2.5直线与圆的位置关系寒假练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.5直线与圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下图中直线l是⊙O的切线的图形是( )
A．A B．B C．C D．D
2．如图，点为的外心，连接，作正方形．下列说法不一定正确的是（ ）
A．点在边的垂直平分线上
B．点为的外心
C．平分
D．直线与的外接圆相切
3．给出下列说法：
①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C．当与相切时， D．当时，
5．如图，是的内切圆，分别与相切于D，E两点，已知，，则的周长为（ ）
A．14 B． C．16 D．18
6．如图，圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，若图中3个阴影三角形的面积之和为4，内切圆半径为1，则的周长为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．若O是△ABC的内心，且∠BOC＝100°，则∠A＝（ ）
A．20° B．30° C．50° D．60°
8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE＝（ ）
A．70° B．110° C．120° D．130°
9．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（　　）
A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤5
10．如图，在平面直角坐标系中，以为半径的圆的圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，则x轴与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
11．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（　　）
A．4 B．5 C．6 D．无法确定
12．如图，是的外心，，，则（　　）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
13．如图，四边形中，，，平分，于点，于点，连接，，，则 .
14．如图，四边形为的内接四边形，是的内心，点与点关于直线对称，则的度数是 ．
15．如图，点I是的内心．若，，则的度数是 °．

16．《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步．问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为6步，股（长直角边）长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于 步．
17．如图，切于两点，是的直径，若，则的度数是 ．
三、解答题
18．如图，是⊙O的直径，点D是延长线上的一点，与相切于点C．连接，．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求线段的长．
19．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，取AD的中点E，延长CE交BA的延长线交于点P．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)AB＝2AP，AB＝8，求AD的长．
20．如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D．
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．
21．已知：是边长为的等边三角形，点O在边上，过点B且分别与边，相交于点D，E，，垂足为F．
(1)求证：直线是的切线；
(2)当直线与相切时，求：的半径．
22．如图，为的直径，直线与相切于点，垂足为．求证：．

23．两个圆的圆心相同，半径分别为和，大圆的弦与小圆相切，求的长度．
24．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，BC为⊙O的直径．
(1)求证：AC∥OP；
(2)若∠APB＝60°，BC＝10cm，求AC的长．
《2.5直线与圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C C D A B A A
题号 11 12
答案 A B
1．C
【详解】根据切线的定义，当直线与圆只有一个交点时，则这条直线称圆的切线.故选C.
2．C
【分析】此题考查了三角形外接圆与外心，正方形的性质、线段垂直平分线的性质、切线的判定等知识，根据相关知识逐项进行分析即可．
【详解】解：∵点为的外心，
∴，
∴点在边的垂直平分线上，故选项A正确，不符合题意，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴点为的外心，
故选项B正确，不符合题意，
∵，
∴点在的外接圆上，即是的外接圆的半径，
∵，
∴直线与的外接圆相切，
故选项D正确，不符合题意，
不一定平分，故选项C错误，符合题意，
故选：C．
3．B
【分析】根据三角形和圆的关系去判断三角形内接圆和圆内接三角形即可得到答案.
【详解】三角形的外接圆是三条垂直平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，①是对的；
圆的内接三角形可以无数多个，所以②是错的；
三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，③是对的；
圆的外切三角形可以有无数多个，④是错误的．
所以①③正确，正确的有2个.
故选B.
【点睛】此题重点考查学生对三角形内接圆和外接圆，圆内接三角形和外接三角形的理解，掌握其规律是解题的关键.
4．C
【分析】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以．
【详解】解：A选项：点运动到时，点到达，，
，
又，
，
，
故A选项错误；
B选项：点运动到时，点到达，，
，
，
，
，
故B选项错误；
C选项：如下图所示，
，，
，
设，则，
与相切，
，
在中，，
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
故C选项正确；
D选项：如下图所示，当时，，
在中，，
，
，，
,
故D选项错误．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
根据切线长定理得到，根据即可得到的周长．
【详解】解：如图：∵的内切圆分别与相切于点，且，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：C．
6．D
【分析】根据题意可推出的面积为8，进而即可求解出的周长．
【详解】解：∵圆O是的内切圆，与各边的切点分别为D、E、F，图中3个阴影三角形的面积之和为4，
∴的面积为8，
∵内切圆半径为1，
∴的周长，
则的周长为：16．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，根据三角形内切圆半径乘以三角形周长除以2得出三角形面积是解决本题的关键．
7．A
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠OCB+∠0BC=80°，根据三角形的内心求出∠ABC+∠ACB的度数，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【详解】∵∠BOC=100°，
∴∠OCB+∠0BC=180°﹣∠BOC=80°，
∵O是△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=160°，
∴∠A=180°﹣(∠ABC+∠ACB)=20°．
故选A．
【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，角平分线的性质，三角形的内心等知识点的理解和掌握，能求出∠ABC+∠ACB的度数是解此题的关键．
8．B
【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠B，再由切线的性质得∠BDO=∠BEO=90°，从而得出∠DOE．
【详解】解：∵∠BAC=50°，∠ACB=60°，
∴∠B=180°-50°-60°=70°，
∵E，D是切点，
∴∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠DOE=180°-∠B=180°-70°=110°．
故选：B．
【点睛】此题重点考查学生对三角形的内切圆和切线长定理的理解，把握三角形内角和是解题的关键.
9．A
【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当A′B′与小圆相切时有一个公共点，此时可知A′B′最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【详解】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点，
在Rt△A′DO中，OD=3，OA′=5，
∴ ，
∴A′B′=8；
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，
此时AB=10，
所以AB的取值范围是8≤AB≤10．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆中的有关性质．利用垂径定理可用同心圆的两个半径和与小圆相切的大圆的弦的一半构造直角三角形，运用勾股定理解题这是常用的一种方法，也是解决本题的关键，注意临界值．
10．A
【分析】根据题意，将圆心点向下平移1.5个单位，即可判断圆与x轴的位置关系．
【详解】解：如图，圆心P的坐标为，将沿y轴负方向平移个单位长度，
平移后的点P的坐标为，
，
半径为，
，
圆P与x轴相交，
故选
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，结合题意判断圆与x轴的位置关系是解题的关键．
11．A
【分析】利用切线的性质得出∠ADO=∠ODC，进而得出∠ADO=∠AOD，即可得出OA=6，即：OB=4，同理：BC=OB即可得出结论.
【详解】解：连接OD．OC
∵AD，CD是⊙O的切线，
∴∠ADO=∠ODC，
∵，
∴∠ODC=∠AOD，
∴∠ADO=∠AOD
∴AD=OA
∵AD=6，
∴OA=6，
∵AB=10，
∴OB=4，
同理可得
OB=BC=4，
故选：A.
【点睛】此题主要考查了切线的性质和等腰三角形的性质，解本题的关键是求出OA=6.
12．B
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
13．
【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，先根据，证明、、、四点共圆，证明，设，，表示的长，根据列方程可得结论．
【详解】过作，交的延长线于，连接，
，，
，
、、、四点共圆，
，
平分，
，
，
，，
，，
，
，
，
设，，则，
中，，
，
，
，
，
，
中，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、四点共圆的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】连接OB、OD、BI、DI，利用轴对称的性质证得四边形OBID是菱形，得到∠BOD=∠BID，∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠A，由圆内接四边形性质得到，求出∠BID=180°-，由此得到2∠A=180°-，求出∠A=．
【详解】解：连接OB、OD、BI、DI，
∵点与点关于直线对称，
∴OB=BI，OD=DI，
∵OB=OD，
∴OB=BI=OD=DI，
∴四边形OBID是菱形，
∴∠BOD=∠BID，∠OBD=∠BDO=∠IBD=∠IDB，
∵∠BOD=2∠A，∠BID=180°-（∠IBD+∠IDB），
∵∠IBD+∠IDB=，,
∴ ∠IBD+∠IDB=，
∴∠BID=180°-，
∴2∠A=180°-，
解得∠A=，
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆内接四边形对角互补的性质，三角形内心定义，菱形的判定及性质，三角形内角和定理，轴对称的性质，熟记各知识点是解题的关键．
15．
【分析】根据三角形内心的性质求出和的度数，再由三角形的内角和求出的度数，即可得出结论．
【详解】∵点I是的内心，，，
∴，
∴，
∴，
故答案是
【点睛】本题主要考查了三角形的内心的性质和三角形的内角和，正确掌握三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键．
16．4
【分析】本题考查求直角三角形的内切圆的半径，根据切线长定理结合勾股定理进行求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意可得、、与相切，，，
∴，，
∴四边形为矩形，，
又∵，
∴矩形为正方形，
设半径为，则，
∴，，
∴，
解得，
∴圆的直径为步，
故答案为：4．
17．/42度
【分析】本题主要考查了切线的性质定理、圆的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握切线的性质是解题关键．首先根据切线的性质定理可得，再结合易得，进而求得的值，然后由求解即可．
【详解】解：∵切于两点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
18．(1)证明过程见详解
(2)
【分析】本题主要考查的是切线的性质以及圆的基本性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据是的直径，得到，根据，证明；
（2）根据，的半径为2，求出，进而求出．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，
，即，
是的直径，
，
，
，
；
（2）解：在中，，，
，
，
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接AC，OC，欲证PC是⊙O的切线，只需证明OCP＝90°即可．
（2）利用直角三角形斜边上的中线证明AOC是等边三角形，进而可得BD＝2AD，运用勾股定理即可得到解答．
【详解】（1）证明：连接AC，OC，
∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，
∴BAD＝ACB＝90°，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝CE，
∴ACE＝CAE，
∵OC＝OA，
∴OAC＝OCA，
∴OCA+ACE＝OAC+CAE＝90°，
∴OCP＝90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝2AP，AB＝2AO，
∴AP＝AO，
∵OCP＝90°，
∴AC＝OA＝OC，
∴AOC是等边三角形，
∴AOC＝60°，
∴B＝30°，
∵BAD＝90°，
∴BD＝2AD，
在RtADB中，
∵，
∴，
∴AD＝．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．
20．(1)CD与⊙O相切;理由见解析；(2)2
【分析】（1）连接OC，证明OC⊥DC，利用经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线判定切线即可；
（2）利用等弧所对的圆心角相等和题目中的已知角得到∠D=30°，利用解直角三角形求得CD的长即可．
【详解】（1）CD与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OC，
∵CA=CB，
∴，
∴OC⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵CA=CB，∠ACB=120°，
∴∠ABC=30°，
∴∠DOC=60°
∴∠D=30°，
∴OC=OD
∵OA=OC=2，
∴DO=4，
∴CD=.
【点睛】考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．
21．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质、切线的性质与判定、切线长定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键；
（1）连接，由题意易得，然后可得，进而可知，则问题可求证；
（2）由切线长定理可得，则可知，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵是边长为的等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴直线是的切线；
（2）解：连接，如图所示，
∵直线、都与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
即的半径为．
22．证明见解析．
【分析】连接，根据切线的性质可证明，即证明，得出结论，又根据，即得出，即，即证明出．
【详解】证明：证明：如图，连接．

∵直线是的切线，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
23．．
【分析】首先根据题意画出图形，然后连接OC，AO，由大圆的弦AB与小圆相切，即可得OC⊥AB，继而求得AC的长，然后由垂径定理求得AB的长度．
【详解】解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∵OA＝2cm，OC＝1cm，
∴AC＝＝（cm），
∴AB＝2AC＝2cm．
【点睛】此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（1）详见解析；（2）5cm.
【详解】试题分析：（1）根据切线性质得出 OP平分 推出 即 由三角形外角的性质得出 进而得出 根据平行线的判定推出即可；
（2）先求出为等边三角形，进而求出 根据30°角的直角三角形性质求出即可．
试题解析：(1)连接OA，
∵PA、PB分别切O于A. B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∵OP平分∠APB，
∴∠POA=∠POB，即∠BOA=2∠POB，
而∠BOA=2∠C，
∴∠POB=∠C，
∴AC∥OP.
(2)连接AB，∵PA、PB分别切O于A. B，
∴PA=PB.
又
∴△PAB为等边三角形，
又∵BC为的直径，
∵BC=10cm，
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