2.4圆周角寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.4圆周角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法正确的是（　　）
A．劣弧一定比优弧短
B．面积相等的圆是等圆
C．长度相等的弧是等弧
D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等
2．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，弧AC的度数为60°，弧BD的度数为100°，则∠AEC等于（　　）
A．60° B．100° C．80° D．130°
3．圆内接四边形中，的度数之比为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是的直径，点D，C在上，连接，，，如果，那么的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB＝65°，则∠BOC＝( )
A．25° B．50° C．130° D．155°
6．如图，是的外接圆，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
10．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，∠A=35°，过C点的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数为（　 　）

A．20° B．30° C．35° D．40°
11．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA、OB，若∠ABO＝35°，则∠C的度数为（　　）
A．70° B．65° C．55° D．45°
12．如图，四边形是圆内接四边形，，是延长线上一点，若平分，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝40°，∠OBC＝50°，则∠OAC＝ °．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为 ．
15．如图，内接于为的直径，是的中点．若，则的度数为 ．
16．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC＝90°，AD＝3，CD＝2，则⊙O的直径的长是 ．
17．如图，点，，，在上，，，，则 ．
三、解答题
18．如图，圆内接四边形的对角线把它的4个内角分成8个角，这些角中哪些相等？为什么？
19．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．
（2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．
20．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点（不与点B，C重合），PE是的外接圆的直径．
(1)求证：是等腰直角三角形．
(2)若，，求PE的长．
21．如图，CD与EF是⊙O的直径，连接CE、CF，延长CE到A，连接AD并延长，交CF的延长线于点B，过点F作⊙O的切线交AB于点G，点D是AB的中点．
(1)求证：；
(2)若，，求FG的长．
22．如图，分别是的直径和弦，于点D，连接，，求：的长．
23．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆心，求∠DOE的度数．
24．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值是多少？
《2.4圆周角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C C B B B B A
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．
【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；
B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；
C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；
D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．
2．C
【详解】试题分析：连接AD，根据圆周角定理可得∠ADC、∠DAB的度数，再根据三角形外角的性质即可求得结果.
连接AD
∵弧AC的度数为60°，弧BD的度数为100°
∴∠ADC=30°，∠DAB=50°
∴∠AEC=∠ADC+∠DAB=80°
故选C.
考点：圆周角定理，三角形外角的性质
点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.
3．B
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，设的度数分别为，根据圆内接四边形的性质列出方程是解题的关键．
【详解】解：解：设的度数分别为，
由圆内接四边形的性质可知，，
解得，
∴，
∴，
故选：B．
4．C
【分析】连接，根据“直径所对的圆周角是直角”得出，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出，最后根据“直角三角形两个锐角互余”得出答案．
【详解】如图，连接．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直角三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．
5．C
【详解】解：∵CD⊥AB．∠DAB=65°，
∴∠ADC=90°﹣∠DAB=25°，
∴∠AOC=2∠ADC=50°，
∴∠BOC=180°﹣∠AOC=130°．
故选C．
考点：圆周角定理；
6．B
【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数．
【详解】解：中，，，
∴，
∴．
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了圆周角的定义，顶点在圆周上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角，由此即可得出答案，熟练掌握圆周角的定义是解此题的关键．
【详解】解：由图可得：和符合圆周角的定义，顶点不在圆周上，的一边和圆不想交，
故图中的圆周角有和，共个，
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了等边对等角，圆周角定理，由等边对等角可得，再由圆周角定理可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补是解题的关键．
【详解】解：∵四点共圆的四边形对角互补，
∴在平行四边形，矩形，菱形和梯形中，只有矩形的对角一定互补，
∴四个顶点一定在同一个圆上的是矩形，
故选：B．
10．A
【分析】由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=35°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
【详解】连接OC，

∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=35°，
∴∠COD=2∠A=70°，
∴∠D=90° 70°=20°.
故选A.
【点睛】本题考查的是圆，熟练掌握切线的性质是解题的关键.
11．C
【分析】根据三角形的内角和定理和等腰三角形等边对等角求得∠O的度数，再进一步根据圆周角定理求解．
【详解】解：∵OA=OB，∠ABO=35°，
∴∠BAO=∠ABO=35°，
∴∠O=180°-35°×2=110°，
∴∠C=∠O=55°．
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，圆周角定理.能理解同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解决此题的关键.
12．B
【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知，然后根据角平分线的定义来求的大小．
【详解】解：四边形是圆内接四边形，，是延长线上一点，
．
平分，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
13．30
【分析】结合图形，根据三角形内角和定理可得∠OAC+∠AOB=∠ACB+∠OBC， 结合图形可得∠ACB与∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角即可.
【详解】∵∠AOB=40°∴∠ACB=20°
∵∠OAC+∠AOB=∠ACB+∠OBC，∠AOB=40° ，∠ACB=20°，∠OBC=50°
∴∠OAC=30°.
故答案为30°.
【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理及其推论，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理及其推论.
14．50°．
【分析】由题意先根据OA=OC，∠ACO=40°可得出∠CAO=40°，故可得出∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：连接OA，如图，
∵∠ACO＝40°，OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝40°，
∴∠AOC＝100°，
∴∠B＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
15．/10度
【分析】本题考查了圆周角的计算，熟练运用等弧所对圆周角相等、利用垂径定理得出点F是弧的中点是解题关键．连接，设交于点D，先求出，再求出，，再利用三角形外角定理即可求解．
【详解】
连接，设交于点D
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴点F是弧的中点，
∴
∴，
是的外角
故答案为．
16．
【详解】连接AC，根据∠ABC=90°可得AC为直径，则∠ADC=90°，根据Rt△ACD的勾股定理可得：AC=.
17．70°
【分析】根据=，得到，根据同弧所对的圆周角相等即可得到，根据三角形的内角和即可求出.
【详解】∵=，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为
【点睛】考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
18．∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8；同弧所对的圆周角相等
【分析】利用同弧所对的圆周角相等，找出所有相等的角即可
【详解】解：∵同弧所对的圆周角相等，
∴∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟记圆周角定理．
19．（1）①见解析；②见解析；（2）
【分析】（1）①分别为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线即可得到答案，②按照语句依次作图即可；
（2）由作图可得： 再证明 再证明 从而可得结论．
【详解】解：（1）作出线段的垂直平分线，连接；
以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示：
（2）结论：．理由如下：
由作图可得：是的垂直平分线，
四边形是圆的内接四边形，
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练运用基础知识解题是关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）只要证明，即可解决问题；
（2）证明，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：是等腰直角三角形，
，，
，
．
是直径，
，
，
，
是等腰直角三角形．
（2），
．
，
，
．
是直径，
．
在中，，
．
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识解决问题是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接DE，根据CD和EF都是⊙O的直径得到∠DEA=∠ECF=90°，根据直角三角形的性质得到CD=AD=BD，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE=∠CDE，进而得到∠ADE=∠OED，即可得到；
（2）根据直角三角形斜边上的中线求得,勾股定理求得,由（1）可得,根据切线的性质可得，根据，代入数值，即可得到FC．
【详解】（1）证明：连接DE，
∵CD和EF都是⊙O的直径，
∴∠DEA=∠ECF=90°，
∵D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，
∴∠ADE=∠CDE，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠CDE，
∴∠ADE=∠OED，
∴；
（2）连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴FC=DE，DE∥BC，
∴，
∴AE=CE，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
∵AB=2CD=5，AC=3，
∴，
∴FC=2．
是的切线，
【点睛】此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．
22．
【分析】本题考查的是垂径定理，直径对的圆周角是直角及勾股定理，能根据垂径定理求出CD的长是解答此题的关键．先根据于点D可得出，再根据圆周角定理可得出，再由勾股定理即可求出及的长．
【详解】解：∵过圆心O，，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在中，．
故答案为．
23．40 °
【详解】试题分析：根据等腰三角形的性质，求得的度数.根据圆周角定理，求出的度数，在中，求出的度数，即可求出的度数.
试题解析：
在中，
24．
【分析】根据题意，可得根据直径所对的圆周角是直角可得，点在以为直径的上，进而可知当点三点共线时，最小，勾股定理求得，进而即可求得的最小值
【详解】解：连接，如图2，
为直径
点在以为直径的上
的半径为
当点三点共线时，最小，如图3
在
，
即的最小值为
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是90°，点到圆上的距离，找到点的运动轨迹是解题的关键．
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