1.2一元二次方程的解法寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

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1.2一元二次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
2．无论x取任何实数，代数式都有意义，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若x＝-2是关于x的一元二次方程x2＋ax-a2＝0的一个根，则a的值为（ ）
A．1或-4 B．-1或-4
C．-1或4 D．1或4
4．一元二次方程的根为（ ）
A． B． C．， D．，
5．已知x＝1是一元二次方程（m﹣2）x2+4x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．﹣2或1 D．1
6．已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
7．已知等腰的边是方程的根，则的周长为（　　）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
8．已知两个关于x的一元二次方程，其中．下列结论错误的是（ ）
A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根
B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根
C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根
D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是
9．下列一元二次方程最适合用分解因式法解的是( )
A．（x-1）（x-2）=3 B．x2 +4x=23
C．x2+2x-1=0 D．（x-3）2=x2-9
10．方程的根是( )
A． B．
C．， D．，
11．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
12．方程的解是( )
A．2 B．－2 C． D．0或2
二、填空题
13．用配方法解方程x2﹣4x﹣5=0，则x2﹣4x+ =5+ ，所以x1= ，x2= ．
14．一般地，对于方程，（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根： ；（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根 ；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有，所以方程无实数根．
15．关于x的一元二次方程m﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
16．一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1－2x2＝ ．
17．解方程时，要先把方程化成 ；再选择适当方法求解，得方程的两根为 ， .
三、解答题
18．解下列方程
（1）； （2）．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3＝0有两个不相等的实数根
（1）求k的取值范围；
（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
20．解一元二次方程
21．用配方法解下列方程：
(1)．
(2)．
22．（1）解方程组：
（2）
23．选用适当的方法解下列方程
（1）x2 – 6x=7 （2）2x-6x -1=0 （3）3x(x+2)=5(x+2)
24．解方程：（用两种方法解）
《1.2一元二次方程的解法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A C B D D D D C
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有实数根，得到，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵，且无论x取任何实数，代数式都有意义，
∴，
∴．
故选：A
3．A
【详解】解：∵x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴（-2）2+a×（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，
整理，得（a+4）（a-1）=0，
解得 a1=-4，a2=1．
即a的值是1或-4．
故选：A．
【点睛】一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
4．C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
故选：C．
5．B
【分析】把代入一元二次方程中即可得到关于m的方程，解此方程即可求出m的值．由即得到从而得到答案．
【详解】解：是一元二次方程的一个根，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义及一元二次方程的解法．掌握能使方程成立的未知数的值，就是方程的解是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可．
【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根，
∴，
解得，
∴原方程为，
解方程得或，
当腰长为3时，则底边长为4，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为；
当腰长为4时，则底边长为3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴此时的周长为，
综上所述，的周长为10或11，
故选D．
7．D
【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是2和5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行分类讨论即可．
【详解】解：∵
∴
解得：，，
∵等腰的边为：2和5，
∴当腰长为2，底边为5时，不符合三角形的三边关系定理，
当腰长为5，底边为2时，的周长为：，
当边长都为2时，的周长为：，
当边长都为5时，的周长为：，
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法和三角形的三边关系是解题的关键．
8．D
【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D．
【详解】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2-4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、若方程M有一个正根和一个负根，那么△=b2-4ac>0，<0，所以a与c符号相反，<0，所以方程N也有一个正根和一个负根，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a-c）x2=a-c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根，以及根与系数的关系、一元二次方程的解等知识，掌握它们是关键．
9．D
【分析】先观察每个方程的特点，根据方程的特点逐个判断即可．
【详解】解：A、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
B、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
C、不适合用分解因式解方程，故本选项不符合题意；
D、最适合用分解因式解方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的理解能力和判断能力．
10．C
【分析】本题考查了解一元二次方程， 因式分解是解题关键 ．根据因式分解法， 可得答案 ．
【详解】
解： 因式分解， 得
得或，
解得，，
故选：C．
11．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
本题中根据，即可求解．
【详解】解：
解得，
因此，的值为，
故选：A．
12．C
【分析】先将原方程移项，然后利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：由原方程，得x2=4，
直接开平方，得
x=±2；
故选C
【点睛】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
13． 4 4 5 -1
【分析】根据配方法的步骤依次进行可得答案．
【详解】解：，
，
，
即，
∴或，
解得：，，
故答案为：4；4；5；．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
14． ，
【解析】略
15．-1
【分析】根据m﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根可得Δ＝0，和二次项系数不能为零,求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程m﹣mx﹣＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴﹣4ac＝0，
即﹣4×m×（﹣）＝0，
解得：m＝0或m＝﹣1，
当m＝0时，
原方程不是一元二次方程，不符合题意，故舍去，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程a+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝﹣4ac之间的关系．
16．0
【详解】解：（x﹣1）（x﹣2）=0
x﹣1=0或x﹣2=0
∵x1＞x2，∴x1=2，x2=1，∴x1－2x2＝2-2=0．故答案为0．
17． －1 2
【分析】先移项、去括号，把方程化成一般形式，再用因式分解求出方程的根．
【详解】解：x（x-1）=2，
去括号，得
x2-x=2，
移项，得
x2-x-2=0，
（x-2）（x+1）=0，
∴x1=-1，x2=2．
故答案为x2+x-2=0，-1，2．
【点睛】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，先通过去括号，移项，把方程化成一般形式，再选择用因式分解法解方程，求出方程的两个根．
18．（1）；（2）
【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）原方程可变形为：，
，
∴，或，
∴；
（2）原方程可变形为
，
，
，或，
∴．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，能够准确进行因式分解是解此题的关键．
19．（1）k＜6；（2）k=5 ．
【分析】（1）利用根的判别式大于0，即可得出结论；
（2）利用上题的结果及题中要求的k为大于3的整数，限定k的取值，代入此方程中，解方程，求出满足方程的根都是整数的k值．
【详解】（1）因为若方程有两个不相等的实数根，
则Δ=b2-4ac=36-4（k+3）>0，
整理：24-4k>0，
解得：k＜6，
所以k的取值范围为k＜6；
（2）因为k＜6，且k为大于3的整数，
所以k可以为4或5，
当 k=4时，原方程为 ，无整数解，故舍去 ，
当k=5时，原方程为，解为，符合题意，
所以k=5．
所以k的值为5．
考点：1．一元二次方程根的判别式；2．解一元二次方程．
20．，
【详解】试题分析：
根据方程的特点，用“直接开平方法”解即可.
试题解析：
原方程可化为：，
直接开平方，得，
则，或，
解得：，
21．(1)，
(2)，
【分析】（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（1） 先化简，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【详解】（1）
或
，．
（2）化成
即
，
【点睛】考查解一元二次方程-配方法，解题关键是掌握配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法求解．
22．（1）或；（2）.
【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出，再代入第一个方程可求出y的值，然后将y的最代入第二个方程可求出x的值，从而可得方程组的解；
（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.
【详解】（1）
由②可得：
两边平方化简得：，即
代入①得：，即
解得：或
将代入②得：，解得：
将代入②得：，解得：
故原方程组的解为：或；
（2）
去括号化简得：，即
得：，解得：
将代入①得：，解得：
故原方程组的解为.
【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.
23．（1）x=7，x= 1；（2）x= ；（3）x=，x= 2.
【分析】（1）方程变形后，利用因式分解法求出解即可；
（2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
（3）方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【详解】(1)方程变形得：x 6x 7=0，
分解因式得：(x 7)(x+1)=0，
解得：x=7，x= 1；
(2)方程的a=2，b= 6，c= 1，
∵△=36+8=44，
∴x= ；
(3)3x(x+2)=5(x+2)
3x(x+2) 5(x+2)=0
(x+2)(3x 5)=0
∴x+2=0或3x 5=0，
解得：x=，x= 2.
【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解一元二次方程-因式分解法，解题关键在于掌握运算法则
24．，
【分析】方法一：配方法；方法二：直接用求根公式求解即可．
【详解】解：方法一：
解得，
∴方程的解为，；
方法二：
，
解得，
∴方程的解为，；
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握解一元二次方程的方法．
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