第一章一元二次方程寒假练习 （含解析） 苏科版数学九年级上册

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第一章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一元二次方程 配方的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程时，可将方程变形为（ ）
A． B． C． D．
3．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的是 （ ）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
4．方程的解是（　　）
A． B．， C．， D．，
5．已知代数式与的值互为相反数，则x的值是（ ）
A．1或2 B．1或 C．或2 D．或
6．于实数a，b先定义一种新运算“★”如下：a★b=，若，则实数m等于（ ）
A．6 B．2 C．2或 D．2或或6
7．若与互为相反数，则（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
8．方程3+9=0的根为（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
9．方程x（x-1）=2的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
10．为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．规定：对于任意实数m、n满足，等式右边是常规乘法与减法运算，如．若关于x的方程的解的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
12．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．1或
二、填空题
13．方程x(x－5)＝3(x－5)的根为 ．
14．关于x的方程-3x-2=0是一元二次方程，则a ．
15．读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，则他去世时年龄为 ．
16．一元二次方程 实数根（填“有”或“没有”）．
17．若一元二次方程有一根为x=﹣1，则a+b= ．
三、解答题
18．2019年12月以来，“新冠”病毒影响着人们的出门及交往．
(1)在“新冠”初期，有2人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有288人感染了“新冠”（这两轮感染均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某小区物管为预防业主感染传播购买A型和B型两种口罩，购买A型口罩花费了2500元，购买B型口罩花费了2000元，且购买A型口罩数量是购买B型口罩数量的2倍，已知购买一个B型口罩比购买一个A型口罩多花3元．则该物业购买A，B两种口罩单价分别为多少元？
19．已知：关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程的根．
20．已知是关于x的一元一次方程，求代数式的值．
21．解方程：3x(x-1)=2(x-1).(因式分解法)
22．关于x的一元二次方程的一个整数解满足．
(1)求m的值；
(2)求的另一个解．
23．已知关于x的方程(m+1)x2+(1－2x)m=2 ，m为什么值时：(1)方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根 (3)方程没有实数根
24．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
《第一章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D A B A D D B
题号 11 12
答案 B A
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法的运用：先把二次项系数化为1，把常数项移到等号的右边，再同时加上一次项系数的一半的平方，即可作答．
【详解】解：原式移项，得
则
即
故选：C
2．D
【分析】配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧,左右两边同时加一次项系数一半的平方,配方即可.
【详解】解：
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解方程的步骤,属于简单题,熟悉步骤是解题关键.
3．B
【详解】试题分析：3x2-2x+1=0
a=3，b=-2，c=1
∵b2-4ac=（-2）2-4×3×1=-8<0，∴方程无是实数解；
故选B
考点：根的判别式
4．D
【分析】先将方程化简为：，再利用因式分解法将方程化为：，由此即可求得方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是利用因式分解法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握因式分解法．
5．A
【分析】本题考查相反数的定义，解一元二次方程．
由相反数的定义，可得，解方程即可得的值．
【详解】解：∵代数式与的值互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴的值是或．
故选：A．
6．B
【分析】分两种情况讨论：当m≤1时， 当m＞1时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可．
【详解】解：当m≤1时，则1★m=m+2=8，解得：m=6，故无解；
当m＞1时，则1★m=m2+2m=8，解得：m1=2，m2=-4，
∴m=2，
综上，m=2，
故选：B．
【点睛】本题考查新定义，一元二次方程解法，理解新定义，列出方程是解题的关键．
7．A
【分析】根据相反数的定义得到，再根据非负数的性质求出x、y，最后计算它们的和即可．
【详解】解：根据相反数的定义得，
根据非负数的性质得，即
∴， ，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组．解题的关键是能够正确的解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．D
【详解】原方程可化为：，
∵负数没有平方根，
∴原方程无实数根.
故选D.
9．D
【分析】解此题时应该先化简、整理，然后根据方程形式用公式法进行解答．
【详解】方程移项并化简得x x 2=0，
a=1，b= 1，c= 2
△=1+8=9>0
∴x=
解得x1=-1，x2=2.
故选D
【点睛】此题考查解一元二次方程-公式法，解题关键在于利用判别式
10．B
【详解】2014年投入为2500（1+x），2015年投入为2500（1+x）（1+x），
∴可列方程为：2500（1+x）2=3600；
故选：B．
11．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，本题的关键在于理解新定义运算，将其转化为常规的一元二次方程，然后利用根的判别式判断根的情况．
先根据新定义运算将方程转化为常规的一元二次方程形式，然后通过计算根的判别式的值来判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
，
在中，，
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
12．A
【分析】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．根据一元二次方程的定义及根的性质求解，注意二次项系数不能为0的限制条件．
【详解】解：将代入方程，得，
解得，即，
∵二次项系数，即，
∴，
故选：A．
13．x1＝3，x2＝5
【详解】x(x－5)＝3(x－5)，
x(x－5)-3(x－5)=0，
(x－5)（x-3）=0，
x1＝3，x2＝5.
14．≠0
【详解】根据一元二次方程的定义，得a≠0.故答案为：a≠0.
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可．
【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，
由题意得，，
解得：，
∴他去世时年龄为或，
又∵他去世时的年龄大于，
∴他去世时的年龄为
故答案为：．
16．有
【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是先根据根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【详解】解：，
，，，
，
方程有两个不相等的实数解．
故答案为：有．
17．2017
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=-1代入程中即可得到a+b的值．
【详解】把x=﹣1代入得
a+b﹣2017=0，
∴a+b=2017，
故答案为：2017
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了整体代入的方法．
18．(1)11人
(2)型口罩的单价为5元，型口罩的单价为8元
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了人，根据2人感染“新冠”经过两轮传染后共有288人感染“新冠”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，列出方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了11人．
（2）设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，
由题意得，，
解得，，
经检验是原方程的解，
则，
答：该物业购买型口罩的单价为5元，型口罩的单价为8元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键．
19．（1）见解析；（2），
【分析】（1）要证明此方程总有两个不相等的实数根，只需证明二次函数的判别式△＞0即可．
（2）由（1）知方程的根的个数和m的值无关，所以本着计算简洁的要求m的值可选取0，把0代入一元二次方程，计算即可．
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∴一元二次方程总有两个不相等的实数．
（2）令m＝0 ，
得一元二次方程：
解得一元二次方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．1991
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）．列出等式，求出m的值，代入即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程，
∴且，
解得：．
则方程变为，解得，
∴原式；
所以所求代数式的值为1991．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是一次项系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
21．x1=；x2=1.
【详解】：3x(x-1) -2(x-1) =0,
（x-1）(3x-2)=0,
x-1=0, 3x-2=0,
所以x1=，x2=1．
22．(1)
(2)2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及解一元二次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据不等式组的整数解得，再把代入方程，求出，即可作答．
（2）将代入，则，化简得，即可作答．
【详解】（1）解：依题意满足的整数是，
将代入方程，
得，
∴
解得；
（2）解：将代入，
得方程为，
则，
∴，
故，
∴；
∴方程的另一个解为2．
23．(1) m≠-1且m＞-2 ;(2) m=-2 ;(3) m＜-2.
【分析】(1)当(m+1)≠0且△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当(m+1)≠0且△=0时，方程有两个相等的实数根；
(4)当(m+1)≠0且△＜0时，方程没有实数根.
【详解】先将方程化为一般式：(m+1)x2-2mx+m-2=0，
则△=b2-4ac=(-2m)2-4(m+1) (m－2)=4m+8
(1)由题意可知m+1≠0，则m≠-1，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴△= 4m+8＞0，解得m＞-2.
综上，当m≠-1且m＞-2时，方程有两个不相等的实数根.
(2) 由题意可知m+1≠0，则m≠-1，
∵方程有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴△=4m+8=0，解得m=-2，
综上，当m=-2时，方程有两个相等的实数根.
(3) 由题意可知m+1≠0，则m≠-1，
∵方程方程无实数根，
∴△＜0，
∴△=4m+8＜0，解得m＜-2，
综上，当m＜-2时，方程方程无实数根.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系.
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（2）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（3）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答；
（4）根据一元二次方程一般式的定义，以及二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可解答．
【详解】（1）解：化为一般形式是，
二次项系数是4，一次项系数是，常数项是3．
（2）解：化为一般形式是，
二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是．
（3）解：化为一般形式是，
二次项系数是2，一次项系数是10，常数项是．
（4）解：化为一般形式是，
二次项系数是3，一次项系数是，常数项是0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握一元二次方程的一般式为，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
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