2.2圆的对称性寒假练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在△ABC中，，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接，连接AA′交CD于点E，若，，则CE的长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
2．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm.
A．6 B． C． D．
3．如图，为的直径，弦于E，，，则的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
4．下列命题正确的有（ ）
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，⊙的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长为（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为3，函数的图像被截得的弦的长为，则a的值是（　　）
A．4 B． C． D．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．8
8．已知中，弦垂直弦，，，则关于直径的说法正确的是（ ）
A．一定等于 B．可能大于
C．不可能大于 D．不可能等于
9．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长．”则为(　　)
A．10寸 B．3寸 C．20寸 D．26寸
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
12．如图，已知和是的两条等弦，，，垂足分别为，，，的延长线交于点，连接，下列四个说法中：，，，，正确的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP=1，CD是⊙O的一条弦，CD=6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最小值是 ．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O半径为 ．
15．如图，⊙O的半径为6，的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有 个．
16．如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为 ．
17．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，则PM的范围是 ．
三、解答题
18．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．
如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为．
作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________．
经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________．
在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得．
通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”）
19．如图，为的直径，是的弦，E是的中点，连接并延长交于点C，若，求的度数．
20．一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度为米，拱高为米，
求：
(1)桥拱半径，
(2)若大雨过后，桥下河面宽度为米，求水面涨高了多少？
21．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中，点O是的圆心，其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
22．如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，它们之间距离为5，AB=6，求弦CD的长．
+
23．如图，有一拱桥为圆弧形，跨度，拱高，当洪水泛滥时，跨度只有时要采取紧急措施．当测量人员测得水面到拱顶距离只有时，是否需要采取紧急措施？
24．好山好水好江山，石拱桥在江山处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面宽度16m时，拱顶高出水平 面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m。
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由.
《2.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A C B C C C D
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD= A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE= A′B，进而可求解CE的长．
【详解】解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD= A′D，
∵，点D是AB的中点，
∴CD=AD=BD= A′D=AB，
∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，
∴AE= A′E，又AD=BD，
∴DE是△AB A′的中位线，
∴DE= A′B，
∵，，
∴CD=7cm，DE=2cm，
∴CE=CD-DE=7-2=5cm，
故选B．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
2．C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=，
∴AB=2AC=.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
3．C
【分析】本题考查了三角形的面积；垂径定理的应用是解此题的关键；
根据垂径定理求出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】为的直径，，，
，
，
的面积为，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理对①进行判断；根据垂径定理的推论对②③④⑤进行判断．
【详解】解：一条直线如果具备经过圆心、垂直于弦、平分弦（不是直径）、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五条中的任意两条，必然具备其余三条．
①该直线满足平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧两个条件，所以①正确；
②只满足其中的一个条件，所以不正确；
③不满足条件，所以不正确；
④⑤要考虑到特殊情况，条件中的弦有可能是直径，所以不正确．
故选：A．
5．C
【分析】首先过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，由在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，可求得OH的长，由在Rt△O4H中，OA=3，即可求得AH的长，继而求得答案.
【详解】
解：如图：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，
∵在Rt△OHP中，∠P=30°，OP=4，
∴
∵在Rt△OAH中，OA=3，
∴
故选．
【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.
6．B
【分析】作轴于C，交于D，作于E，连接，求出D点坐标为，可得为等腰直角三角形，从而也为等腰直角三角形．根据垂径定理得，在中，利用勾股定理求出，再求出的长即可求解．
【详解】解：作轴于C，交于D，作于E，连接，如图，
∵的圆心坐标是，
∴，
把代入得，
∴D点坐标为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．
7．C
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，

∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠APC=30°，
∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键
8．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用点与圆的位置关系求半径，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出．
分为弦是圆的直径和弦不是圆的直径，两种情况进行分析，若弦是圆的直径，则圆的直径是，若弦不是圆的直径，弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的性质得出，根据垂径定理得出，，设圆的半径为，根据勾股定理可求得，即可求解．
【详解】解：如果弦是圆的直径，此时的直径是，故A选项、D选项说法错误；
如果弦不是圆的直径，如图：
弦与弦交于点，连接，，，过点作交于点，过点作交于点，
则四边形是矩形，
∴，
∵，，，，
∴，，
设圆的半径为，即，
在中，，
在中，，
在中，，
即，
当点在圆上时，，
即，
解得：，
即圆的直径可能等于；
当点在圆内时，，
即，
解得：，
即圆的直径可能小于；
综上，圆的直径不可能大于．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
连接，交于，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】连接，交于，
由题意得：（米），，
（米），，
在中，
（米），
米，
即点到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
10．D
【分析】连接，利用垂径定理求出的长，设圆的半径为，用含的代数式表示出的长，然后利用勾股定理建立关于的方程，解方程求出的值，然后求出圆的半径．
【详解】解：连接，
∵为的直径，，
∴，
设圆的半径为，则
∴
∴
解之：．
∴圆的直径为．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理列方程，使用代数方法解决几何问题．
11．B
【分析】本题考查了圆的相关概念，根据圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心即可得解．
【详解】解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心，从而可得到半径的长，可以配到与原来大小一样的圆形玻璃
故选：B．
12．D
【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，连接，根据圆心角、弧、弦的关系得，再证明，即可求解，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．
【详解】解：连接、，

∵，
∴，故正确；
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，
∴，，故正确；
∵，
∴，故正确，
综上正确，共4个，
故选：D．
13．4
【分析】连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，根据平行四边形的性质结合垂径定理求出OK的长，在三角形PKO中，根据三角形的三边关系得到线段PK的取值范围，再由，得到结果．
【详解】解：如图，连接OC，设CD与PE交于点K，连接OK，
∵四边形PCED是平行四边形，
∴，，
∴根据垂径定理
在中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴线段PE的最小值是4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查线段最值问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质和圆的垂径定理，再利用三角形三边的数量关系求出线段的取值范围从而得到最小值．
14．10．
【分析】连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-2，根据垂径定理得到CE=DE=CD=6，在Rt△OCE中，利用勾股定理列出关于r的等式，然后解方程求出r即可．
【详解】
解：连结OC，设⊙O半径为r，则OC=r，OE=r-BE=r-2，
∵CD⊥AB，CD＝12
∴CE=DE=CD=6，
在Rt△OCE中，∵OE2+CE2=OC2，
∴（r-2）2+62=r2，解得r=10，
即⊙O半径为10．
故答案为10．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理得综合应用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
15．4
【分析】过点P最长的弦是12，根据已知条件，△OAB的面积为18，可以求出AB＜12，根据三角形面积可得OC=3，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且OP=6是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．
【详解】解：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，
设OC＝x，AC＝y，
∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，
∴AB≤12，
∵△OAB的面积为18，
∴，
则y＝，
∴，
解得x＝3或﹣3（舍），
∴OC＝3＞4，
∴4＜OP≤6，
∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，
则P点有4个．
故答案为：4
【点睛】此题考查了圆的有关概念，三角形的面积，解决本题的关键是确定OP的最小值和最大值．
16．
【详解】连接OC，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
∴EM过⊙O的圆心点O，
设半径为x，
∵CD=4，EM=8，
∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
即（8﹣x）2+22=x2，
解得：x=，
∴所在圆的半径为：．
故答案为．
17．
【分析】延长CP交⊙O于N，连接DN，易证PM＝DN，所以当DN为直径时，PM的值最大，当DN＝AC时，PM最小，即可求得PM的取值.
【详解】解：如图：延长CP交⊙O于N，连接DN．
∵AB⊥CN，
∴CP＝PN，
∵CM＝DM，
∴PM＝DN，
∴当DN为直径时，PM的值最大，最大值为，
当DN＝NC时，PM最小，最小值为0，
∴PM的范围是≤PM≤．
故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的综合题，垂径定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题.
18．，，，，兵车
【分析】根据垂径定理，进行作答即可．
【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：，
∵，
∴，，
∴，
解得：，
∴此车轮为：兵车之轮；
故答案为：，，，，兵车．
【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键．
19．55°
【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，掌握三角形内角和定理和等边对等角的性质是解决本题的关键．
根据平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，由E是的中点得到，则利用互余可计算出，加上，于是可根据三角形内角和定理即可计算出．
【详解】解：∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20． ．．
【分析】由勾股定理可得半径；可以先设涨到DE位置，连接OE，可由勾股定理求出OM，即可求出MC，最终求出答案.
【详解】∵拱桥的跨度，拱高，
∴，
利用勾股定理可得：
，
解得．
设河水上涨到位置，
这时，，有（垂足为），
∴，
连接，则有，
，
．
【点睛】本题考查了勾股定理与实际问题的结合，理解题意并熟练运用勾股定理是解答本题的关键.
21．545m．
【详解】试题分析：连接OC，设弯路的半径为R，则OF=（R﹣90）m，再根据垂径定理求出CF的长，在Rt△OCF中根据勾股定理即可求出R的值．
试题解析：解：如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=（R﹣90）m．
∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）．
在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R﹣90）2
解得R=545（m），故这段弯路的半径为545m．
点睛：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
22．
【分析】如图所示作出辅助线，由垂径定理可得AM=3，由勾股定理可求出OM的值，进而求出ON的值，再由勾股定理求CN的值，最后得出CD的值即可．
【详解】解：如图所示，因为AB∥CD，所以过点O作MN⊥AB交AB于点M，交CD于点N，连接OA，OC，
由垂径定理可得AM=，
∴在Rt△AOM中，，
∴ON=MN-OM=1，
∴在Rt△CON中，，
∴，
故答案为：

【点睛】本题考查勾股定理及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
23．不需要采取紧急措施
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接、，由题意可得，，，，，，由垂径定理可得，，再利用勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图：连接、，
，
由题意可得：，，，，，，
由垂径定理可得：，，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴不需要采取紧急措施．
24．（1）此圆弧形拱桥的半径为10m；（2）此货船能顺利不能通过这座拱桥.理由见解析.
【分析】（1）连接OA，利用垂径定理和勾股定理构造方程，求出拱桥的半径长；
（2）如图，EF长为12米时，通过求距离水面高度DG的长与货船顶部的3米做比较来判定货船能否通过．先根据半弦FG，半径和弦心距OG构造直角三角形求出OG的长来判断．
【详解】（1）解：连接OA，
由题意可知CD=4，AB=16，OC⊥AB于点D，
∴,
设OA=r，则OD=r-4
∴（r-4）2+82=r2 ，
解之：r=10
答：此圆弧形拱桥的半径为10m.
（2）解：如图
∵EF=12
∴FG=12÷2=6
∴OG=
∵OD=10-4=6
∴DG=OG-OD=8-6=2＜3
∴此货船能顺利不能通过这座拱桥.
【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
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