2.6正多边形与圆寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.6正多边形与圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（　　）
A．70° B．110° C．130° D．140°
2．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（ ）．
A． B． C．3 D．
3．如图，正三角形PMN的顶点分别是正六边形ABCDEF三边的中点，则三角形PMN与六边形ABCDEF的面积之比（　　）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：8
4．如图所示，为的内接三角形，，则的内接正方形的面积（ ）
A． B． C． D．
5．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则的值为（ ）（）
A．0 B．0.14 C．0.5 D．1
6．如图，在一个边长为的正六边形纸板中截去一个边长为的等边三角形后，余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的，点D是边上一点，沿线段剪开，展开后得到一个正八边形，则点D应满足（ ）
A． B． C． D．
8．如图，边长相等的正六边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是4，那么非阴影部分面积是（　　）
A．8 B． C．4 D．
9．同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
11．如图，正六边形内接于，点在上，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．20
二、填空题
13．如图1，将一个正三角形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正六边形；如图2，将一个正方形绕其中心最少旋转 45°，所得图形与原图形的重叠部分是正八边形；依此规律，将一个正七边形绕其中心最少旋转 ，所得图形与原图的重叠部分是正多边形．在图2中，若正方形的边长为，则所得正八边形的面积为 ．
14．已知⊙O的周长等于cm，则它的内接正六边形ABCDEF的边长为 cm．
15．如图，在拧开一个边长为的正六边形螺帽时，扳手张开的开口，则边长的长度是 ．
16．尺规作图特有的魅力使无数人沉湎其中．传说拿破仑曾通过下列尺规作图将圆等分：
①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；
②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点G；
③连接OG，以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆等分．顺次连接这些等分点构成的多边形面积为 ．
17．如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．
三、解答题
18．如图，已知．
求作：的内接等边．
小丽同学的作法及证明过程如下：
作法：①作直径；
②作半径的垂直平分线，垂足为，交于两点；
③连接，．
所以即为的内接等边三角形．
∵在中，垂直平分
∴，
∵
∴（①）
∵
∴为等边三角形
∴
∴（②）
∴为的内接等边三角形．
（1）在小丽同学的证明过程中，①、②两处的推理依据分别是 ； ．
（2）请你再给出一种作图方法．（尺规作图，保留作图痕迹）
19．已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．
（1）求证： ；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．
20．如图，点A是半径为3的⊙O上的点，
尺规作图：作⊙O的内接正六边形ABCDEF；
求中弧AC的长．
21．如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积．
22．如图，在桌面上有半径为2　cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？
23．如图，已知是的切线，切点为，点在上，交于，交直线于，交于，且．一同学通过测量猜测，为的内接正二十四边形的一边，你认为他的猜测正确，请你证明；若你认为他的猜测不正确，请说明理由．

24．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．
《2.6正多边形与圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C B C B B A A
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查等边三角形的性质和圆的对称性．圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，根据正六边形的周长等于圆的周长进行求解即可．
【详解】解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，
则正六边形的周长为，
由于圆的周长为，当半径为1时，，
解得．
故选：C．
3．D
【分析】连接BE，设正六边形的边长为a，首先证明△PMN是等边三角形，分别求出△PMN，正六边形ABCDEF的面积即可．
【详解】解：连接BE，设正六边形的边长为a．则AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，
∵AP＝PB，FN＝NE，
∴PN＝（AF+BE）＝1.5a，
同理可得PM＝MN＝1.5a，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PMN是等边三角形，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4．C
【分析】先连接BO，并延长交⊙O于点D，再连接AD，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=30°，而BD是直径，那么易知△ADB是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求BD，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．
【详解】解：连接BO，并延长交⊙O于点D，再连接AD，如图，
∵∠ACB=30°，
∴∠BDA=30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ADB中，BD=2AB=4，
∴⊙O的半径是2，
∵⊙O的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，
∴正方形的边长=，
∴S正方形=．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
5．B
【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．
【详解】∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，
∴则S S1＝ 3=0.14，
故选B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，设正六边形的中心为O，连接，证明是等边三角形，进而推出，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设正六边形的中心为O，连接，
∴，
∴是等边三角形，
∵正六边形的边长为，
∴是边长为的等边三角形，
∴，
∴余下部分的面积与所截去的等边三角形的面积之比为，
故选：C．
7．B
【分析】根据折叠的性质易得∠BAC=45°，然后由正多边形的性质可进行排除选项．
【详解】解：由题意得：∠BAC=45°，
∴沿线段BD剪开，展开图即为八边形，
若使展开后得到的是一个正八边形，则需满足以点A为圆心，AD、AB为半径即可，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质，熟练掌握正多边形和圆、正方形的性质及折叠的性质是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质是正确解答的关键．根据正方形的面积求出正方形的边长，即正六边形的边长，由正六边形的性质以及面积的计算方法求出正六边形的面积即可．
【详解】解：∵阴影正方形面积是4，
∴正方形的边长为2，
即正六边形的边长为2，
∴正六边形的面积为，
∴非阴影部分面积是，
故选：B．
9．A
【分析】
本题主要考查了正多边形和圆的性质，构造直角三角形是解题的关键．经过圆心作圆的内接正变形的一边的垂线，垂足是，连接，再得到答案．
【详解】解：设圆的半径为，
则正三角形的边心距为，
正方形的边心距为，
正六边形的边心距为，
故正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为．
故选A．
10．A
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度数即可解决问题．
【详解】解：在正五边形ABCDE中，
∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
11．C
【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键．由正六边形的性质得出，由圆周角定理求出．
【详解】解：连接，，
多边形是正六边形，
，
，
故选：C．
12．A
【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，
∵，
∴，
∴这个正多边形的边数为．
故选：A．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
13．
【分析】根据题意，可以发现正n边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为x；然后根据x+x+x=4求得x；最后用正方形的面积减去这八个等腰直角三角形的面积即可．
【详解】解：由题意得：正n边形绕其中心最少旋转，所得图形与原图的重叠部分是正2n边形；则将一个正七边形绕其中心最少旋转所得图形与原图的重叠部分是正多边形；
由题意得：旋转后的正八变形相当于将正方形剪掉了的4个全等的等腰直角三角形，
设等腰直角三角形的边长为x，则正八边形的边长为x
∴x+x+x=4，解得x=4-2
∴减去的每个等腰直角三角形的面积为：
∴正八边形的面积为：正方形的面积-4×等腰直角三角形的面积
=4×4-4（）
=．
故答案为，．
【点睛】本题考查了旋转变换、图形规律以及勾股定理等知识，根据题意找到旋转规律是解答本题的关键．
14．3
【详解】试题分析： 由题意分析得出：周长
L=
考点：本题考查了圆周的基本性质
点评：此类试题属于难度很小的试题，考生在解答此类试题时只需对内街正六边形的基本性质熟练把握即可
15．
【分析】如图，连接、，过作于．解直角三角形求出即可．
【详解】解：如图，连接、，过作于．
，，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键．
16．2r2
【分析】根据作法得到六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，则有∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，利用特殊角的三角函数值得到CD=r，AC＝r，再利用作法得到GO⊥AD，利用勾股定理求得OG=r，然后判断以OG长为半径，从点A 开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成了正方形，再利用正方形的面积公式进行计算即可.
【详解】连接AD、AC、AG，如图，
∵将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点，
∴∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，
∴CD＝AD sin30°=r，AC＝AD cos30°=r，
∵GA＝GD，
∴GO⊥AD，
∴OG＝，
以OG长为半径，从点A开始，在圆周上依次截取，刚好将圆4等分，顺次连接这些等分点构成的多边形为正方形，
∴这个多边形面积＝r r＝2r2，
故答案为2r2．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类问题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.本题也考查了正多边形和圆.
17．12
【分析】本题考查圆周角定理，正多边形与圆，根据圆周角定理求出中心角的度数，再根据正多边形的中心角度数的计算公式 进行求解即可．
【详解】解：∵是的内接正n边形的一边，点C在上，，
∴，
∴；
故答案为：12．
18．（1）垂直平分线的性质；同弧所对圆周角相等；（2）见解析
【分析】（1）根据前面的证明条件以及结论可以求得所用的推理依据；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以此点为圆心，继续画圆弧，以此类推，将圆周六等分，连接不相邻的两个交点即可．
【详解】解：（1），，∴为的垂直平分线，因此，理论依据为：垂直平分线的性质；
和都是弦所对的圆周角，因此，理论依据为：同弧所对的圆周角相等；
（2）以圆周上一点为圆心，以圆的半径长为半径画圆弧，交圆于一点，再以点为圆心，保持半径不变，继续画圆弧，交圆于点，以此类推，依次得到点，则即为所求，如下图：
【点睛】此题考查了圆的有关性质，涉及了同弧所对的圆周角相等，熟练掌握并应用圆的有关性质是解题的关键．
19．（1）见解析；（2）见解析
【详解】试题分析：欲证AB2=AG BF，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．
试题解析：证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，
∵EG∥CB，
∴∠EAG=∠FBC．
∴△EAG∽△FBC．
∴，即BC AE=AG BF．
又∵BC=AE=AB，
∴ ．①
（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，
∴FA=FD，
∴EF⊥BC且EF平分BC，
∴EF过圆心O．
又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，
∴EG与⊙O相切．
∴ ．
由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，
设AG=x，则 ，解得
∴AG=，代入①中可得：BF=.
20．（1）见解析；（2）2π
【详解】试题分析：（1）由正六边形ABCDEF的中心角为60°，可得△OAB是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出⊙O的内接正六边形ABCDEF；
（2）由（1）可求得∠AOC=120°，继而求得（1）中的长．
试题解析：（1）首先连接OA，然后以A为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于B，F，再分别以B，F为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点E，C，在以C为圆心，OA长为半径画弧，交⊙O于点D，则正六边形ABCDEF即为所求；
（2）∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形
∴∠AOC=×2=120°，
∵⊙O的半径为3，
∴的长为：=2π．
21．边心距为，边长为2，周长为，面积为
【分析】此题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，过点O作于点H，证明是等边三角形．依次进行求解即可．
【详解】解：如图，连接，过点O作于点H，
∵六边形是正六边形，
∴，．
∴是等边三角形．
∴，即边长为2，周长为．
在中，，
∴，
∴边心距．
∴．
22．大圆的半径为 (cm).
【详解】根据题意一个大圆把三个两两相外切的小圆全部覆盖,就是大圆与三个小圆内切,连接三个小圆的圆心得到一个等边三角形,根据等边三角形的性质与勾股定理可求出半径的长度.
试题解析:设三个圆的圆心为O1,O2,O3,连接O1O2,O2O3,O3O1,可得边长为4 cm的正△O1O2O3,则正△O1O2O3的半径为 cm,所以大圆的半径为 +2= (cm).
23．猜测正确．理由见解析．
【分析】由切于点，可知 由已知，，可求出的度数，进而可求出的度数，根据三角形内角和为可求出的度数，根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，可求出 的度数，进而可求出的度数，可对猜测进行判断．
【详解】猜测正确．理由如下：
∵切于点，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵是所对圆心角，是所对的圆周角，
∴，
∴，
∵，
∴是内接正二十四边形的一边．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质以及切线的性质和圆周角定理等知识，根据已知得出的度数是解题关键．也考查了三角形内角和定理和等边对等角．
24．周长，面积
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长；
连接，过点O作于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
正六边形的面积．
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