2.1圆寒假练习（含解析） 苏科版数学九年级上册

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2.1圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（ ）
A．1 B．
C．3 D．2
2．已知，如图，，点在第二象限运动，求的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
3．已知⊙O的半径为3cm，若OP=2cm，那么点P与⊙O的位置关系是 （ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．都有可能
4．下列作图语句描述正确的是（ ）
A．作射线AB，使AB=a B．作∠AOB=∠α
C．以点O为圆心作弧 D．延长直线AB到C，使AC=BC
5．如图，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A． B．4 C．6 D．
6．平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ）
A． B． C． D．
7．下面四个判断中正确的是（　　）.
A．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦
B．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦
C．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦
D．过圆内一点（非圆心）的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦
8．已知圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，则圆的半径为（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．下列说法正确的是（　　）
A．长度相等的弧叫做等弧
B．半圆不是弧
C．过圆心的线段是直径
D．直径是弦
11．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（ ）
A．116 B．120 C．122 D．128
12．如图，⊙O的直径CD垂直弦于点E，且，则（　　）
A．4 B．2 C． D．
二、填空题
13．参加篝火晚会时，人们会自然围成一个圆，这是因为圆上任意一点到圆心的距离都 ，这个距离就是这个圆的 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，已知，，经过点，是上的一动点，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，则的取值范围是 ．
15．如图，在⊙O中，的度数等于250°，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，那么的度数等于 度．
16．圆是轴对称图形，它有 条对称轴，圆又是 对称图形，圆心是它的 ；
17．如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条．
三、解答题
18．小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究．
(1)观察猜想
①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______；
②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______；
(2)探究论证
如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由．
(3)拓展应用
如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积．
19．如图，的顶点B、C在上，与分别交于D、E两点，连结，且．

(1)证明：是等腰三角形；
(2)若，求的度数．
20．下面是小芸设计的“作三角形一边上的中线”的尺规作图过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：
（1）分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点；
（2）作射线，与交于点．线段就是所求作的边上的中线．
根据小芸设计的尺规作图过程，完成下面的证明：
证明：连接，，
∵， ，
∴四边形是平行四边形， （填推理的依据）
∴，（ ）（填推理的依据）
即线段是边上的中线．
21．如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．
22．如图，在中，，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作，交⊙O于点F，求证：
（1）四边形DBCF是平行四边形
（2）
23．如图，一根长的绳子，一端拴在柱子上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊的活动区域．
24．如图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置．小圆盘在 、、位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图．
《2.1圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B D D C C A D
题号 11 12
答案 D C
1．A
【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，
为的中点，的中点为，
，，
，
，
根据三角形边长关系可得，
的最大值为，
故选：A．
2．D
【分析】根据题意知点P的运动轨迹是以点M为圆心，半径的圆弧，当点P在BC上时，PC有最小值，据此可求解.
【详解】如图，
∵A（-1，0），B（-3，0），
∴AB=2，
∵∠APB=30°，
∴点P的轨迹是以M为圆心，半径r=2的圆弧；
易得圆心坐标为， ，
.
故选
【点睛】本题考查了线段最短问题，确定点P的位置是解本题的难点．
3．A
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵2＜3，
即点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P与⊙O内．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
4．B
【分析】根据射线、直线的延伸性以及确定弧的条件即可作出判断．
【详解】解：A、射线是不可度量的，故选项错误；
B、描述一个行为且角的表示正确，正确；
C、需要说明半径的长，故选项错误．
D、直线是向两方无线延伸的，故选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查尺规作图的定义，正确根据题意判断能否画出固定图形进而判断是解题关键．
5．D
【分析】作的半径于，连接、，如图，利用折叠的性质得垂直平分，则，于是可判断为等边三角形，所以，利用含30度的直角三角形三边的关系求出，然后利用垂径定理得到，从而得到的长．本题考查了相交两圆的性质：相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．也考查了折叠的性质．
【详解】解：作的半径于，连接、，如图，
圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，
垂直平分，
，
而，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
故选：D．
6．D
【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可．
【详解】解：∵的半径为．点P在内，
∴，
∴的长可以是．
故选：D．
7．C
【详解】解：若是圆心则C中最长的弦与最短的弦是同一条，所以只有C正确．故选C．
8．C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差等于圆的直径是解题关键．将最大距离与最小距离作差，进而求解即可．
【详解】解：圆外一点到圆的最大距离为，最小距离为，
圆的半径为，
故选：C．
9．A
【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径，
又因为圆的半径为6，
所以OP的长小于6，
因为5＜6，所以选项A符合题意，
故选A
10．D
【分析】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
【详解】解：A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误，不符合题意；
B、半圆是弧，故错误，不符合题意；
C、过圆心的弦是直径，故错误，不符合题意；
D、直径是弦，正确，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是牢记等弧的定义、直径的定义、弦的定义，难度不大．
11．D
【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，
与圆O相切于A点，
，
，
，
，
垂直平分BC，
，
，
，
的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角．
12．C
【分析】连接，根据题意先求出半径，在中，利用勾股定理求解．
【详解】解：连接，如图所示．
，，
，，
在中，．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，熟练运用相关定理是解题的关键．
13． 相等 半径
【分析】利用圆的性质得出圆上各点到圆心的距离等于半径，进而得出答案．
【详解】解：根据圆的定义可知：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是这个圆的半径；故答案为：相等；半径．
【点睛】本题主要考查了圆的认识，根据圆上各点到圆心的距离等于半径是解题的关键．
14．
【分析】将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，由旋转可得，，，再证明，得到，从而得到点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，当点C运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，当点C运动至与的交点处时，取得最小值为，再根据勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】解：将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，，，
∵，经过点，
∴，
∵，
∴，
由旋转可得：，，，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
，
∴点C在以点E为圆心，1为半径的圆上运动，
∴当点C运动至的延长线与的交点处时，
取得最大值为，
当点C运动至与的交点处时，
取得最小值为，
在中，，
的取值范围是．
【点睛】本题考查了平面直角坐标，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆的知识，掌握相关知识是解题的关键．
15．55
【分析】连接OA，OB，由已知可得∠AOB=360°﹣250°=110°，再根据垂径定理即可得解.
【详解】连接OA，OB，
由已知可得∠AOB=360°﹣250°=110°，
∵OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC=∠AOB=55°.
故答案为55.
【点睛】本题主要考查圆心角定理与垂径定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
16． 无数 中心 对称中心
【分析】根据轴对称图形的定义以及中心对称的概念解答即可.
【详解】圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形，对称中心是圆心.
【点睛】圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且有无数条对称轴.
17． 1 3 4 4
【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条，
故答案为1，3，4，4．
18．(1)①；②；
(2)还成立，理由见解析
(3)8
【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案；
②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解；
（2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解；
（3）由面积的和差关系可求解．
【详解】（1）解：①，理由如下：
由网格可知：，
∴之间的关系是，
故答案为：；
②，理由如下：
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：还成立，理由如下：
∵，，，，
∴；
∴；
（3）解：∵图中阴影部分的面积，，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆的基本元素，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：
（1）证明，可得，即可求证；
（2）根据，可得的度数，再由，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
∵
∴，
∴，
，
即是等腰三角形．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．BP；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分
【分析】连接，，根据圆的半径处处相等，可得，BP，从而得到四边形是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分，即可求证．
【详解】证明：连接，，
∵，BP，
∴四边形是平行四边形，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴，（平行四边形的对角线互相平分）
即线段是边上的中线．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，圆的基本知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
21．0＜r＜5
【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵5＜6＜8，
∴AD＜AB＜AC，
∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外，
∴0＜r＜5．
【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．
22．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，利用平行线证明，利用圆的性质证明，再证明即可得到结论；
（2）如图，连接，利用平行线的性质及圆的基本性质，再利用圆内接四边形的性质证明，从而可得结论．
【详解】证明：（1），
，
，
，
又,
四边形是平行四边形．
（2）如图，连接
，
四边形是的内接四边形
【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．见解析
【分析】根据题意画出两个扇形即可得到羊的活动区域．
【详解】解：如图，
以点O为圆心，5m长的绳子为半径画弧交草地左边界于点A，交OD的延长线于点B，再以D为圆心，DB长为半径画弧交草地的右边界于点C，
则扇形AOB和扇形BDC部分即为羊的活动区域．
【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图、扇形面积，根据题意画扇形是解决本题的关键．
24．见解析
【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
根据圆的周长公式计算即可．
【详解】解：到转了（圈），
到转了（圈），
作图如下：
．
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