1.3一元二次方程的根与系数的关系寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

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1.3一元二次方程的根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于一元二次方程的根的说法正确的是（ ）
A．两根都是正数
B．两根都是负数
C．两根一正一负，正根的绝对值较大
D．两根一正一负，负根的绝对值较大
2．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则( )
A．b>0 B．b=0 C．b<0 D．c=0
3．若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知实数，满足 ，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．方程x2﹣3x+7=0的两根为x1，x2，则下列表示正确的是（　　）
A．x1+x2=3，x1x2=7 B．x1+x2=﹣3，x1x2=7
C．x1+x2=﹣3，x1x2=﹣7 D．以上全不对
6．二次项系数为1的一元二次方程的两个根分别为1＋和1－，那么这个方程是()
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋2x－1＝0 C．x2－2x＋1＝0 D．x2－2x－1＝0
7．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（ ）
A．3 B．1 C． D．
8．设一元二次方程的两根分别是，，且满足，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．关于的一元二次方程的两根分别为，，则b与c的值分别（ ）
A．， B．， C．， D．，
10．若方程3x2＋7x﹣9＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1x2等于（ ）
A． B． C．﹣3 D．3
11．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，则m2+3m+n=（　　）
A．﹣5 B．9 C．5 D．7
12．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．―1 D．3
二、填空题
13．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．若之间关系满足，则的值为 ．
14．如果，是方程的两个根，那么＝ ．
15．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且＝10，则a＝
16．已知一元二次方程的两根为，，则的值为 ．
17．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ．
三、解答题
18．已知一元二次方程的两个实数根为，．
求证：
(1)________；________；
(2)；
(3)
19．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
20．已知关于x的方程x2﹣2x+m＝1．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有一个实数根是3，求此方程的另一个根．
21．已知，关于x的一元二次方程．
(1)k取何值时，此方程有两个不相等的实数根？
(2)如果此方程的一个根为，求k的值和另一个根．
22．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．
23．设，是方程的两个根，不解方程，求下列式子的值．
(1)；
(2)．
24．完成下面解答．已知a，b是方程的两根，求的值．
解∶∵a，b是方程的两根，∴________，________．
又∵______，∴_____．
因此， ______．
《1.3一元二次方程的根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D A D B C D C
题号 11 12
答案 C B
1．C
【详解】由题图可知，
．
设方程的两根为．
由根与系数的关系，得，
两根一正一负，正根的绝对值较大．
2．B
【详解】由韦达定理得
ax2+bx+c=0(a,
,
由题意得,
所以，b=0.所以选B.
3．D
【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得
【详解】的一个根为2，设另一根为
，解得
又
故选D
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键．
4．D
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据题意得到：，所以、是关于的方程的两个根．根据根与系数的关系求得，然后求其倒数即可．
【详解】解：根据题意知，．
在的两边同时除以得到：，
、是关于的方程的两个根，
．
故选：D
5．A
【分析】根据根与系数的关系直接求解即可.
【详解】根据题意得x1+x2=3，x1x2=7．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=．
6．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理进行作答.
【详解】由题意及韦达定理，得，x1·x2＝.已知a＝1，得到b＝－2，c＝－1.所以，答案选D.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理的运用，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理是本题解题关键.
7．B
【分析】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值．
【详解】解：设、是的两根，
∴根据根与系数的关系，可得：，
∵方程的两根互为倒数，
∴可得，
∴，
解得：，
∵方程有两个实数根，
∴，
当时，，
∴符合题意，
当时，，
∴不符合题意．
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求解．
【详解】解：∵设一元二次方程的两根分别是，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
9．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，，
∴，
∴，．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
10．C
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：根据题意得，x1x2＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1＋x2＝ ，x1x2＝．
11．C
【分析】根据根与系数的关系可知m＋n＝－2，又知m是方程的根，所以可得m2＋2m－7＝0，最后可将m2＋3m＋n变成m2＋2m＋m＋n，最终可得答案．
【详解】∵设m、n是一元二次方程x2＋2x 7＝0的两个根，
∴m＋n＝ 2，
∵m是原方程的根，
∴m2＋2m 7＝0,即m2＋2m＝7，
∴m2＋3m＋n＝m2＋2m＋m＋n＝7 2＝5，
故答案为5.
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练应用韦达定理.
12．B
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-，x1 x2=-，再变形得到，然后利用整体思想计算即可．
【详解】根据题意得x1+x2=-，x1 x2=-，
所以原式==1，
故选B.
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是先把此代数式变形为的形式，根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入数值计算即可．
13．
【分析】把x12-x22=0分解因式，确定两个根之间的关系后，根据根的判别式计算即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1和x2，
∴b2-4ac=(2m-1)2 4m2≥0，
解得：m≤ ，
∵x12-x22=0，
∴（x1+x2）（x1-x2）=0，
∴x1-x2=0 或x1+x2=0，
当x1+x2=0时，-（2m-1）=0，解得：m=（舍去），
当x1-x2=0时，b2-4ac=(2m-1)2 4m2=0，解得：m=，
综上所述，m的值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，根与系数的关系定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数关系定理．
14．6；
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x1 x2的值．
【详解】∵x1，x2是方程x2-5x+6=0的两个根，
∴x1 x2=6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程ax2+bx+c=0根与系数的关系：x1+x2=-，xlx2=解答即可．
15．
【详解】分析：由两根关系，得x1+x2=5，x1 x2=a，解方程得到x1﹣x2=2，即可得到结论．
详解：由两根关系，得x1+x2=5，x1 x2=a，由x12﹣x22=10得：（x1+x2）（x1﹣x2）=10，若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1 x2=25﹣4a=4，∴a=．
故答案为．
点睛：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．
16．-7
【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，再整体代入到中，即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
，，
=
=
=
=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是得到，．
17．5
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：、是一元二次方程的两个根，且，
，
原方程为，
解得：，，
，
故答案为：．
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系可以直接作答；
（2）根据即可作答
（3）根据即可作答．
【详解】（1）根据一元二次方程的两个实数根为，，
，，，
可得：；，
故答案为：，；
（2）∵；，
∴，
即所求的值为：；
（3）∵；，
∴，
即所求的值为：；
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．熟记，是解答本题的关键．
19．(1) k≤;(2)-2.
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），
即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
20．（1）m＜2；（2）-1．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出3+a＝2，求出方程的解即可．
【详解】解：（1）由x2﹣2x+m＝1得x2﹣2x+m﹣1＝0，
∵关于x的方程x2﹣2x+m＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，
解得：m＜2，
即m的取值范围是m＜2；
（2）设方程的另一个根为a，
∵关于x的方程x2﹣2x+m＝1有一个实数根是3，
∴由根与系数的关系得：3+a＝2，
解得：a＝﹣1，
即方程的另一个根为﹣1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根的判别式和根与系数的关系，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键．
21．(1)且时，方程有两个不相等的实数根
(2)，另一个根为
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式计算解答；
（2）把代入原方程，解得k的值．再根据一元二次方程根与系数的关系求得另一个根．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
解得
所以，当且时，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入原方程得：，解得：．
设另一个根为，则
即
所以方程的另一个根为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的知识点是解题的关键．
22．(1)②④
(2)①，②，
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系．
（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可；
②利用，即可求得、．
【详解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
④解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：②④；
（2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根，
∴，，，
∵，
∴，
解得；
②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
∴，，
解得，．
23．(1)
(2)
【分析】（1）运用和直接代入求解即可；
（2）先通分，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
原式；
（2）解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
由（1）知，
所以原式．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握一元二次方程的根与系数的关系的知识点是解题的关键．
24．，，3，，，
【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，．再求出．代入求值即可，此题考查了一元二次方程的根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键．
【详解】解∶∵a，b是方程的两根，
∴，．
又∵，
∴．
因此，．
故答案为：，，3，，，
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