2.3确定圆的条件寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.3确定圆的条件
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直角三角形的两条直角边长分别是，，则这个直角三角形的外接圆的半径是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、都在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
4．平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A．1个或3个 B．3个或4个
C．1个或3个或4个 D．1个或2个或3个或4个
5．用尺规作图作三角形的外接圆时，用到了哪些基本作图（ ）
A．作一条线段等于已知线段 B．作一个角等于已知角
C．作一个角的平分线 D．作一条线段的垂直平分线
6．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，判断下列叙述不正确的是（ ）
A．O是的外心 B．O是的外心 C．O是的外心 D．O是的外心
7．已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（ ）
A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2）
8．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
9．下列说法：①优弧比劣弧长；②三点可以确定一个圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤三角形的外心到三角形三条边的距离相等．其中不正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．如图，已知点A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），则△ABC外接圆的圆心坐标是（　　）
A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）
12．校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心
二、填空题
13．如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其做法是：
（1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C；
（2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D；
（3）连接BD、BC．
下列说法正确的是： （把所有正确的序号都写出来）
①∠CBD＝30°； ②S△BDC＝AB2；③点C是的外心；④sin2A+cos2D＝1
14．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．
15．在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt△ABC的外接圆的面积为
16．直角三角形的两直角边是，，则此三角形的外接圆的半径是 ．
17．如图，点是的外心，且，则 ．
三、解答题
18．如图，已知圆和弦，用直尺和圆规求作圆心O（保留作图痕迹，不写作法）．
19．如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法)
20．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝10.求△ABC的外接圆的半径r.
21．如图，在△ABC中，AB＝CB＝15，∠ABC＝90°，点D为直线BC上一点，点E为AB延长线上一点，且BE＝BD，连接AD，EC．
(1)求证：△ABD≌△CBE；
(2)当∠CAD＝25°时，求∠BEC的度数；
(3)点P是△CAD的外心，当点D在线段BC上运动，且点P恰好在△ABC内部或边上时，直接写出点P运动的路径的长．
22．如图，在中，，，用直尺和圆规画出的外接圆，并求的外接圆的直径．
23．如图，，，点D在AC边上，．
求证：≌；
若，求的度数；
若，当的外心在直线DE上时，，求AE的长．
24．如图，是直角三角形，．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的外接圆；
②以线段为一边，在的右侧作等边三角形；
③连接，交于点，连接；
(2)在（1）中所作的图中，若，，则线段的长为______．
《2.3确定圆的条件》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A C D D C A D B
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】先利用勾股定理计算出直角三角形的斜边，然后根据直角三角形的斜边为它的外接圆的直径得到这个三角形的外接圆的半径．
【详解】解：直角三角形的斜边，
因为直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，
所以这个三角形的外接圆的半径为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练运用勾股定理计算直角三角形的未知边．注意：直角三角形的外接圆的半径是其斜边的一半．
2．B
【分析】直角三角形的外心与斜边中点重合，因此外心到直角顶点的距离正好是斜边的一半；由勾股定理易求得斜边的长，进而可求出外心到直角顶点C的距离．
【详解】解：∵中，，，，
，
斜边上的中线长，
因而外心到直角顶点C的距离等于斜边的中线长.
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆半径的求法，熟记直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，以斜边的一半为半径的圆是解题关键．
3．A
【分析】本题主要考查了三角形的外心的定义，掌握“三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点是该三角形的外心”是解题的关键．作线段、的垂直平分线，即可求解．
【详解】解：作线段、的垂直平分线，如图所示：
的外心是点，
故选：A．
4．C
【详解】试题分析：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑．
（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；
（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；
（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．
故选C．
考点：确定圆的条件
点评：分类讨论问题是初中数学的重点也是难点，在中考压轴题中极为常见，一般难度较大，需特别注意.
5．D
【分析】根据三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，即作三边的垂直平分线性即可，据此即可求解．
【详解】解：∵由三角形的外心的定义可知，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，
∴三角形的外心在三边的垂直平分线上，
所以用到了基本作图：作一条线段的垂直平分线．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形外心的定义，理解三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等是解题的关键．
6．D
【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
【详解】解：连接，
∵O为锐角三角形的外心，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，即O是的外心，故A不符合题意；
，即O是的外心，故B不符合题意；
，即O是的外心，故C不符合题意；
，即O不是的外心，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
7．C
【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案．
【详解】解：设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；
D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键．
8．A
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标．
【详解】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件、弦的定义，三角形外形的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
根据等弧的定义，优弧、劣弧的定义，确定圆的条件，弦的定义，三角形外形的性质一一判断即可．
【详解】解：①优弧不一定比劣弧长，在同圆或等圆中，优弧比劣弧长，故①错误，符合题意；
②不在用一直线上的三点可以确定一个圆，故②错误，符合题意；
③长度相等的弧是等弧，错误，长度相等的弧不一定相等，等弧的长度相等，故③错误，符合题意；
④经过圆内的一个定点可以作无数条弦，正确，故④不符合题意；
⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故⑤错误，符合题意；
故不正确的有①②③⑤，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查了确定圆的条件，根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得，解题的关键是熟练掌握圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，只要有一段弧，即可确定圆心和半径，
∴小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是，
故选：B．
11．C
【分析】利用网格特点作AB和BC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC外接圆的圆心．
【详解】解：如图，△ABC外接圆的圆心为P点，其坐标为（5，2）．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
12．A
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答．
【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等，
∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心，
故选：A．
13．①②③
【分析】①根据尺规作图的过程即可得结论；
②根据①和勾股定理即可得结论；
③根据直角三角形的外接圆的性质即可得结论；
④根据锐角三角函数即可得结论．
【详解】解：①根据题意的作图过程，可知
是等边三角形，∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝30°．
故①正确．
②∵∠ABD＝90°，∠CBD＝30°．
∴2AB＝AD，
根据勾股定理，得
∵BC是的中线，
∴S△ABC＝S△BCD＝
故②正确．
③∵点C是直角三角形ABD斜边AD的中点，
∴点C是的外心．
故③正确．
④在Rt中，
∴sin2A+cos2D＝≠1．
故④不正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了尺规作图、三角形的外接圆、直角三角形、勾股定理、三角形的面积、锐角三角函数，解决本题的关键是综合运用以上知识．
14．8或10．
【详解】由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长==20，因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为10或8．
15．
【分析】由在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，可求得其斜边长，又由直角三角形的斜边是其外接圆的直径，可求得其外接圆的直径，继而求得答案．
【详解】∵在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，
∴其斜边长为：
∴这个三角形的外接圆直径是5，
∴Rt△ABC的外接圆的面积为：
故答案为.
【点睛】考查了勾股定理以及三角形外接圆的性质，难度不大，掌握直角三角形的斜边是其外接圆的直径是解题的关键.
16．
【分析】利用勾股定理可以求得该直角三角形的斜边长为，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可．
【详解】解：直角三角形的两条直角边分别为和，
根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为，
此三角形的外接圆的半径是；
故答案是：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键．
17．
【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：∵点为的外心，
∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查画圆心，任取一条弦，分别作和的垂直平分线，交点即为圆心．
【详解】解：圆心O如图．
19．见详解
【分析】本题考查作图 应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O
【详解】
20．
【分析】连接AO交BC于D,连接OB、OC.已知AB=AC,由同圆或等圆中,等弦对等弧可得圆弧AB=圆弧AC,由此可得∠BOA=∠AOC；
在△BOC中,OB=OC,∠BOD=∠COD,根据三线合一可得OA⊥BC,BD=DC,根据直角三角形勾股定理,即可求得AD；
设CO=R,则DO=AO AD=R ,在Rt△CDO中,由勾股定理就可以得出关于R的方程,求出R的值即可解答本题.
【详解】
连接AO交BC于D,连接OB、OC
∵ AB=AC
∴弧 AB=弧AC (同圆或等圆中,等弦对等弧)
∴ ∠BOA=∠AOC (同圆或等圆中,等弧所对的圆心角相等)
∵ OB=OC ∠BOA=∠AOC
∴ OA⊥BC (三线合一)
BD=DC=×BC=×10=5 (三线合一)
∴ AD= == (直角三角形勾股定理求值)
设CO=R 则DO=AO AD=R
∵ △CDO是直角三角形
∴ += (直角三角形勾股定理)
∵ DO=R CO=R DC=5
∴+=
解得R=
所以△ABC的外接圆的半径R为
【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的基本性质.
21．(1)见解析；
(2)∠E的度数为70°或20°；
(3)P的运动路径为
【分析】（1）根据边角边即可证明△ABD≌△CBE；
（2）分两种情况点D在线段BC上时，点D在BC延长线上时，根据∠CAD＝25°，即可求∠BEC的度数；
（3）根据点P是△CAD的外心，可得点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据点P恰好在△ABC的内部，可得BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC，根据勾股定理即可求出AC的长，据此即可求得．
【详解】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠CBE＝90°，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS）；
（2）解：若点D在线段BC上时，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵∠CAD＝25°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠ADB＝∠BEC＝70°，
若点D在BC延长线上时，如图2，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BEC＝∠ADB＝∠ACB﹣∠CAD＝45°﹣25°＝20°，
综上所述：∠BEC的度数为70°或20°；
（3）解：∵点P是△CAD的外心，
∴点P在线段AC的垂直平分线上随点D的运动而运动，
如图2，过点B作BF⊥AC于点F，
∵点P恰好在△ABC的内部或边上，且△ABC是等腰三角形，
∴BF即为所求的点P的运动路径，且BF＝AC，
∵，
∴．
即点P的运动路径为．
【点睛】本题考查圆的综合题，三角形的外心与外角的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
22．见解析，外接圆的直径为6
【分析】分别作线段、的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画圆，则就是的外接圆,连接AO，根据等腰三角形的性质得BD=CD，∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°，即AD垂直平分BC，再根据垂径定理的推论得到△ABC的外接圆的圆心O在AD的延长线上，连接OB，接着证明△OAB为等边三角形，则OB=AB=3，由此可确定△ABC的外接圆的直径．
【详解】解：分别作线段、的垂直平分线交于点，以点为圆心，长为半径画圆，则就是的外接圆，如下图所示：
如图，连接，知垂直平分，交于点，
∵，
∴，，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的外接圆的直径为6．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
23．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】由三角形的外角的性质可得，由“AAS”可证≌；
由全等三角形的性质可求，，可得，即可求解；
由直角三角形的外心是斜边的中点，可得点D是AC的中点，可证是等边三角形，可得，即可求解．
【详解】证明：，且，
，
，，
≌
≌，
，，
，
，
，
；
，
的外心是斜边AC的中点，
的外心在直线DE上，
点D是AC的中点，
，
又，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24．(1)作图见解析；
(2)．
【分析】（1）利用直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，先做AB的垂直平分线，找出圆心O，以O为圆心，OA为半径画圆即可，再分别以A，B为圆心，AB为半径画弧交于点D，连接AD，CD，即可做出等边三角形；
（2）证明∠BAD=90°，利用勾股定理求出，再利用等面积法即可求出线段AE的长．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：∵AB=4，BC=2，△ACD是等边三角形，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=30°+60°=90°，
∴，
∴，
∴，
故线段AE的长为 ．
【点睛】本题考查三角形的外接圆，垂直平分线的作法，等边三角形的性质，勾股定理，（1）的关键是掌握直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，（2）的关键是证明∠BAD=90°．
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