6.4探索三角形相似的条件寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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6.4探索三角形相似的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，直线m分别交直线a，b，c于点A，C，E，直线n分别交直线a，b，c于点B，D，F，若，则等于（　　）
A． B． C． D．1
2．已知图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于O点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）

A．只有（1）相似 B．只有（2）相似 C．都相似 D．都不相似
3．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC
C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE
4．如图，下列四个三角形中，与相似的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知点、、、在一条直线上，，下列（ ）作为条件添上，不能使得
A． B． C． D．
6．如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，等腰△ABC，BA=BC，点P是腰AB上一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8．如图，在中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断∽的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　）
A． B． C． D．
10．“相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，这种学习方式体现的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．分类思想 C．方程思想 D．数形结合思想
11．如图，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3， BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
12．在和中，有下列条件：①；②；③；④，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断的共有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
二、填空题
13．如图，在平行四边形中，交AD于E，交BD于F，，，则的长为 ．
14．如图，D、E两点分别在ABC 的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足 条件（写出一个即可）时，ADE∽ACB．
15．矩形中，，，点是边上三等分点，连接、交于点，则线段的长为 ．
16．如图，在中，，则图中相似三角形共有 对．
17．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，P点在BC边上的高AD上，且，BP的延长线交AC于E，若S△ABC＝10，则S△ABE＝ ；S△DEC＝ ．
三、解答题
18．如图, AD 、 BC交于点 O, BA 、 DC的延长线交于点 P, ．试说明：①△ PAC∽△ PDB;②△ PBC∽△ PDA．
19．如图，，垂足为D，，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．你能在图中找出一对相似三角形，并说明相似的理由吗？
20．阅读材料，并解决问题．
角平分线分线段成比例定理：如图，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图，过点作，交的延长线于点．
任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图，已知中，，，，平分，则的长是 ；
(3)如图，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求长．
21．如图，为的对角线，若点E、F分别是边上的点，连接，若，．求证：．
22．如图，直线，直线和被、、所截．如果，，，求的长．
23．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：．
24．在和中，，，，，，那么与相似吗？请说明理由．
《6.4探索三角形相似的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C D D A C C D A
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】对于图（1），先利用三角形内角和计算出第三个角，然后根据两个三角形中有两组角对应相等的三角形相似；对于（2）图，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行判断．
【详解】解：对于图（1）：180°﹣75°﹣35°＝70°，则两个三角形中有两组角对应相等，所以（1）图中的两个三角形相似；
对于（2）图：由于，，，∠AOC＝∠DOB，所以△AOC∽△DOB．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握和应用相似三角形的判定定理．
3．C
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【详解】∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故A正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
4．D
【分析】是等边三角形，结合各选项是否符合相似的条件即可.
【详解】解：三条边都为6，为等边三角形，故其相似三角形也为等边三角形，
因为A、B、C选项中都只有两边相等，都为等腰三角形，不符合题意，
只有D选项中三角形的各边都为3，为等边三角形.
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大.
5．D
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可．
【详解】∵，
∴，
A、∵，，
∴∽，本选项不符合题意；
B、∵，
∴，
又∵，
∴∽，本选项不符合题意；
C、∵，，
∴∽，本选项不符合题意；
D、因为，但不能得出，所以不能得出∽，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，故A选项正确，符合题意；
因为，故D选项不正确，不符合题意；
，故B选项不正确，不符合题意；
，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意；
故选：A．
7．C
【分析】根据相似三角形的判定，过点P分别BC，AC的平行线即可得到与原三角形相似的三角形，过点P作以点P为顶点的角与∠A相等的角也可以得到原三角形相似的三角形．
【详解】解：∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG=∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．C
【分析】根据已知条件知∠A＝∠A，再添加选项中的条件依次判断即可得到答案.
【详解】解：A、，，则可判断，不符合题意；
B、，，则可判断，不符合题意；
C、 ，若成立，则，由题可知DE与BC不平行，符合题意；
D、 ，，则可判断，不符合题意
故选：C．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，已知一个角相等时，再确定另一组角相等或是构成已知角的两边对应成比例，即可证明两个三角形相似.
9．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【详解】解：对A、B选项．∵，，
∴，
∴，，故AB正确，不符合题意；
C．∵，，
∴，故C正确，不符合题意；
D．∵，而，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
10．A
【分析】由于在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，所以这种学习方式体现的数学思想是类比思想．
【详解】解：由题意可知，这种学习方式体现的数学思想是类比思想．
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形，全等三角形，教材中“相似三角形”的知识安排在“全等三角形”的知识之后，因为“相似三角形”与“全等三角形”有许多共同点，所以我们在学习“相似三角形”时，常常与“全等三角形”的相关知识对比进行学习，体现了数学中的类比思想．
11．C
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应边不成比例，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夹角∠B相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
12．A
【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．
【详解】解：当时，；
当，时，；
当，时，；
综上所述：满足条件的组合为：①②、①④、③④，共3组，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
13．7
【分析】由，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得的长，又由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得的长．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵四边形是平行四边形，
∴．
故答案为：7．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
14．∠ADE=∠C（答案不唯一）
【分析】要使两个三角形相似，使两个角对应相等，或两边对应成比例且夹角相等，即可得出其相似．
【详解】解：∵∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或或AD AB=AC AE时，两三角形相似．
故答案为：∠ADE=∠C（答案不唯一）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定，熟练掌握满足两个三角形相似的条件．
15．或
【分析】分和两种情况进行讨论，即可得出答案．
【详解】四边形是矩形，，，
，，，，
点是边上三等分点，
分两种情况进行讨论：
①如图1，

当时，，
，
∵，
，
，
，
②如图2，

当时，，
，
∵，
，
，
，
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
16．6
【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF、△AGH、△AIJ和△ABC任意两个三角形都相似．
【详解】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似．
∴相似三角形共有6对．
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键．
17． 2 4
【分析】如果把△ABE与△ABC看作同高的两个三角形，那么它们的面积之比等于底之比，即等于AE：AC．所以为了求出△ABE的面积，由于已知S△ABC＝10，只需求出AE：AC即可．为此，取EC中点F，连接DF．先由等腰三角形三线合一的性质得出D为BC中点，又F为EC中点，根据三角形中位线定理证出DF∥BE，再由平行线分线段成比例定理求出AE：EF，进而得出AE：AC，即可求S△ABE；根据S△BEC＝S△ABC﹣S△ABE，先求出S△BEC，再根据三角形的中线将三角形的面积二等分，得出S△DEC．
【详解】解：如图所示，取EC中点F，连接DF．
∵AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵F为EC中点，
∴DF∥BE，则DF∥PE，
∴，
∴＝．
∴，
∴S△ABE＝S△ABC＝×10＝2；
∵S△BEC＝S△ABC﹣S△ABE＝10﹣2＝8，
又∵D为BC中点，
∴S△DEC＝S△BEC＝×8＝4．
故答案为2，4．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质，中位线定理以及平行线分线段成比例，根据底边之比得到面积比是解决本题的关键.
18．①见解析；②见解析
【详解】试题分析：由PA PB=PC PD，根据比例性质得，再加上公共角，于是可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到结论．
试题解析：①在△ PAC和△ PDB中，
∵∠ APC=∠ DPB,
∴△ PAC∽△ PDB．
②在△ PBC和△ PDA中，
∵∠ BPC=∠ DPA, ．
∴△ PBC∽△ PDA．
19．，见解析
【分析】根据相似三角形的判定即可在图中找出一对相似三角形
【详解】解：，理由是：
∵，，
∴，
∵，
∴．
（或，等）（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
20．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证；
（2）求出，根据题意可得，进而得；
（3）由题意得结合是的中点，可得根据可推出，进而得即可求解；
【详解】（1）证明：∵，
，，，
，
，
，
．
（2）解：∵，，，
∴，
∵平分，
由题意得：，
∴，
∴，
故答案为：
（3）解：是的平分线，，，
是的中点，，
∵，
，
，
．
21．见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用平行四边形的性质及题中所给条件，找到证明相似所需要的条件是解题的关键．
由得，得，由得，由得，即可证明结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
．
22．
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，根据条件可得，再进一步求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
把，，代入，
得，
解得：．
23．见解析
【分析】本题考查考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明．
【详解】证明：方法一：、分别是、的中点，
，，
，
，
；
方法二：、分别是、的中点，
，
．
24．相似，理由见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据勾股定理，分别求出，的长，可得到，再根据相似三角形的判定，即可判断答案．
【详解】解：与相似．理由如下：
，
（），
，
（），
，，
，
，
与相似．
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