5.4二次函数与一元二次方程寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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5.4二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果关于二次函数与x轴有公共点，那么m的取值范围是( )
A． B． C． D．
2．已知关于的方程有四个不同的实数解，，，，设，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
3．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．方程x2+2x+1＝的正数根的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知抛物线与直线在之间有个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，与的图象交于，两点，则不等式的解集为（ ）
A． B．或 C． D．或
7．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）如图所示，则关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是
A．x＜2 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
9．如图，将抛物线图象中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（实线部分），则新图象与直线的交点个数有（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．
11．从-1、0、3、5、7五个数中任意选取一个数，记为m，则使二次函数y=mx2+6x+2与x轴有交点时的m的值有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知抛物线在x轴上截得的线段长为4个单位，且过（1，3）（2，4）两点，则 = ．
14．已知关于的一元二次方程的根为，．则关于的一元二次不等式的解集为 ．
15．已知二次函数的部分图像如图所示，则使得函数值y大于0的自变量x的取值范围是 ．
16．若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= ．
17．如图是二次函数和一次函数的图象，则关于的不等式的解为 ．
三、解答题
18．阅读下面材料，并完成相应的学习任务.
“整体思想”是数学解题中的一种重要思想方法，数学课上，张老师给出了一个问题：已知实数m，n满足，求和的值.
小真：利用消元法解方程组，分别求出m，n的值后，再代入和即可.
小善：由①，得，③
将③代入②，得，解得，
把代入③，解得，
所以原方程组的解为
张老师对两位同学的讲解进行点评，指出小善同学的思路体现了数学中的“整体思想”的运用，请你参考小善同学的做法，完成以下两个任务.
(1)任务一：解方程组
(2)任务二：在（1）的前提下取a，b的值，若抛物线与x轴有唯一的交点，求此抛物线的解析式.
19．已知二次函数
(1)用配方法把二次函数化为的形式，并指出这个函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)如果该函数图像与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，求四边形的面积．
20．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(m，0)，B(n，0)，且，
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过C作一条平行x轴的直线交抛物线于另一点P，求△ACP的面积．
21．二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题
(1)写出方程的两个根；
(2)写出不等式的解集
22．如图，是二次函数的图象．
(1)求二次函数解析式；
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集．
23．画出二次函数y＝x2－2x的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0
(3)x取什么值时，函数值小于0
24．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
（1）请画出该二次函数的图象；
（2）根据图象求方程－x2＋2x＋3＝0的解．
《5.4二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B C D C C B D
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】根据函数图象与x轴的交点个数和b2-4ac的符号之间的关系解决问题.
【详解】解：∵二次函数与x轴有公共点
∴=0时b2-4ac≥0
∴(-1)2-4×1×()≥0
∴
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系.
2．C
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】

解：关于的方程有四个不同的实数解，，，，
与的交点有四个不同的实数解，，，，
如图所示，画出与的图象，易得，
与都关于轴对称，
，，故排除A．
与轴交点为，，易得，故排除B．
当时，与的交点横坐标为，，
即方程有两个大于零的解，
，
即，，故选C．
观察图像，当，显然，故排除D
故选：C
3．D
【分析】由抛物线开口向下，可判断a符号，再由对称轴在y轴左侧，得到b的符号，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c的符号，即可判断①；根据图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，即可判断②错误；根据图象知，对称轴在y轴左侧，得到，即，据此判断③；根据图象与x轴有两个不同的交点，得到，据此判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0．
∵对称轴在y轴左侧，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
根据图象知，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，得到②错误；
根据图象知，对称轴在y轴左侧，得到，即，解得，得到③正确；
根据图象与x轴有两个不同的交点，得到，从而得出结论，得到④正确，
则其中正确的有3个，为①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性解题．
4．B
【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=
的图象交点的横坐标．
【详解】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，
反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴这两个函数只在第一象限有一个交点．
即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．
故选B．
【点睛】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．
5．C
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用不等式求自变量或函数值的范围，掌握知识点的应用是解题的关键．
先根据题意画出图象，通过抛物线与直线在之间有个公共点，则，最后解出不等式组即可．
【详解】解：如图，
由直线得，当时，，当时，，
∵抛物线与直线在之间有个公共点，
∴，
解得：，
故选：．
6．D
【分析】由可得，在图上作出关于轴对称的的图象，得到交点坐标，再数形结合得到x的取值范围
【详解】由可得，在图上作出关于轴对称的的图象，则可得交点为，，，数形结合可得或，
故选：D.
【点睛】此题考查函数图象的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
7．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键．
【详解】解：由得，当时，，
∴与轴的交点坐标是，
故选：．
8．C
【详解】试题分析：根据函数图象，写出图象位于x轴上方部分的x的取值范围即可：
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为（﹣3，0）（1，0），
∴关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣3＜x＜1．
故选：C．
9．B
【分析】根据已知条件得到抛物线(x-1)2+7，故顶点为(1，7)，根据轴对称的性质得到新图象的顶点坐标为(1，-7)，于是得到结论．
【详解】解：如图，∵抛物线=(x-1)2+7，故顶点为(1，7)
∵将抛物线y=-x2+x+6图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象的顶点坐标为(1，-7)，
∴直线y=-7经过新图象的顶点并另有两个交点，
故新图象与直线y=-7的交点个数是3个，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图形上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键
10．D
【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．
【详解】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，
当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，
设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，
则x1+x2＝6，x1x2＝，
∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，
∴|x1﹣x2|＝4，
∴（x1﹣x2）2＝16，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，
∴36﹣4×＝16，
解得，a＝，
故选：D．
【点睛】本题考查解二次函数综合题，解题关键是根据题意可以写出平移后的函数解析式.
11．B
【分析】讨论函数关于x的二次函数y=mx2+6x+2的图象与x轴有交点的情况，再结合不等式组的解求解．
【详解】解：关于x的函数y=mx2+6x+2的图象与x轴有交点，
当函数为二次函数时m≠0，Δ=b2-4ac=62-8m≥0，
即：m≤4.5且m≠0．
又从-1、0、3、5、7五个数中任意选取，
∴m=-1，3，
∴m的值有2个．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，不等式求解，解题关键是分情况讨论m的取值，进而求解．
12．C
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出一元二次方程有实数根，再根据一元二次方程的定义和根的判别式得出且，解得且，再在数轴上表示出来，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数与x轴有交点，
∴一元二次方程有实数根，
∴，且，
∴且，
在数轴上表示为：
故答案为：C．
13．-1或．
【分析】由题意可以得到关于a、b、c的方程组，最后得到a的值．
【详解】解：由题意可知： 解得：或．
故答案为：a=-1或．
【点睛】本题考查抛物线与方程组的综合应用，通过抛物线上的点坐标及抛物线在x轴上截得的线段长得到方程组是解题关键．
14．或
【分析】已知一元二次方程的解，可先将其转化为二次函数，根据开口方向和与x轴交点位置即可算出解集．
【详解】令y=，
当y=0时，，
又∵a=1
∴此二次函数开口方向向上
∴的解集为或．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系．通过交点确定一元二次不等式的解集是解决本题的关键．注意数形结合．　
15．/
【分析】根据图像可得二次函数的开口方向和与轴的交点坐标，即可得出结论．
【详解】解：由二次函数的部分图象可得：
函数图像开口方向向下，与轴的交点为和
所以当函数值时，自变量x的取值范围为：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数的图像，结合图像的开口方向和与轴的交点坐标来判断函数值y大于0时自变量x的取值范围是解题的关键．
16．9
【详解】∵抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当时，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c．
又∵点A（m，n），B（m+6，n），
∴点A、B关于直线对称．
∴A（，n），B（，n）．
将A点坐标代入抛物线解析式，得：．
故答案为9
17．x≤-1或x≥2
【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，x的取值范围．
【详解】解：观察图象可知：抛物线y1与直线y2的交点横坐标是-1，2，
故当x≤-1或x≥2时，y2≥y1．
故答案为：x≤-1或x≥2．
【点睛】此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、抛物线与x轴交点问题、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键.
（1）直接运用整体代入消元法解答即可；
（2）先将代入得，然后根据一元二次方程根的判别式解答即可.
【详解】（1）解：
由①得③
将③代入②，得，解得，
将代入③，解得，
所以原方程组的解为.
（2）解：将代入得
拋物线与轴有唯一的交点，
，解得，
抛物线的解析式为.
19．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)15
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质；
（1）配方法配方即可，配方后即可求得对称轴与顶点坐标；
（2）设对称轴交x轴于点E；令，可求得点A的坐标；令，可求得点C的坐标；由即可求解．
【详解】（1）解：配方得：，
则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：设对称轴交x轴于点E；
令，即，
解得：，
点A的坐标为，即，
令，得，
∴，即；
∵抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
∴，
∴，
∴
．
20．(1)y＝－x2＋4x－3；(2)6.
【分析】（1）由题干可知n＞m＞0，则可求解出m和n的值，再根据韦达定理即可确定函数解析式；
（2）先求解出C点的纵坐标，从而确定P点的横坐标，即可知道△ACP的底边长，而△ACP的高为C点纵坐标的绝对值，如此即可求解.
【详解】（1）由及可知，n＞m＞0，则可解得m=1，n=3，
由韦达定理可知，b=，-c=3，即c=-3，
故函数解析式为：y＝－x2＋4x－3；
（2）当x=0时，y=-3，故C（0，-3），
当y=-3时，可得x=0或4，即P（4，-3），则CP=4，
故△ACP的面积为：.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，熟悉韦达定理等概念是解题关键.
21．(1)
(2)-2【分析】（1）根据二次函数的图象和性质求出函数图象与x轴的两个交点坐标，再根据二次函数的图象利用图象法求解即可．
（2）根据二次函数的图象利用图象法求解不等式即可．
【详解】（1）如图所示，二次函数交于点，对称轴为
故另一个交点坐标为
故方程的两个根为
（2）如图所示，当时，
故不等式的解集为-2【点睛】此题考查了利用图象法求解的问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质、用图象法解一元二次方程和不等式．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法，用图象法求不等式的解集，求出二次函数的解析式是解答关键．
（1）由图象求出二次函数图象经过的点，代入解析式求解；
（2）根据二次函数图象与轴的交点来确定出不等式的解集．
【详解】（1）解：由二次函数的图象可知，二次函数的图象经过，
代入二次函数解析式得
解得，
二次函数的解析式为．
（2）解：由图象可知图象与的交点为，
不等式的解集为．
23．(1)x1＝0，x2＝2
(2)x<0或x>2
(3)0【详解】试题分析：画出抛物线y＝x2－2x的图象的草图，根据图象即可解决问题（1）（2）（3）.
试题解析：
二次函数y＝x2－2x的图象如下图所示：
（1）观察图象可得方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2；
（2）观察图象可得，当x取x<0或x>2时，函数值大于0；
（3）观察图象可得，当x取0点睛：本题主要考查了二次函数与不等式的关系以及与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出自变量x的范围，运用了数形结合的思想方法．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意作出函数图象即可；
（2）根据图象即可求出方程的解．
【详解】(1)画函数图象如图所示．
(2)∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，
∴方程－x2＋2x＋3＝0的解为x1＝－1，x2＝3．
【点睛】此题主要考查二次函数与方程，解题的关键是画出函数图象．
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