6.5相似三角形的性质寒假练习（含解析）苏科版数学九年级下册

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6.5相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，相似比为，则对应边的中线比为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将沿边上的中线平移到的位置．已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．E是AC边上一动点，过点E作EF∥AB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分∠ABC时，AE的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．已知与相似，，，，，，则与的相似比为（　　）
A．2 B．
C． D．
6．如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．在中，直线点交于点，交于点，那么能推出的条件是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
8．⊿ABC中,AB=63,BC=15,AC=49，和它相似的三角形的最短边是5，则最长边是( )
A．18 B．21 C．24 D．17
9．如图，在中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝BD BC B．AC2＝DC BC C．AD2＝BD DC D．BC2＝AB AC
10．如图，与相似，且，则下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，点在边上，连接，点在线段上，且交于点，，且交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，在△ABC中，D为BC中点，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接EC，已知BC＝6，AD＝2，且S△CDE＝，则点A到DE的距离为 ．
14．如图，在矩形中，是的中点，连接，过点作交于点．若，，则的长为 ．
15．如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，则 ， ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A(0，1)，点B为直线y=x上的一个动点，∠ABC＝90°，BC=2AB，则OC的最小值为 ．
17．已知在中，，点、分别在边、上，，，如果与相似，那么的长等于 ．
三、解答题
18．已知：如图在中，为的平分线，交于，以点为圆心，线段的长为半径画弧与边交于点，连结．
（1）求证：．
（2）当点E在AD边的延长线上时，若，求线段的长．
19．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？

20．如图，已知△ABC中，AB=12，BC=8，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，且相似比为．
（1）根据题意确定D、E的位置，画出简图；
（2）求AD、AE和DE的长．
21．如图，在四边形中，，对角线交于点．
(1)设，试用的线性组合表示向量．
(2)如果，求四边形的面积．
22．如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（0，6）点C的坐标为（4，0），点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B出发，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，当点P与点B重合时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当t=1时，请直接写出△BPQ的面积为 ；
(2)当△BPQ与△COQ相似时，求t的值；
(3)当反比例函数y= （x> 0）的图象经过点P、Q两点时．
①求k的值；
②点M在x轴上，点N在反比例函数y= 的图象上，若以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的M的坐标．
23．如图，，，轴，与直线交于点，轴于点，是折线上一点．设过点，的直线为．

（1）点的坐标为________；若所在的函数随的增大而减小，则的取值范围是________；
（2）当时，求的解析式；
（3）若与线段有交点，设该交点为，是否存在的情况？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
24．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点F．
(1)求证：△AEF∽△CBF；
(2)若BE⊥AC，求AE：ED．
《6.5相似三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B B B A B D D
题号 11 12
答案 B D
1．A
【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，能理解相似三角形的性质是解此题的关键，注意：相似三角形对应边上中线的比等于相似比．
相似三角形对应边上中线的比等于相似比，根据以上性质得出即可．
【详解】解：与的相似比为，
∴与对应边上中线的比是，
故选：A．
2．B
【分析】由 S△ABC＝16、S△A′EF＝9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据△DA′E∽△DAB知 ，据此求解可得．
【详解】、，且为边的中线，
，，
将沿边上的中线平移得到，
，
，
则，即，
解得或（舍），
故选．
【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的
性质、相似三角形的判定与性质等知识点．
3．A
【分析】根据相似的性质，得到对应边成比例，代值求解即可．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
故选A
【点睛】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．
4．B
【分析】根据角平分线、中点及平行线的性质，得出FD=ED= FB，设FD=ED= FB=x，再根据△CEF∽△CAB，得出x的值，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∵EF∥AB
∠FDB=∠ABD
∴∠FDB=∠FBD
∴△FBD为等腰三角形
∴FB=FD
∵D为线段EF的中点
∴FD=ED
∴FD=ED= FB
设FD=ED= FB=x
∴EF=2x
∵EF∥AB
∴△CEF∽△CAB
∴
∴
即
解得：x=
∴CF=8-BF=8-=
EF=2×=
∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8
∴AC==6
在Rt△CEF中
CE= =
∴AE=AC-CE=6-=
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性质，勾股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及利用方程解决实际问题．
5．B
【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形相似比等于对应边之比求解即可得到答案；
【详解】解：∵与相似，，
∴与是对应边，
∴与相似比为，
故选B．
6．B
【详解】∵△RPQ∽△ABC，
∴，即，
∴△RPQ的高为6．
故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．
故选B．
7．A
【分析】根据各个选项的条件只要能推出或，即可得出△ADE∽△ABC，推出∠ADE＝∠B，根据平行线的判定证明即可．
【详解】A、∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，故本选项正确；
B、根据，，不能推出三角形相似，故本选项错误；
C、根据和，不能推出三角形相似，故本选项错误；
D、根据，，不能推出三角形相似，故本选项错误；
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，关键是推出△ADE∽△ABC．
8．B
【详解】答：⊿ABC中最短边为15；最长边为63；设相似三角形的长边为 X：故可知：
所以：5/15=X/63
X=21
故选B
9．D
【分析】根据相似三角形的性质对选项A、B、C进行判断；利用等面积法对选项D进行判断．
【详解】解：如图，∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB＝90°，
∴△ADB∽△CAB，
∴,即AB2＝BD BC，
同理可知， AC2＝DC BC，AD2＝BD DC，故选项A、B、C正确，不符合题意．
AC AB＝BC AD，即BC AD＝AB AC．
只有当AD＝BC时BC2＝AB AC才能成立，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定与性质进行证明推理．
10．D
【分析】利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论.
【详解】由题意可得，，所以，
故选D.
【点睛】在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若，则说明点A的对应点为点，点B的对应点，点C的对应点为点.
11．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理与性质定理得到，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
12．D
【分析】①四边形是矩形，，则，又，于是；
②由，又，所以，故可得；
③过D作交于N，得到四边形是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论；
④由，推出，设，推出，，，，推出，故⑤正确．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵于点F，
∴
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图，过D作交于N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵于点F，，
∴，
∴垂直平分，
∴，故③正确；
，
，
设，
，，，，
故④正确；
正确的个数为4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
13．．
【分析】过点E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H，由将△ABD沿AD折叠得到△AED，可得，可证，由D为BC中点，BC=6，可求，由S△CDE＝，可求，在Rt△EDF中，由勾股定理，可求FC=，在Rt△ECF中，由勾股定理，可证，可得 ，可求即可
【详解】解：过点E作EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，AH⊥BC于H，
∵将△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴，
∴AD为∠BDE的平分线，
∵EF⊥BC于F，AG⊥DE于G，
∴，
∵D为BC中点，BC=6，
∴，
∵S△CDE＝，
∴，
∴，
在Rt△EDF中，由勾股定理，
∴FC=DC-DF=3-，
在Rt△ECF中，由勾股定理，
∵DE=DC，
∴，
由外角性质，，
∴，
，
∴，
∴即，
∴，
∴AG=，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，掌握折叠性质，角平分线性质，三角形面积，勾股定理，相似三角形判定与性质，利用辅助线画出准去图形是解题关键．
14．
【分析】结合矩形的性质证明可求得的长，再利用可求解．
【详解】解：四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是的中点，，
，
，
，
解得，
．
故选：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
15．
【分析】根据三角形一边的平行线定理可直接得到答案．
【详解】
，
．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查三角形一边的平行线定理，关键是由平行得到三角形的相似，进而根据相似三角形的性质可得．
16．
【分析】分析求OC最小即求AC最小，求AC最小即求AB最小，根据点到直线的距离公式求AB最小，继而代换求出OC最小．
【详解】连接OC，在△AOC中，
OCAC-OA
故求OC最短，即求AC最短
由题意知：∠ABC=，BC=2AB且点A(0，1)，
设AB=m，BC=2m，AC= m
根据点到直线的距离可知，m最小= ．
此时AB⊥直线y=x，点C在直线上
∴BC=
作BD⊥OA与点D，
在△ABD和△BOD中
∴△DOB∽△OBA
∴
又∵AB=m=
∴OB=
∴OC=
故答案为．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及三角形相似的性质，正确掌握点到直线的距离公式及三角形相似的性质是解题的关键．
17．或
【分析】根据题意由勾股定理求出AB的长，根据相似三角形的性质列出比例式解答即可．
【详解】∵AC=4，BC=3，∠C=90°，
∴AB==5，
当△APQ∽△ABC时，
，即，
解得，AP=；
当△APQ∽△ACB时，
，即，
解得，AP=，
故答案为或．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）由画图可知BE=BD，得到∠BED=∠BDE，结合角平分线的定义得到∠BAD=∠DAC，从而证明△ABE∽△ACD；
（2）同理证明△ABE∽△ACD，得到，从而可得AE的长．
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
又∵BE，BD是以B为圆心，BD为半径的圆的半径，
∴BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC，
∴△ABE∽△ACD；
（2）如图，
同理：△ABE∽△ACD，
∴，
又∵AD=3，BD=BE=4，CD=2，
∴，
解得：AE=6，
∴AE的长为6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，解题的关键是证明△ABE∽△ACD．
19．或
【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案．
【详解】解：设经秒钟与相似，
则，，
，，
，
是公共角，
①当，即时，，
解得：；
②当，即时，，
解得：，
经过2或秒钟与相似．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
20．（1）两种情况，图见解析；（2）第一种情况：AD=4，AE=2，DE=；第二种情况：AD=2，AE=4，DE=
【分析】本题考查了的是相似三角形的性质.
（1）根据题意直接画出图形；
（2）利用相似三角形的对应边成比例解答．
【详解】解：（1）如图．
（2）当DE∥BC时，如图1，
根据相似三角形的相似比可得，△ADE∽△ABC，
∴
即
解得AD=4，AE=2，DE=．
当△ADE∽△ACB，
即时，
如图2，
解得：AD=2，AE=4，DE=．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题．
（1）根据题意可得，然后利用平行四边形法则得到即可；
（2）过点D作交的延长线于点F，则有，得到，求出长，然后利用勾股定理得到长计算面积即可
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）过点D作交的延长线于点F，
∵，
∴为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：或（舍去）
∴，
∴．
22．(1)3
(2)当△BPQ与△COQ相似时，t的值为或
(3)①；②当以点M、N、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（，0）
【分析】（1）由点，的运动速度，可找出当时点，的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式可求出此时的面积；
（2）由可知分两种情况考虑，①当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值；②当时，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出值．综上，此问得解；
（3）①由题意可得出点，的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于，的方程，解之即可得出结论；
②由①可得出点，的坐标，分为边及为对角线两种情况考虑：当为边时，利用平行四边形的性质可求出值，进而可得出点的坐标，由点，重合可得出此种情况不存在；当为对角线时，利用对角线互相平分可求出的值，进而可得出点，的坐标．综上，此问得解．
【详解】（1）当时，点的坐标为，点的坐标为，
，，
．
故答案为：3；
（2）当运动时间为秒时，，，．
与相似，，
分两种情况考虑：
①当时，，即，
解得：，，
经检验，，是原分式方程的解，符合题意，
；
②当时，，即，
解得：，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
；
综上所述：当与相似时，的值为或．
（3）①依题意，得：点的坐标为，点的坐标为．
反比例函数的图象经过点、两点，
，
，
．
②由①可知：点的坐标为，点的坐标为．
设点的坐标为，点的坐标为，．
分两种情况考虑：
当为边时，，
，
点的坐标为，此时点，重合，不符合题意，
此种情况不存在；
当为对角线时，，
，
点的坐标为，，点的坐标为，．
综上所述：当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为，．
【点睛】本题考查了三角形的面积、相似三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）找出当时点，的坐标；（2）利用相似三角形的性质，找出关于的方程；（3）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出关于，的方程组；②分为边及为对角线两种情况，利用相似三角形的性质求出点，的坐标．
23．（1） ，
（2）
（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）将y＝4代入中可求出点C的坐标，由一次函数的性质结合l所在的函数随x的增大而减小，可得出点P在线段CD上且纵坐标小于2，进而可得出PD的取值范围；
（2）由中位线的性质可得出点P的坐标，根据点B、P的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；
（3）利用相似三角形的性质求出OE的范围，进而即可得出OE≠OB．
【详解】（1）当y＝4时，有＝4，
解得：x＝6，
∴点C的坐标为（6，4）；
∵l所在的函数随x的增大而减小，
∴点P在线段CD上，且纵坐标小于2，
∴0≤PD＜2．
故答案为：，;
（2）∵，点为线段的中点，
∴点为线段的中点，即．
设直线的解析式为，
将，代入，
得
解得
∴的解析式为．
（3）不存在，理由如下：
连接，交于点，如图，
当点在上时，与线段有交点，且，
∴，
∴，
∴，即．
而，
，
，
∴．
【点睛】相似三角形的性质与判定，一次函数的综合题，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质．
24．(1)见解析
(2)1：3
【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断△AEF∽△CBF；
（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE=x，则DE=x，从而可计算出AE：DE．
【详解】（1）解：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF；
（2）设AB=x，则BC=2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠ACB，
∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，
∴△ABE∽△BCA，
∴，即，
∴AE=x，
∴DE=AD-AE=，
∴AE：DE==1：3．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．
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