1.4用一元二次方程解决问题寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4用一元二次方程解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（ ）
A．38人 B．39人 C．40人 D．41人
2．一个菱形的边长是方程的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
3．要组织一次篮球赛，参赛的形式是单循环赛．根据时间和场地条件，整个赛程计划安排36场比赛，设比赛组织者应邀请支球队参赛，则由题意可列方程（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当的面积为时，则点P运动的时间是（ ）
A． B．或 C． D．
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=11cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，C两点同时出发，当它们相距10cm时所需的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．3s或1.4s
6．一个正方形的边长增加了2，面积相应增加了32，则这个正方形的边长为（ ）
A．6 B．5 C．8 D．7
7．某中学连续三年开展植树活动．已知2020年植树500棵，2022年植树720棵，假设该校这两年植树棵树的年平均增长率为x，根据题意可以列方程为( )
A． B．
C． D．
8．中国——东盟博览会、商务与投资峰会期间，在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了450份合同．设共有x家公司参加商品交易会，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（ ）
A． B． C． D．
10．下表是某公司2022年1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为x，根据表中的信息可列方程为（ ）
月份 1 2 3 4 5
收入/万元 10 12 14
A． B．
C． D．
11．某商品经过连续两次降价，价格由100元降为64元．已知两次降价的百分率都是x，则x满足的方程是（　　）
A． B． C． D．
12．电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，第三天的票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则可以列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元，设这两年该企业缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程 ．
14．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两个月售价的月均下降率是x，则所列方程为 ．
15．某商店月份的利润是元，要使月份的利润达到元．如果设月平均增长率为，则可列方程为 ，解得这两个月的月平均增长率是 ．
16．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ．
17．如图，在宽为、长为的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路（图中阴影部分），余下的部分作为耕地．若要使耕地的面积为，设路宽为，则可列方程： ．
三、解答题
18．用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米．
（1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值；
（2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由．
19．在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次．
（1）①若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为5，则共握手______次．
②若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手______次．
（2）若参加聚会的人共握手28次，则参加聚会的人数为______．
【拓展】（3）如图，为锐角，在的内部分别引射线．在这种操作模式下，当图中共有55个角时（含），则n的值为______．
20．如图，线段的长为1．
（1）线段上的点C满足关系式，求线段的长度；
（2）线段上的点D满足关系式，求线段的长度；
（3）线段上的点E满足关系式，求线段的长度．上面各小题的结果反映了什么规律？
21．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
22．2025年6月26日 28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．
23．参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，求共有多少个队参加这场足球联赛
24．某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元 （用代数式来表示）（注：年获利率=×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
《1.4用一元二次方程解决问题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A D D A D B B
题号 11 12
答案 B B
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这次参加聚会的同学有人，利用握手的总次数这次参加聚会的同学人数（这次参加聚会的同学人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设这次参加聚会的同学有人，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
这次参加聚会的同学有40人．
故选：C．
2．B
【分析】利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积．
【详解】解：，
所以，，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积．
故选B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三边的关系．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
3．B
【分析】根据单循环赛制中每两个队伍进行一场比赛列出方程即可．
【详解】解：由题意可得，，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的单循环问题．
4．A
【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使的面积为，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．
【详解】解：设动点P，Q运动t秒，能使的面积为，
则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积公式列方程得
(8-t)×2t=15，
解得t1=3，t2=5（当t2=5，BQ=10，不合题意，舍去）
∴动点P，Q运动3秒，能使的面积为．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．
5．D
【分析】设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】设运动时间为ts时PQ=10cm，则CP=（11﹣x）cm，CQ=2xcm，
根据题意得：4x2+（11﹣x）2=100，
解得：x1=1.4，x2=3．
故选D．
【点睛】考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．D
【分析】设这个正方形的边长为，根据根据题意列出方程即可求解．
【详解】设这个正方形的边长为，
依题意得，
，
解得，，
∴这个正方形的边长为，
故选：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，审题是解题的关键．
7．A
【分析】2022年植树720棵=2020年植树500棵×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：根据题意得：500（1+x）2=720，
故答案为：500（1+x）2=720．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据题意找到等量关系，列出方程即可．
8．D
【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同，设有x家公司参加，则每个公司要签(x－1) 份合同，然后根据题意即可列出方程．
【详解】解：设有x家公司参加，
由题意得：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确甲、乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点(没有三点共线)之间连线，所有线段的条数．
9．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．根据长方形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】解：设长方形的长为，则宽为，
根据题意得，，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设增长率为x，列方程为，
故选B．
11．B
【分析】若两次降价的百分率均是x，则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格元，由此等量关系列出方程即可．
【详解】解：∵两次降价的百分率都是x，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出合适的等量关系列出方程．
12．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出第二天票房约亿元，第三天票房约亿元，结合第三天的票房收入达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：．
故选：B．
13．40（1＋x）2＝48.4
【详解】试题分析：2010年为40万元，在年增长率为x的情况下，2011年为40（1＋x）万元，2012年为40（1＋x）2万元，所以，根据2012年底缴税48.4万元得：40（1＋x）2＝48.4．
14．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该款燃油汽车今年5月份的售价该款燃油汽车今年3月份的售价该款汽车这两月售价的月平均降价率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
15． 20%
【分析】设月平均增长率为x，根据题意可得，6月份利润×（1+月平均增长率）2=8月份利润，据此列方程求解．
【详解】设月平均增长率为x，
由题意得,
解得： (不合题意,舍去).
即月平均增长率为
故答案为2500×(1+x)2=3600，
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出未知数，找出等量关系，列方程求解.
16．
【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题．
【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则
，
整理得，
解得（舍去）或．
则王老师的速度与望望的速度之比为，
故答案为：
17．
【分析】去掉道路后耕地的长为，宽为，再根据面积公式列出方程即可．本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
【详解】解：∵在宽为、长为的矩形场地上，耕地的面积为，设路宽为，
∴．
故答案为：．
18．(1) 8或12；(2)见解析.
【分析】首先设矩形的长为xcm，则宽为（20-x）cm，再利用矩形面积公式列出方程x（20-x）=96或x（20-x）=101，得出根据根的判别式的符号，进而得出答案．
【详解】解：（1）根据题意得：＝96，
解得：x＝8或12，
答：x＝8或12；
（2）矩形的面积不能为101平方厘米，
理由是：假设矩形的面积可以为101平方厘米，
则x（20﹣x）＝101，
x2﹣20x+101＝0，
△＝（﹣20）2﹣4×1×101＜0，
此方程无解，
所以矩形的面积不能为101平方厘米．
【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，解题关键是熟练运用求根公式.
19．（1）①3；10；②；（2）8；（3）9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）①、②根据题意每个人要与他自己以外的人握手一次，且两人只握手一次，所以握手次数为：聚会人数×（聚会人数），故可进行计算求解；
（2）参加聚会的人数为n人，根据（1）中结论列方程求解即可；
（3）由内部有n条射线，则相当于聚会人数为，则根据公式即可写出角的个数，然后列方程求解即可．
【详解】解：（1）①若参加聚会的人数为3，则共握手次；
若参加聚会的人数为5，则共握手次；
故答案为：3，10；
②若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次，
故答案为：；
（3）参加聚会的人数为n人，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
答：参加聚会的人数为8人，
故答案为：8；
（4）由的内部分别引射线，则相当于于聚会人数为，
故一共有个角，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
故答案为：9．
20．（1）；（2）；（2）．规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点．
【分析】（1）设线段AC的长度为，则，根据列方程进行解答即可得；
（2）设线段的长度为，则线段，根据列方程进行解答即可得；
（3）设线段的长度为，则线段，根据列方程进行解答即可得．
【详解】解：(1)设线段AC的长度为，则，
∵，
∴，
，
，
解得， （舍），
∴；
(2)设线段的长度为，则线段，
∵，
∴，
，
解得，（舍），
∴ ；
(3) 设线段的长度为，则线段，
∵,
∴，
解得，(舍)，
∴；
规律：若为线段上一点，且满足，则．也叫做黄金比，点为黄金分割点，一条线段上有两个黄金分割点．
【点睛】本题考查了实际问题与一元二次方程，解题的关键是根据题中线段之间的关系列方程．
21．(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子
由题意得：解得：
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子
由题意得：
整理得：
解得：，，
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键．
22．5
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键．
设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可．
【详解】解：设这个最小数为，则最大数为，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
23．共有10个球队参加这场足球联赛
【分析】设共有个球队参加这场足球联赛,则每队要参加场比赛，由于共要比赛45场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正数解即可得出结论．
【详解】设共有个球队参加这场足球联赛, 根据题意，可列方程得，
．
解得，（舍去）．
答：共有10个球队参加这场足球联赛．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解本题的关键．
24．（1）50（1+P）；（2）P=10%
【分析】（1）第一年年终的总资金=第一年初投入×（1+年获利率），依此列式计算即可求解；
（2）设第一年的年获利率为p，则第二年年终的总资金可表示为：50（1+p）（1+p+10%），根据题意可得方程，解方程后舍去不合题意的解，从而得出答案．
【详解】（1）第一年年终总资金=50（1+P）
（2）50（1+P）（1+P+10%）=66，
整理得：P2+2.1P-0.22=0，
解得P=10%
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)