2.7弧长及扇形的面积寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.7弧长及扇形的面积
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示的格点纸中每个小正方形的边长均为1，以小正方形的顶点为圆心，2为半径做了一个扇形，用该扇形围成一个圆锥的侧面，针对此做法，小明和小亮通过计算得出以下结论：小明说此圆锥的侧面积为π；小亮说此圆锥的弧长为π，则下列结论正确的是（　　）
A．只有小明对 B．只有小亮对 C．两人都对 D．两人都不对
2．（2016四川省甘孜州）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径的长为（　　）
A．π B．2π C．4π D．8π
3．制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．试计算如图所示的管道的展直长度，即的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将绕着点O顺时针旋转后得到，若，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
5．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边上一点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，交于点E．其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，且⊙O 的半径为1．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在打开房门时，将门扇绕着门轴逆时针旋转后可以开到最大，若门扇的宽度，则旋转过程中点经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则的展直长度为（　　）
A．3π B．6π C．9π D．12π
10．如图，在边长为2的正方形内部，以各边为直径画四个半圆，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2 B． C． D．1
11．如图，等边三角形中，将边逐渐变成以为半径的，其他两边的长度不变，则的度数大小由60变为（　　）
A． B． C． D．
12．如图①，表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢，图②是其示意图，点是圆心，半径为12m，点是圆上的两点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．杭扇，素称“杭州雅扇”，与杭州丝绸、龙井茶被誉为“杭产三绝”．如图，某款杭扇完全打开后的展开图为扇形，该扇形圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ．

14．如图，点A，B，C在半径为4的上，．若，则长为 ．

15．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为1，扇形的圆心角等于，则扇形的半径是 ．
16．如图，在扇形OAB中，，，以点A为圆心，AO长为半径圆弧，交AB于点D，则图中阴影部分图形的面积是 ．
17．如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中的圆心为点，．若，则该三角形的周长是 ．
三、解答题
18．如图，在中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，在线段AC上取点E，使∠A=∠ADE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
19．如图，一扇形纸扇完全打开后，和的夹角为，长为，贴纸部分的宽为．

(1)求弧的长度；
(2)求纸扇上贴纸部分的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是、、．
(1)以点为旋转中心，将顺时针转动90°，得到，在坐标系中画出；
(2)求点A在旋转过程中所经过的路线的长．（结果保留π）
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．
（1）求证：ODAC．
（2）若DE＝2，BE＝2，求阴影部分的面积．
22．山西太原剪纸是国家非遗文化之一，某实践小组为一件剪纸艺术作品添加边框，两种设计方案如下．图1设计方案中扇形的半径为，圆心角为，图2设计方案中矩形的长为，宽为．为了美观需对边框用彩条封边，通过计算，比较哪种设计方案使用的彩条较短．

23．如图，正八边形的边长为4，以顶点为圆心，的长为半径画圆，求阴影部分的面积（结果保留）．
24．如图，是的直径，是的切线，交于另一点，且
(1)求证：；
(2)若为的中点，，连接，求的长及阴影部分的面积．
《2.7弧长及扇形的面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B A A B B B D
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据题意得出扇形的半径和圆心角，然后分别根据弧长和面积的计算公式得出答案．
【详解】观察扇形发现：扇形的半径为2，圆心角为150°，
∴扇形的弧长为：；侧面积为：； ∴两人的说法都正确，故选C．
【点睛】本题主要考查的是扇形的面积和弧长计算公式，属于基础题型．根据图形得出圆心角度数和半径是解决这个问题的关键．
2．B
【详解】试题分析：∵每个小正方形的边长都为1，∴OA=4，∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，∴∠AOA′=90°，∴A点运动的路径的长为：=2π．故选B．
考点：弧长的计算；旋转的性质．
3．D
【分析】根据弧长公式计算可得．
【详解】解：，所以
的长
．
因此，管道的展直长度约为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了弧长的计算公式，比较基础．
4．B
【分析】本题考查弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用弧长公式求解即可．
【详解】解：的长度．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：滑轮的直径是，
滑轮的半径是，
设旋转的角度是，
由题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故选：A．
6．A
【分析】如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接，
∵，，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质得，
∴弧的长度为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
7．B
【详解】分析：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，推出，由此可知S阴=S扇形OAC．
详解：∵五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，
∴，
易知△EOA≌△AOB≌△BOC≌△COD，
∴△AOE、△AOB、△BOC、△COD的面积相等，
∴S阴=S扇形OAC=，
故选B．
点睛：本题考查正多边形与圆、扇形的面积的计算，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积．
8．B
【分析】本题考查弧长的应用，解题的关键是掌握弧长公式，据此解答即可．
【详解】解：旋转过程中点A经过的路径长为：．
故选：B．
9．B
【详解】分析：直接利用弧长公式计算得出答案．
详解：的展直长度为：=6π（m）．
故选B．
点睛：此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．
10．D
【详解】如图所示，
S阴影=S△AOB=S正方形=×2×2=1．
故选D．
点睛：本题考查的是阴影部分面积的计算，作出辅助线得到阴影部分的面积等于正方形面积的 是解答此题的关键．
11．A
【分析】设的度数为，根据弧长的计算公式把已知条件代入计算即可．
【详解】解：设的度数大小由60变为，
则，由，
解得，，
故选A．
【点睛】本题考查的是弧长的计算和等边三角形的性质，掌握弧长的计算公式是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查求弧长，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：
的长为；
故选B．
13．
【分析】本题考查了扇形面积公式，根据扇形面积公式计算即可得解，熟练掌握扇形面积公式是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：扇形的面积为，
故答案为：．
14．/
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角及弧长的求解．连接，先求出所对圆心角的度数，再利用弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，
故答案为：．
15．
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，列式解答即可．
本题考查了弧长公式，扇形与圆锥的关系，熟练掌握扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长是解题的关键．
【详解】解：设扇形的半径是r，则，
解得，
∴扇形的半径是4．
故答案为：4．
16．
【分析】连接、，根据题意得到为等边三角形，，分别求出扇形的面积、的面积、扇形的面积，计算即可．
【详解】解：连接、．
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：，
【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用割补法的思想进行求阴影部分面积．
17．
【分析】求出的长，再乘以3即可．
【详解】解：图中所在的圆的半径AB=1cm，相应的圆心角的度数为60°，
∴的长为（cm），
∴该莱洛三角形的周长是×3=π（cm），
故答案为：π．
【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是正确计算的前提，求出半径和相应的圆心角度数是正确解答的关键．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得．
【详解】（1）如图，连接OD，
∵，
∴，
∵，
，
，
又，
，
∴，即，
∵点D在上，即OD为的半径，
∴DE是的切线；
（2）如图，过点O作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
则阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是记住弧长公式，扇形的面积公式，属于中考常考题型．
（1）利用弧长公式求解即可，
（2）求出两个扇形面积的差即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，，
，
，
，
贴纸部分的面积．
20．(1)画图见解析
(2)
【分析】（1）先找到A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；
（2）点A的运动路径即为，利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，点A的运动路径即为，
由题意得，
∵点A的坐标为（2，4），
∴，
∴的长．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求弧长，画旋转图形，求绕原点旋转90度的点的坐标等等，熟知相关知识是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，利用三线合一和直径所对的圆周角是直角进行求证即可；
（2）连接OC，先求出∠EBO=30°，得到∠COA=60°，然后利用扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）如图连接OC，
∵OC=OB，点E为BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=∠BEO=90°，
∴OD∥AC；
（2）连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-2，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴∠ABC=30°，
∴∠COA=60°，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵△BOC与△AOC等底同高，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了，平行线的判定，三线合一定理，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形，扇形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
22．图1设计方案使用的彩条较短，见解析
【分析】本题考查了弧长的计算，长方形的性质，分别求出两个图案的周长，然后比较即可．
【详解】解：图1设计方案使用彩条的长度为；
图2设计方案使用彩条的长度为．
，
∴图1设计方案使用的彩条较短．
23．
【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，先求解，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：由题意得，，，
，
故答案为：．
24．(1)45°
(2)的长为；阴影部分面积为
【分析】（1）连接，证明，可得 再利用切线的性质可得答案；
（2）过点作于点，连接，，证明，求解， 可得的长为；再利用可得阴影部分的面积．
【详解】（1）解：连接，∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
（2）过点作于点，连接，，
∵，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴的长为；
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，切线的性质，圆周角定理的应用，弧长的计算，扇形面积的计算，掌握圆的基本性质与圆中的计算是解本题的关键．
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