6.3相似图形寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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6.3相似图形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列判断中，正确的是（ ）
A．所有等边三角形都相似 B．有一个角是40°的等腰三角形都相似
C．所有矩形都相似 D．所有菱形都相似
2．下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列结论不正确的是（ ）
A．所有的矩形都相似 B．所有的正三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正八边形都相似
4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC力向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC翻折，点P的对应点为R，设点Q运动的时间为t秒，若四边形PCRQ为菱形，则t的值为（　　）
A． B．2 C．1 D．
5．将图形甲通过放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是（ ）
A．边的长度 B．图形的周长 C．图形的面积 D．角的度数
6．如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（ ）
A．2：1 B．1：2
C．3：2 D．：1
7．如图，四边形四边形，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（ ）
A．70° B．80° C．110° D．120°
9．如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，则（ ）
A． B． C． D．2
10．如图，如果五边形五边形，且对应边上的高之比为3：2，那么五边形和五边形的周长之比是（ ）
A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：4
11．下列给出的图形中，不是相似形的是（　　）
A．由同一张底片印出来大小不同的照片
B．一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片
C．小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像
D．五星红旗上的大五角星和小五角星
12．一块矩形的纸片的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的两个矩形，且使裁成的每个矩形的宽和长的比与原纸片的宽与长的比相同，即，则a的值为（ ）．
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．已知两个相似四边形的相似比是，较小四边形的周长为，则较大四边形的周长为 ．
14．请认真观察下面各组中的两个图形，形状相同的图形有 （填写序号），形状不同的图形有 （填写序号）.
15．在师一学校第23届运动会开幕式上，由500名初一学生组成的大型团体操《传承 复兴》让全校师生眼前一亮，该方队面向主席台集合时共25列20排（整个方队看成矩形，且集合时人与人之间的距离忽略不计），其中每个小矩形（例如矩形）代表一名学生，且军列的宽度都等于（即），每排的宽度都等于（即）当方队成体操队形散开时，假设列与列之间的距离都为（即），排与排之间的距离都（），若矩形与矩形相似时，则y关于x的函数关系式为 （不考虑x的取值范围）．
16．两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为 ．
17．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是，最大长度是；叶片②最大宽度是，最大长度是；叶片③最大宽度约为，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为 ．
三、解答题
18．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
(1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由；
(2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”）
(3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式．
19．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，，连接FC，若，求的值．
20．观察图中①～⑨的图形，其中哪些图形分别与(1)，(2)，(3)，(4)相似？
21．（1）请你写出五个正的真分数，____，____，____，____，____，给每个分数的分子和分母加上同一个正数得到五个新分数：____，____，____，_____，____.
（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：
一个真分数是（a、b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得，则两个分数的大小关系是_____.
（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：
（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？
（5）解决问题：如图1，有一个长宽不等的长方形绿地，现给绿地四周铺一条宽相等的路，问原来的长方形与现在铺过小路后的长方形是否相似？为什么？
（6）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题.请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关例子.
22．如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
23．如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定相似，请举出反例．
24．如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连结BF．
（1）求证：BF平分∠ABC；
（2）若AB＝6，且四边形ABCD与CEFD相似，求BC长．
《6.3相似图形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A C D D D D B B
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】解：A．任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，A正确；
B．各有一个角是40°的两个等腰三角形的对应角不一定相等，不一定是相似形，B错误；
C．任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，C错误；
D．任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键．
2．B
【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】解：A、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
3．A
【分析】根据相似图形的判定判断即可；
【详解】所有的矩形不一定都相似，故A错误，符合题意；
因为正三角形的每个角都等于满足两个角对应相等，
所有的正三角形都相似，故B正确；
因为等腰直角三角形的三个角分别为 满足两个角对应相等，
所有的等腰直角三角形都相似，故C正确；
因为正八边形的每个角都相等，每条边都相等，
所有的正八边形都相似，故D正确；
故选A．
【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，准确分析判断是解题的关键．
4．C
【分析】作PE⊥BC于E，根据菱形的性质得到QE=EC，根据直角三角形的性质得到AB=6cm，根据平行线分线段成比例定理得到比例式，解出x的值即可．
【详解】作PE⊥BC于E．
∵四边形PCRQ为菱形，
∴QE=EC=（3﹣t）．
∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=3cm，
∴AB=6cm，
∴BP=6﹣2t．
∵PE⊥BC，∠ACB=90°，
∴PE∥AC，
∴，即，
解得：t=1．
故选C．
.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、菱形的性质及翻折变换的性质，灵活运用翻折变换的性质、找准对应边和对应角是解题的关键．
5．D
【分析】根据相似图形的性质解答．
【详解】解：将图形甲通过放大得到图形乙没有被放大的是角的度数，
故选：．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，正确理解图形的相似是解题的关键．
6．D
【分析】表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．
【详解】解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
则对折后的矩形的长为y，宽为，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y：，
解得x：y= ．
故选：D．
【点睛】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．
7．D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．直接利用相似多边形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，，，，
∴．
故选：D．
8．D
【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可．
【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ，
∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90°
∴∠H=360° ∠E ∠F ∠G=360° 80° 70° 90°=120°
故选D
【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键．
9．B
【分析】首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为，又根据，即可得出，进而得解.
【详解】解：∵矩形ABCD与矩形BFEA相似，
∴，
∴.
又∵，
∴，
∴，
故选B.
【点睛】此题主要考查利用多边形的相似比进行等量转换，即可解题.
10．B
【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比计算即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形和五边形的周长之比是3：2，
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、周长比等于相似比是解题的关键．
11．C
【分析】利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可．
【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，不合题意；
B、一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片，是相似图形，不合题意；
C、小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像，不是相似图形，符合题意；
D、五星红旗上的大五角星和小五角星，相似图形，不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
12．A
【分析】此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．
由裁出的矩形的宽与长的比与矩形的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知，．
由，得，
即．
∴．
开平方，得（舍去），
故选：A．
13．
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比．
根据相似多边形周长的比等于相似比计算即可得到答案．
【详解】解：设较大四边形的周长为，
由题意得：，
解得：，
较大四边形的周长为，
故答案为： ．
14． （3）、（5）组中的图形形状相同； （1）、（2）、（4）、（6）组中的图形形状不同
【详解】试题分析：根据相似图形的定义：形状相同的图形是相似图形，依次分析即可判断.
（1）中的左边图形是圆，右边图形是椭圆，形状不同；
（2）中的左边是正六边形，右边不是正六边形，形状不同；
（3）中的两个图形形状相同；
（4）中的左边是长方形，右边的正方形，形状不同；
（5）中的两个图形形状相同；
（6）中的左边是圆形脸，右边是椭圆形脸，形状不同；
故（3）、（5）组中的图形形状相同，（1）、（2）、（4）、（6）组中的图形形状不同．
考点：相似图形
点评：本题是相似图形的定义的基础应用题，难度一般，主要考查学生观察和分析图形的能力.
15．
【分析】本题考查了相似多边形的性质及矩形的性质，函数关系式，依次表示出的长，再利用矩形与矩形相似，即可得到，从而得出结果．
【详解】解：，，
，，
矩形与矩形相似，
，
， ，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算．
【详解】解：两个相似多边形的周长之比为，
它们的相似比为，
则它们的面积之比为，
故答案为：．
17．13
【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似．依据相似形的性质即可解决．
【详解】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm．
故答案为13．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键是联系实际，根据相似比来求出所求的值．
18．(1)不相似；理由见解析
(2)不一定相似
(3)
【分析】本题考查了相似多边形的性质，
（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；
（2）根据相似多边形的定义，即可求解．
（3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．
【详解】（1）解：不相似．理由如下：
∵原矩形的长，宽，
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，
∴每个小矩形与原矩形不相似．
（2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似，
所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似，
故答案为：不一定相似．
（3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．
∴划分后小矩形的长为，宽为，
又∵每个小矩形与原矩形相似，
∴
∴，即．
19． 2
【详解】试题分析: 由平行线分线段成比例定理和已知条件得出，证出AB∥CF，再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．
试题解析:
解：∵DE∥BC，
∴，
又∵，
∴，
∴AB∥CF，
∴=，
∵，
∴=2，
∴=2．
20．与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨
【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义，属于中考常考题型．根据相似图形的定义判断即可．
【详解】解：与(1)相似的图形是⑥；与(2)相似的图形是①⑦；与(3)相似的图形是②④；与(4)相似的图形是⑨．
21．(1) ；；；；；；；；；；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）答案见解析；（5）不相似，理由见解析；（6）答案见解析.
【分析】（1）小于1的数叫做真分数；（2）根据实例易得规律；（3）抓住新分数大于原分数即可；（4）根据图形进行分析解答；（5）利用相关规律解决问题即可；（6）结合生活中的现象进行解答.
【详解】解：（1）、、、、，、、、、；（2）；
（3）给一个正的真分数的分子、分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；
（4）思路1：如图2所示，
由，得，即，，可推出；
思路2：构造两个面积为1的长方形（如图3），将它们分成两部分，比较右侧的两个长方形面积可以发现：
，，
因为a、b、，且，
故 ，即
（5）不相似.因为两个长方形长与宽的比值不相等；
（6）数学问题举例：
①若是假分数，会有怎样的结论？
②a、b不是正数，或不全是正数，情况如何？
【点睛】本题实际考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.
22．（1）；（2）存在，最大值，最小值
【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；
（2）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=；
（2）存在．
∵OE=，
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=，
∴8h=4×4，
解得h=2，
∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=，
S最小=．
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键．
23．如果两个多边形仅有角分别相等，它们不一定相似，例如正方形与长方形；如果仅有边成比例，它们也不一定相似，例如正方形与菱形
【分析】根据相似多边形的性质判断即可；
【详解】如果两个多边形仅有角分别相等，它们不一定相似，例如正方形与长方形；如果仅有边成比例，它们也不一定相似，例如正方形与菱形
【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质理解，准确分析判断是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明四边形ABEF是菱形即可；
（2）根据相似列出比例式求解即可．
【详解】解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD.
∴∠FAE＝∠AEB.
∵EF∥AB，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AE平分∠BAD，
∴∠FAE＝∠BAE.
∴∠BAE＝∠AEB.
∴AB＝EB.
∴四边形ABEF是菱形．
∴BF平分∠ABC；
(2)∵四边形ABEF为菱形，
∴BE＝EF＝AB＝6.
∵四边形ABCD与CEFD相似，
∴＝，即＝.
解得,BC＝3±3．
∵BC＞0，
∴BC＝
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，相似多边形的性质，解题关键是熟练运用相关定理和性质进行推理证明与计算．
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