浙江省9+1高中联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2025高二上·浙江期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·浙江期中）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高二上·浙江期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高二上·浙江期中）设，向量，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2025高二上·浙江期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（2025高二上·浙江期中）已知直线与椭圆交于两点，若（是椭圆的两个焦点），则四边形的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
7．（2025高二上·浙江期中）在正方体中，点为线段上的动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·浙江期中）若实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高二上·浙江期中）将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，则（ ）
A．与是互斥事件 B．事件与相互独立
C． D．
10．（2025高二上·浙江期中）已知函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的最大值为2
D．在上的所有零点之和为
11．（2025高二上·浙江期中）底面半径为3，高为6的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱侧面相切，作不与圆柱底面平行的平面，与球切于点，若平面与圆柱侧面相交所得封闭曲线为，则下列命题正确的有（ ）
A．曲线的离心率最大值为
B．曲线的离心率最大值为
C．平面与底面所成夹角正弦最大值为
D．点到底面距离最小值为
12．（2025高二上·浙江期中）已知双曲线，则双曲线的离心率是 ．
13．（2025高二上·浙江期中）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
14．（2025高二上·浙江期中）已知直三棱柱，，且，过作平面，使，，若，则 ．
15．（2025高二上·浙江期中）已知的内角的对边分别为，的外接圆的半径为，且的面积为．
（1）求的值；
（2）若，求的周长．
16．（2025高二上·浙江期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点，且，
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．
17．（2025高二上·浙江期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围．
18．（2025高二上·浙江期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值．
19．（2025高二上·浙江期中）设椭圆，过外一点作的两条切线，斜率分别为．若满足，则称点的轨迹为的-相关曲线．特别地，当时，的轨迹为一个圆，且满足方程，这样的圆被称作为蒙日圆．（注：为上任一点，则处的切线方程：）．
（1）设椭圆与其-相关曲线，点分别为曲线上点，记，用含的式子表示（直接写出结果）；
（2）设椭圆，其相关曲线，求；
（3）设椭圆与其相关曲线，设与在第一象限的交点为，过分别作与的切线，满足．设的左、右焦点分别为，满足，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
，
则，
所以复数的轨迹方程为.
故答案为：D.
【分析】根据复数的模的求解方法和复数的几何意义，再根据已知条件求出复数在复平面内对应点的轨迹方程.
2．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】先利用对数函数的单调性和对数函数的定义域，从俄得出集合B，再利用交集运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：“”可以推出“”，
当，满足，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据正弦的诱导公式结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】由空间向量平行和垂直的坐标表示，从而求出的值，再由向量的模的坐标表示，从而得出的值．
5．【答案】B
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：设直线为，
代入，得，
则，，
设直线与x轴交点，与y轴交点，
则所围成封闭图形面积为，
，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以所围成的封闭图形面积的最小值为6.
故答案为：B.
【分析】设直线为，代入得，再表示出所围成封闭图形面积为，结合基本不等式求最值的方法，从而得出过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值.
6．【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义，
可知，
则，
因为直线过原点，
所以点关于坐标原点对称，
又因为，关于坐标原点对称，
所以四边形为矩形．
则，
所以，
则四边形的面积．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合矩形的性质与椭圆的定义以及四边形的面积公式，从而得出四边形的面积．
7．【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为，
以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
所以，
则，，
所以，
则，
因为，所以，当时，取最小值，此时取最大值，
因为，所以的最小值为，
则异面直线与所成角的最小值为．
故答案为：B．
【分析】设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和数量积求向量夹角公式以及，则由二次函数求最值的方法，从而得出异面直线与所成角的最小值.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设，
则.
当时，，此时，故选项A成立；
当时，，此时故选项C成立；
当时，，此时，故选项D成立；
当时，显然；
当时，显然，
当时，，故选项B不可能成立.
故答案为：B.
【分析】设，再结合对数运算、指数运算和根式的运算，从而得到，再赋值逐一判断比较，从而找出的大小关系不可能选项.
9．【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，
所以与不能同时发生，
则与是互斥事件，故A正确；
因为，，，
所以，
则事件与相互独立，故B正确；
因为，
所以，故C正确；
因为与是互斥事件，
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据互斥事件的概念判断选项A；根据独立事件定义判断选项B；利用互斥事件加法求概率公式，从而求出的值，则可判断选项C；利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：∵
，
∴的一个周期为，故A正确；
∵
，
∴的图象关于直线对称，故B正确；
因为
.
∵，，
∴要使取最大值2，需且，
由，得，
则，此时，与不符，
则的最大值不是2，故C错误；
令，
则，
所以，
则，
所以或，
则或，
所以或，
∵，∴，
∴在上的所有零点之和为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角型函数求周期的方法，则可判断选项A；由函数图象的对称性，则可判断选项B；根据三角型函数求最值的方法，则可判断选项C；令，则，从而求出函数零点，进而得出函数在上的所有零点之和，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由平面与圆柱侧面相交的特点可知所得封闭曲线的轨迹是椭圆，
且易知椭圆的短半轴，
设长轴长为，
所以曲线C的离心率，
如图为圆柱的轴截面，
观察上图可知，当平面与圆柱的截面从运动至的过程中，椭圆的长轴长先变小后变大，
根据前面给出的离心率公式，离心率先减小后增大；
所以平面与底面所成夹角的正弦值也先减小后增大，
则点距离底面的距离先增大后减小，
因此，离心率与平面与底面所成夹角的正弦值，在截面取得或两者之一时取得最大值，
则点到底面的距离在截面取得或两者之一时取得最小值.
情形一：当平面与圆柱的截面为时，
，由线段与圆相切，
得，
则，
所以，此时，曲线C的离心率，
则平面与底面所成夹角的正弦值为，
所以点到底面的距离.
情形二：当平面与圆柱的截面为时，点与点重合，
因为，
所以
则，
所以，此时离心率，
则平面与底面所成夹角的正弦值为，
此时点（即点）到底面的距离为，
综上所述，曲线的离心率的最大值为，平面与底面所成夹角正弦最大值为，
点到底面距离最小值为.
故答案为：BD．
【分析】由平面与圆柱侧面相交的特点可知曲线的轨迹是椭圆，且易知其短轴长为圆柱的直径，画出平面与圆柱相交的轴截面图，在运动中分析曲线C的离心率、线面角和点到底面距离的变化情况，再按需要求出各自的最值，从而找出真命题的选项.
12．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线方程为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据双曲线方程和焦点的位置，从而得出a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，进而得出双曲线的离心率.
13．【答案】或
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为弦长，半径，
则圆心到直线的距离为.
把，代入，可得，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
所以直线斜率不存在时满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即；
根据点到直线距离公式，
由圆心到直线的距离，
可得，两边平方得，
展开得，解得，
当时，直线的方程为，即.
故答案为：或.
【分析】根据弦长和垂径定理，从而求出圆心到直线的距离的值，再分直线斜率存在与不存在两种情况，从而求出直线的方程.
14．【答案】
【知识点】直线与平面平行的判定；共面向量定理；空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
则，
设，则，
由题意，得共面，
设，
则，
所以，
得，则，所以．
故答案为：．
【分析】利用向量共面的性质，再通过设未知数建立方程组，从而求解得出BP的长.
15．【答案】（1）解：由，又因为，
所以，
由正弦定理，得：，
则，
所以，
得：.
（2）解：由，
得，
所以，
则，
所以，
又因为，
由余弦定理，得：，
则，
得，
则，
所以周长为9．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和三角形面积公式以及正弦定理，从而得出的值.
（2）先利用两角和的余弦公式，再利用余弦定理和三角形的周长公式，从而得出的周长.
（1）由，又，所以，
由正弦定理：，
得，
所以，
所以得：
（2）由，得，
所以，则．
所以，
又，由余弦定理得：，
即：，
得，得，所以周长为9．
16．【答案】（1）证明：当时，则为的中点，
所以为的中点，
又因为的中点，
所以为的中位线，
则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：如图，设为线段的中点，
所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则
令，则，得．
则，
设直线与平面所成的角为，
则
，
则，
化简得，
则或．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得出，从而证出平面.
（2）先建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值，再利用已知条件得出实数的值.
（1）当时，则为的中点，所以为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，
所以，又平面，而平面，
所以平面
（2）如图，设为线段的中点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则
令，则，得．
设直线与平面所成的角为，
则
则，化简得，则或．
17．【答案】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离比为
，
化简得：，
动点的轨迹方程为：．
（2）解：设直线方程为，，，
直线与圆相切，
，即，
联立可得，
消去，得，
，
且，
由韦达定理，得，
，
则 ，
所以，
，
则，
，
解得，
则或，
．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件列方程，并化简求出动点的轨迹方程.
（2）设直线方程为，联立曲线方程，再利用韦达定理结合已知向量关系，从而得出关于的不等式，解不等式得出实数的取值范围．
（1）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为
，化简得：．
动点的轨迹方程为：．
（2）设直线方程为，，，
直线与圆相切，，即，
联立，消去，得，
，
且，
由韦达定理得，
，
即，，
，，
，解得，
解得或，
．
18．【答案】（1）证明：设为的中点，连接，
由题意，得，
所以为正三角形，
则，
所以为平面与平面的夹角，
又因为，
所以，
则，
所以平面平面．
（2）解：由（1）可知两两垂直，
则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
则平面的一个法向量为，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：设外接球的球心为，因为，
所以在过的中点且平行于z轴的直线上，
设，
则，
又因为，
所以，
化简得：，
所以，
则外接球的半径，
又因为，
所以点到平面的距离，
则点到平面距离的最大值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件和中点的性质以及，再结合二面角定义，从而得出，进而证出平面平面.
（2）由（1）可知两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点到坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（3）先设，再根据得出点Q的坐标，再由球心到平面距离加半径得出点到平面的距离的最大值.
（1）设为的中点，连接，
由题得，，
所以为正三角形，则，
所以为平面与平面的夹角，
又，所以，
所以，所以平面平面．
（2）由（1）可知两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
平面的一个法向量为，
所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设外接球的球心为，因为，所以在过的中点且平行于z轴的直线上，
设，
则，又，
所以，化简得：．
所以，
则外接球的半径，
又，
所以点到平面的距离．
所以点到平面距离的最大值为.
19．【答案】（1）解：由题意，
可知椭圆与其-相关曲线，
则，
.
（2）解：设为上一点，过的切线方程为，
则，
所以.
则，
由题意，得，
所以.
（3）解：类似（2），计算可得椭圆的-相关曲线为，
则，
因为，
所以为焦点在轴上的双曲线，
不妨设，
再设离心率为离心率为，
由，
得
由
得
，
则与有共同焦点.
对于
则，
，此时，
在中，由余弦定理，
得：
，
，
，
，
则，
，
所以.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用曲线的新定义计算，从而用含的式子表示.
（2）根据椭圆的切线方程结合直线与椭圆的位置关系，再利用判别式法和韦达定理，从而得出曲线
（3）利用-相关曲线，从而化简得出，再利用余弦定理得出的值．
（1）由题可知椭圆与其-相关曲线，
所以，
；
（2）设为上一点，过的切线方程为，
，
.
即，
由题意得，
所以；
（3）类似（2），计算可得椭圆的-相关曲线为，即，
由于，故为焦点在轴上的双曲线，
不妨设，
设离心率为离心率为，
由，得
由已知：
从而有
，即与有共同焦点.
则对于
，此时
在中，由余弦定理得：
，
，，
.
1 / 1浙江省9+1高中联盟2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2025高二上·浙江期中）设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：，
，
则，
所以复数的轨迹方程为.
故答案为：D.
【分析】根据复数的模的求解方法和复数的几何意义，再根据已知条件求出复数在复平面内对应点的轨迹方程.
2．（2025高二上·浙江期中）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，
则.
故答案为：D.
【分析】先利用对数函数的单调性和对数函数的定义域，从俄得出集合B，再利用交集运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025高二上·浙江期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：“”可以推出“”，
当，满足，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据正弦的诱导公式结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．（2025高二上·浙江期中）设，向量，且，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得，
又因为，所以，解得，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】由空间向量平行和垂直的坐标表示，从而求出的值，再由向量的模的坐标表示，从而得出的值．
5．（2025高二上·浙江期中）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】直线的斜截式方程
【解析】【解答】解：设直线为，
代入，得，
则，，
设直线与x轴交点，与y轴交点，
则所围成封闭图形面积为，
，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以所围成的封闭图形面积的最小值为6.
故答案为：B.
【分析】设直线为，代入得，再表示出所围成封闭图形面积为，结合基本不等式求最值的方法，从而得出过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值.
6．（2025高二上·浙江期中）已知直线与椭圆交于两点，若（是椭圆的两个焦点），则四边形的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义，
可知，
则，
因为直线过原点，
所以点关于坐标原点对称，
又因为，关于坐标原点对称，
所以四边形为矩形．
则，
所以，
则四边形的面积．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合矩形的性质与椭圆的定义以及四边形的面积公式，从而得出四边形的面积．
7．（2025高二上·浙江期中）在正方体中，点为线段上的动点，则异面直线与所成角的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为，
以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设，
所以，
则，，
所以，
则，
因为，所以，当时，取最小值，此时取最大值，
因为，所以的最小值为，
则异面直线与所成角的最小值为．
故答案为：B．
【分析】设正方体的棱长为1，异面直线与所成角为，以D为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用数量积的坐标表示和数量积求向量夹角公式以及，则由二次函数求最值的方法，从而得出异面直线与所成角的最小值.
8．（2025高二上·浙江期中）若实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；指数式与对数式的互化
【解析】【解答】解：设，
则.
当时，，此时，故选项A成立；
当时，，此时故选项C成立；
当时，，此时，故选项D成立；
当时，显然；
当时，显然，
当时，，故选项B不可能成立.
故答案为：B.
【分析】设，再结合对数运算、指数运算和根式的运算，从而得到，再赋值逐一判断比较，从而找出的大小关系不可能选项.
9．（2025高二上·浙江期中）将一颗质地均匀的正方体骰子抛掷1次，记试验的样本空间是，事件，则（ ）
A．与是互斥事件 B．事件与相互独立
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，
所以与不能同时发生，
则与是互斥事件，故A正确；
因为，，，
所以，
则事件与相互独立，故B正确；
因为，
所以，故C正确；
因为与是互斥事件，
所以，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据互斥事件的概念判断选项A；根据独立事件定义判断选项B；利用互斥事件加法求概率公式，从而求出的值，则可判断选项C；利用互斥事件加法求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
10．（2025高二上·浙江期中）已知函数，则（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于直线对称
C．的最大值为2
D．在上的所有零点之和为
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：∵
，
∴的一个周期为，故A正确；
∵
，
∴的图象关于直线对称，故B正确；
因为
.
∵，，
∴要使取最大值2，需且，
由，得，
则，此时，与不符，
则的最大值不是2，故C错误；
令，
则，
所以，
则，
所以或，
则或，
所以或，
∵，∴，
∴在上的所有零点之和为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角型函数求周期的方法，则可判断选项A；由函数图象的对称性，则可判断选项B；根据三角型函数求最值的方法，则可判断选项C；令，则，从而求出函数零点，进而得出函数在上的所有零点之和，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·浙江期中）底面半径为3，高为6的圆柱内放有一个半径为1的球，球与圆柱侧面相切，作不与圆柱底面平行的平面，与球切于点，若平面与圆柱侧面相交所得封闭曲线为，则下列命题正确的有（ ）
A．曲线的离心率最大值为
B．曲线的离心率最大值为
C．平面与底面所成夹角正弦最大值为
D．点到底面距离最小值为
【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：由平面与圆柱侧面相交的特点可知所得封闭曲线的轨迹是椭圆，
且易知椭圆的短半轴，
设长轴长为，
所以曲线C的离心率，
如图为圆柱的轴截面，
观察上图可知，当平面与圆柱的截面从运动至的过程中，椭圆的长轴长先变小后变大，
根据前面给出的离心率公式，离心率先减小后增大；
所以平面与底面所成夹角的正弦值也先减小后增大，
则点距离底面的距离先增大后减小，
因此，离心率与平面与底面所成夹角的正弦值，在截面取得或两者之一时取得最大值，
则点到底面的距离在截面取得或两者之一时取得最小值.
情形一：当平面与圆柱的截面为时，
，由线段与圆相切，
得，
则，
所以，此时，曲线C的离心率，
则平面与底面所成夹角的正弦值为，
所以点到底面的距离.
情形二：当平面与圆柱的截面为时，点与点重合，
因为，
所以
则，
所以，此时离心率，
则平面与底面所成夹角的正弦值为，
此时点（即点）到底面的距离为，
综上所述，曲线的离心率的最大值为，平面与底面所成夹角正弦最大值为，
点到底面距离最小值为.
故答案为：BD．
【分析】由平面与圆柱侧面相交的特点可知曲线的轨迹是椭圆，且易知其短轴长为圆柱的直径，画出平面与圆柱相交的轴截面图，在运动中分析曲线C的离心率、线面角和点到底面距离的变化情况，再按需要求出各自的最值，从而找出真命题的选项.
12．（2025高二上·浙江期中）已知双曲线，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为双曲线方程为，
所以，则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据双曲线方程和焦点的位置，从而得出a，b的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出c的值，进而得出双曲线的离心率.
13．（2025高二上·浙江期中）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】或
【知识点】直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：因为弦长，半径，
则圆心到直线的距离为.
把，代入，可得，
当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，
所以直线斜率不存在时满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即；
根据点到直线距离公式，
由圆心到直线的距离，
可得，两边平方得，
展开得，解得，
当时，直线的方程为，即.
故答案为：或.
【分析】根据弦长和垂径定理，从而求出圆心到直线的距离的值，再分直线斜率存在与不存在两种情况，从而求出直线的方程.
14．（2025高二上·浙江期中）已知直三棱柱，，且，过作平面，使，，若，则 ．
【答案】
【知识点】直线与平面平行的判定；共面向量定理；空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
则，
设，则，
由题意，得共面，
设，
则，
所以，
得，则，所以．
故答案为：．
【分析】利用向量共面的性质，再通过设未知数建立方程组，从而求解得出BP的长.
15．（2025高二上·浙江期中）已知的内角的对边分别为，的外接圆的半径为，且的面积为．
（1）求的值；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）解：由，又因为，
所以，
由正弦定理，得：，
则，
所以，
得：.
（2）解：由，
得，
所以，
则，
所以，
又因为，
由余弦定理，得：，
则，
得，
则，
所以周长为9．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和三角形面积公式以及正弦定理，从而得出的值.
（2）先利用两角和的余弦公式，再利用余弦定理和三角形的周长公式，从而得出的周长.
（1）由，又，所以，
由正弦定理：，
得，
所以，
所以得：
（2）由，得，
所以，则．
所以，
又，由余弦定理得：，
即：，
得，得，所以周长为9．
16．（2025高二上·浙江期中）如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点，且，
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．
【答案】（1）证明：当时，则为的中点，
所以为的中点，
又因为的中点，
所以为的中位线，
则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：如图，设为线段的中点，
所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则
令，则，得．
则，
设直线与平面所成的角为，
则
，
则，
化简得，
则或．
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用中位线定理得出，从而证出平面.
（2）先建系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出直线与平面所成角的正弦值，再利用已知条件得出实数的值.
（1）当时，则为的中点，所以为的中点，
又为的中点，所以为的中位线，
所以，又平面，而平面，
所以平面
（2）如图，设为线段的中点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
则
令，则，得．
设直线与平面所成的角为，
则
则，化简得，则或．
17．（2025高二上·浙江期中）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于两点，且（其中为坐标原点），求的取值范围．
【答案】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离比为
，
化简得：，
动点的轨迹方程为：．
（2）解：设直线方程为，，，
直线与圆相切，
，即，
联立可得，
消去，得，
，
且，
由韦达定理，得，
，
则 ，
所以，
，
则，
，
解得，
则或，
．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件列方程，并化简求出动点的轨迹方程.
（2）设直线方程为，联立曲线方程，再利用韦达定理结合已知向量关系，从而得出关于的不等式，解不等式得出实数的取值范围．
（1）动点与定点的距离和它到定直线的距离比为
，化简得：．
动点的轨迹方程为：．
（2）设直线方程为，，，
直线与圆相切，，即，
联立，消去，得，
，
且，
由韦达定理得，
，
即，，
，，
，解得，
解得或，
．
18．（2025高二上·浙江期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值．
【答案】（1）证明：设为的中点，连接，
由题意，得，
所以为正三角形，
则，
所以为平面与平面的夹角，
又因为，
所以，
则，
所以平面平面．
（2）解：由（1）可知两两垂直，
则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以
设平面的法向量为，
则，
令，则，所以，
则平面的一个法向量为，
所以，
则平面与平面夹角的余弦值为.
（3）解：设外接球的球心为，因为，
所以在过的中点且平行于z轴的直线上，
设，
则，
又因为，
所以，
化简得：，
所以，
则外接球的半径，
又因为，
所以点到平面的距离，
则点到平面距离的最大值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件和中点的性质以及，再结合二面角定义，从而得出，进而证出平面平面.
（2）由（1）可知两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点到坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量和平面的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值.
（3）先设，再根据得出点Q的坐标，再由球心到平面距离加半径得出点到平面的距离的最大值.
（1）设为的中点，连接，
由题得，，
所以为正三角形，则，
所以为平面与平面的夹角，
又，所以，
所以，所以平面平面．
（2）由（1）可知两两垂直，
故以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
则
设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
平面的一个法向量为，
所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）设外接球的球心为，因为，所以在过的中点且平行于z轴的直线上，
设，
则，又，
所以，化简得：．
所以，
则外接球的半径，
又，
所以点到平面的距离．
所以点到平面距离的最大值为.
19．（2025高二上·浙江期中）设椭圆，过外一点作的两条切线，斜率分别为．若满足，则称点的轨迹为的-相关曲线．特别地，当时，的轨迹为一个圆，且满足方程，这样的圆被称作为蒙日圆．（注：为上任一点，则处的切线方程：）．
（1）设椭圆与其-相关曲线，点分别为曲线上点，记，用含的式子表示（直接写出结果）；
（2）设椭圆，其相关曲线，求；
（3）设椭圆与其相关曲线，设与在第一象限的交点为，过分别作与的切线，满足．设的左、右焦点分别为，满足，求的值．
【答案】（1）解：由题意，
可知椭圆与其-相关曲线，
则，
.
（2）解：设为上一点，过的切线方程为，
则，
所以.
则，
由题意，得，
所以.
（3）解：类似（2），计算可得椭圆的-相关曲线为，
则，
因为，
所以为焦点在轴上的双曲线，
不妨设，
再设离心率为离心率为，
由，
得
由
得
，
则与有共同焦点.
对于
则，
，此时，
在中，由余弦定理，
得：
，
，
，
，
则，
，
所以.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用曲线的新定义计算，从而用含的式子表示.
（2）根据椭圆的切线方程结合直线与椭圆的位置关系，再利用判别式法和韦达定理，从而得出曲线
（3）利用-相关曲线，从而化简得出，再利用余弦定理得出的值．
（1）由题可知椭圆与其-相关曲线，
所以，
；
（2）设为上一点，过的切线方程为，
，
.
即，
由题意得，
所以；
（3）类似（2），计算可得椭圆的-相关曲线为，即，
由于，故为焦点在轴上的双曲线，
不妨设，
设离心率为离心率为，
由，得
由已知：
从而有
，即与有共同焦点.
则对于
，此时
在中，由余弦定理得：
，
，，
.
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