确定二次函数表达式寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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5.3用待定系数法确定二次函数表达式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的表达式为( )
A．y＝－x2＋2x＋4
B．y＝－ax2－2ax－3(a＞0)
C．y＝－2x2－4x－5
D．y＝ax2－2ax＋a－3(a＜0)
2．已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… 0 3 5 …
… 5 0 12 …
则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ）
A．图象开口向上
B．图象的对称轴是直线
C．当时，的值随值的增大而减小
D．当时，
3．已知二次函数的图象与y轴交点坐标为，与x轴交点坐标为和，则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（是常数，）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在抛物线上，则下列四个点中，一定也在该抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
6．某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 …
y … 2 …
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ）
A． B． C． D．2
7．已知二次函数的图象经过（1,3），（0,1）两点，则b，c的值为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点则此抛物线对此函数的表达式为（ ）
A． B． C． D．
9．顶点为（5，1），形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（ ）
A．y=(x-5) 2+1 B．y=x 2- 5 C．y=（x-5）2- 1 D．y=（x+5）2 -1
10．小明在研究某二次函数时列表如下：
… 0 2 3 …
… 11 6 3 3 6 …
当自变量满足时，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值11，有最小值3 B．有最大值11，有最小值2
C．有最大值6，有最小值3 D．有最大值6，有最小值2
11．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
12．如图是抛物线y＝a(x＋1)2＋2的一部分，该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是( )
A．(，0) B．(1，0) C．(2，0) D．(3，0)
二、填空题
13．将抛物线先向下平移3个单位，再向右平移个单位，所得新抛物线经过点．新抛物线的表达式为 ．
14．如果平移抛物线后得到的新抛物线经过和，那么平移后新抛物线的解析式是 ．
15．二次函数的图象绕其顶点旋转180°后所得图像的解析式是 ．
16．小华在研究函数y1＝x与y2＝2x图象关系时发现：如图所示，当x＝1时，y1＝1，y2＝2；当x＝2时，y1＝2，y2＝4；…；当x＝a时，y1＝a，y2＝2a．他得出如果将函数y1＝x图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数y2＝2x的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：
（1）如果函数y＝3x图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为______；
（2）①将函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的_____倍，得到函数y＝4x2的图象；
②将函数y＝x2图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为_____．

17．过抛物线的解析式为 ；
三、解答题
18．已知二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，与y轴的交点为（0，﹣2），求此二次函数的解析式．
19．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标和纵坐标相等，那么这个点被称为“好点”，“好点”的概念在数学和物理学中有广泛的应用．例如就是“好点”；若二次函数图象的顶点为“好点”，则我们称这个二次函数为“好点二次函数”，例如二次函数就是“好点二次函数”．
(1)直线上的“好点”坐标为______；
(2)若“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，求这个“好点二次函数”的表达式；
(3)若“好点二次函数的图象过点，且顶点在第一象限，当时，这个“好点二次函数”的最大值与最小值的差为d，求d关于m的函数表达式，并写出自变量m的取值范围．
20．如图，Rt△OAB≌Rt△OCD，AB⊥x轴，点D在y轴上，A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，CD与该抛物线交于点P，求点P的坐标．

21．如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B．
(1)点C的坐标为______；
(2)将二次函数的图象向下平移3个单位长度，求平移后的二次函数的解析式．
22．已知：抛物线经过、两点，顶点为A．
求： 抛物线的表达式；
顶点A的坐标．
23．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线的顶点，连接、，求的面积．
24．已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式．
《5.3用待定系数法确定二次函数表达式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B C A A B B A B
题号 11 12
答案 D B
1．D
【详解】试题解析：抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是（1，-3），且抛物线开口向下．
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，5），故选项错误；
B、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3a-3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确．
故选D．
2．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，以及顶点坐标，据此可得答案．
【详解】解：将点代入中得：，
解得，
∴二次函数解析式为，
∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，的值随值的增大而减小，离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴当时，，
∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意，
故选：D．
3．B
【分析】设二次函数解析式，利用待定系数法即可求即．
【详解】解：设二次函数解析式，
∵二次函数的图象与y轴交点坐标为，
∴，
∴，
∵二次函数的图象与x轴交点坐标为和，
∴，
解得，
∴二次函数解析式．
故选择B．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求二次函数解析式方法是解题关键．
4．C
【分析】把代入，可得到，再利用和建立方程组即可求出二次函数的解析式，画出图像即可求解．
【详解】解：令，则
∴
∴由题意可得：
解得：
∴
如图所示：
若最小值为最大值为，
结合图像可得：
故答案选：C
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像性质，利用待定系数法和根的判别式建立方程求出二次函数解析式作出图像是解题的关键．
5．A
【分析】将点（2，3）代入抛物线，求出y=c=3，再将各个选项中的点代入计算即可求解．
【详解】解：将点（2，3）代入抛物线，
可得y=c=3，
∴．
当x=0时，y=c=3；
当x=3时，y=9a-6a+3=3a+3；
当x=-2时，y=4a+4a+3=8a+3；
故（0，3）一定在该抛物线上，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，抛物线经过点，即点的坐标满足函数解析式．
6．A
【分析】先根据表格数据得出是错误的或是错误的，因为函数经过函数经过，，，利用待定系数法求出函数解析式，再代入或进行计算，可得答案．本题考查了二次函数图象，待定系数法求出函数解析式，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键．
【详解】解：由图得时，则或，此时对称轴，
∵与关于对称轴对称，
∴与所对应的是相等的，
∵他算错了其中一个y值，
∴是错误的或是错误的，
∴函数经过，，，
把，，代入函数解析式，得，
，
解得，
函数解析式为；
当时，，当时，，
故选：A．
7．B
【分析】把（1,3），（0,1）两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可
【详解】把（1,3），（0,1）代入得 ，解得
所以选B.
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
8．B
【分析】由抛物线与x轴的两交点坐标的横坐标，设出抛物线的两根形式y=a（x-x1）（x-x2），然后再把抛物线与y轴的交点坐标代入所设的解析式中，确定出a的值，进而得到抛物线的解析式，化为一般式即可．
【详解】解：由抛物线与x轴交于点（-1，0）和（3，0），
设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
又抛物线与y轴交于（0，-3），
把x=0，y=-3代入y=a（x+1）（x-3）得：-3=a（0+1）（0-3），
即-3a=-3，解得：a=1，
则抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3）=x2-2x-3．
故选B．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求函数解析式的步骤一般为：设，代，求，答，此题的关键是设出抛物线的两根式y=a（x-x1）（x-x2），抛物线与x轴交点的横坐标即为两根式中的x1与x2．同时注意最后结果应化为一般式．
9．A
【分析】形状与函数y=x2的图象相同开口方向相反，二次项系数是-，再用顶点式求即可．
【详解】∵形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反，
∴二次项系数是-
∵抛物线顶点坐标为(5,1)，
∴抛物线解析式为y= - (x-5)2+1
故选：A．
【点睛】本题考查求二次函数解析式问题，关键是形状相同且开口方向相反时二次项系数的值，掌握顶点式．
10．B
【分析】先用待定系数法求出二次函数解析式，改成顶点式，找出二次函数图像的对称轴，结合自变量的取值范围即可求得最值．
【详解】解：由题意，二次函数的图象经过，，，代入函数解析式，
可得，
解得，
该二次函数的解析式为，
该二次函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线．
，，，
时，y取最小值，，
时，y取最大值，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，利用待定系数法求出函数解析式，找出函数图象的对称轴是解决问题的关键．
11．D
【分析】在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与x轴交点时，可设交点式，通过图象社解析式求解即可；
【详解】由题图可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为，由交点式设抛物线的解析式为，对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到的形式，而D选项中．故选D．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．
12．B
【详解】根据图表，可得抛物线y=a(x+1)2+2与x轴的交点坐标为( 3，0)；将( 3，0)代入y=a(x+1)2+2，可得a( 3+1)2+2=0，解得a= ；所以抛物线的表达式为y= (x+1)2+2；当y=0时，可得 (x+1)2+2=0，解得x1=1，x2= 3，所以该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点的坐标是(1，0)．
故选 B.
13．
【分析】利用二次函数平移的性质得出平移后解析式，进而将点代入求解即可．
【详解】解：由题意可得新抛物线的表达式为：
将代入得，
解得或3，
∵，
∴，
∴新抛物线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确利用二次函数平移的性质得出解析式是解题关键．
14．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，设平移后新抛物线的解析式为，将和代入求出、，即可求解．
【详解】解：设平移后新抛物线的解析式为，
将和代入得：
，
解得：，
平移后新抛物线的解析式是，
故答案为：．
15．y=-2x2+4x-1
【分析】利用旋转性质，形状顶点不变，开口大小不变，由于转转180 ，开口向下，a变负，为此先把原抛物线解析式配方变顶点式即可．
【详解】y=2x2-4x+3=2(x-1)2+1，
抛物线的顶点为（1，1），
抛物线y=2x2-4x+3绕顶点旋转180 ，
开口向下，开口大小不变，顶点不变，
则所求抛物线解析式为y=-2(x-1)2+1=-2x2+4x-1，
抛物线解析式为y=-2x2+4x-1，
故答案为：y=-2x2+4x-1．
【点睛】本题考查旋转后抛物线解析式问题，关键是掌握旋转不变形顶点不变，开口大小不变，只是开口方向改变，会利用不变形解决抛物线顶点问题，利用开口方向与大小确定a,是问题得以解决．
16．（1）y＝9x；（2）①4；（2）y＝x2．
【分析】（1）设变换后直线解析式为y1＝kx，根据题意得出当x＝1时，y1＝3×3＝9，代入求得k即可；
（2）①求得x＝1时y＝x2＝1，y＝4x2＝4，即可得出答案；
②设所得函数图象的解析式为y2＝ax2，根据题意得出x＝2时，y2＝1，代入求得a的值即可．
【详解】解：（1）设变换后直线解析式为y1＝kx，
∵当x＝1时，y＝3x＝3，
∴y1＝3×3＝9，即k＝9，
∴得到的函数图象的表达式为y＝9x，
故答案为：y＝9x；
（2）①当x＝1时，y＝x2＝1，y＝4x2＝4，
∴纵坐标变为原来的4倍，得到函数y＝4x2的图象，
故答案为：4；
②设所得函数图象的解析式为y2＝ax2，
由题意知当x＝1时，y＝x2＝1，
则x＝2时，y2＝1，即1＝4a，解得：a＝，
即得到图象的函数表达式为y＝x2，
故答案为：y＝x2．
【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求函数解析式和平移变换，根据题意得出平移变换后对应点的坐标是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，理解点坐标的特点，设二次函数解析式为，把点代入计算即可求解，掌握待定系数法求解析式，二次函数交点式是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数图象过，
∴设二次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
故答案为： ．
18．y=x2﹣x﹣2．
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），于是可设交点式y=a（x+1）（x-5），然后把（0，-2）代入求出a的值即可．
【详解】∵二次函数的对称轴为x=2，且在x轴上截得的线段长为6，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（5，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），
把（0，-2）代入得a 1 （-5）=-2，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-5）=x2-x-2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
19．(1)
(2)或；
(3)
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值等知识，分类讨论是解题关键．
（1）根据好点的定义得到，解方程即可求出答案；
（2）根据“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”解得或，即可得到这个“好点二次函数”的表达式；
（3）先求出“好点二次函数”，再根据的取值范围，分别进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
解得，
∴直线上的“好点”坐标为，
故答案为：
（2）解：当时，，
∴“好点二次函数”的图象与y轴的交点是,
∵“好点二次函数”的图象与y轴的交点也是“好点”，
∴，
∴“好点二次函数”为，
∵是“好点二次函数”，顶点为，
∴，
解得或，
∴这个“好点二次函数”的表达式为或；
（3）∵“好点二次函数”的图象过点，
∴，
解得，，
∴或
∵的顶点是在第三象限，不合题意，舍去，
∴，
∵“好点二次函数”，，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
此时
当，即时，函数的最小值为2，
当时，即时，
当时，函数取得最大值为，
∴，
当时，即时，
当时，函数取得最大值为，
∴
当，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，函数有最小值，
当时，函数有最大值，
∴
综上所述，
20．P（）．
【分析】先根据点A的坐标求得抛物线的解析式，再由全等三角形的性质得出OB=OD=2，即y=2，求得x的值即可．
【详解】∵A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴4=a（﹣2）2，则a=1，
∴抛物线解析式为y=x2，
∵Rt△OAB≌Rt△OCD，AB⊥x轴，
∴OB=OD=2，CD⊥y轴，
当y=2时，2=x2
解得，
∵P在第一象限，
∴P（）．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求得抛物线的解析式及全等三角形的性质．
21．(1)
(2)函数向下平移3个单位得到的二次函数为
【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与x轴的交点，二次函数的平移等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键．
（1）根据二次函数图象的对称性可求出点的坐标；
（2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，根据平移规律解答即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，
∴点的坐标为；
（2）解：把，分别代入，得，
，
解得，，
∴二次函数的解析式为，
将二次函数的图象向下平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为．
22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）A的坐标为（1，4）．
【分析】（1）直接把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，可确定抛物线的解析式；
（2）把（1）的解析式进行配方可得到顶点式，然后写出顶点坐标即可．
【详解】（1）把B（3，0）、C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，解得．
故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x2﹣2x+1）+3+1=﹣（x﹣1）2+4，所以顶点A的坐标为（1，4）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设抛物线的解析式（一般式、顶点式或交点式），再把抛物线上的点的坐标代入得到方程组，然后解方程可确定抛物线的解析式．也考查了二次函数的性质．
23．(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，求得，，代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据抛物线解析式求得顶点的坐标，勾股定理求得的长，勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，；当时，
∴，；
∵抛物线经过、两点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，化为顶点式，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将、代入解析式即可求解；掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为．
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