江苏省泰州市兴化中学2025-2026学年高二上学期阶段性测试(四)数学试题（含答案）

江苏省兴化中学2025-2026学年高二上学期阶段性测试(四)
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.两圆与的公共弦长等于( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.设为等比数列的前项和，，则
A. B. C. D.
5.斜率为的直线与双曲线交于，两点，若线段的中点为，则( )
A. B. C. D.
6.南宋数学家杨辉在详解九章算法商功一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球，第四层有个小球设第层有个小球，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列为等比数列，，公比若是数列的前项积，则取得最大值时的值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知点，在椭圆上，且直线，的斜率之积为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.数列满足：，，则( )
A. B.
C. 数列为等差数列 D. 数列的前项和为
11.已知数列的通项公式为，数列满足，，，则( )
A.
B. 数列是递增数列
C.
D. 满足不等式的最小正整数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与曲线相切，则实数 ．
13.已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上关于原点对称的两点，则的最小值为 ．
14.已知数列满足，，令，数列的前项和为，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若函数的图象在点处的切线方程是，求和；
求函数的单调区间．
16.本小题分
已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
设，数列的前项和为，求证：
17.本小题分
已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且．
求的方程．
是椭圆的左顶点，是上除顶点外的任意一点，直线与交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为．
求点的坐标用表示；
证明：为定值．
18.本小题分
已知数列，是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，．
求与的通项公式；
数列的前项和，求及的最小值和最大值；
设，求．
19.本小题分
已知抛物线，圆，点在抛物线上，过点作圆的两条切线，切线与抛物线的另一个交点分别为，．
当点为坐标原点，时，求的面积；
当点的坐标为时，求直线的斜率；
当点在抛物线上运动时，是否存在实数，使得直线始终与圆相切，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.解：由函数，可得，则且，
因为函数的图象在点处的切线方程是，
可得解得．
解：由函数的定义域为，且，
令，即，即，可得；
令，即，即，可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
16.由题意，
所以数列的前项和为，
当时，；
当时，．
时，上式亦成立．
所以数列的通项公式为．
，
所以，
因为，所以
又因为时，单调递增，所以，
所以．
17.由题意得，，，，得，
则的方程为；
，直线，
联立，得，得或，
则，代入中得，，
故；
因，则由可得，，
则直线的方程为，则，
因，则直线，
联立，得，即，
则，
则．
18.由，则，
故，即，
当时，，则，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，故；
，则数列的公差为，故；
，
则，
当为偶数时，，随的增大而增大，
当为奇数时，，随的增大而减小，
故当时，有最小值，
当时，有最大值；
由
则
，
则，
则，
故
，
则．

19.当时，圆与轴不相切，
设过原点与圆相切的直线方程为，
联立消去得：，
由得，
不妨记直线的方程为，代入得：，
解得或，所以，由对称性可知，，
所以．
由题知，所以与轴垂直，故直线的斜率存在，且互为相反数，
设直线的方程为，即，，
联立得，
则，，即，
同理可得，又，
所以直线的斜率．
设，由题意可知，圆与抛物线没有交点，
当的一边所在直线斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则关于轴对称，
若直线始终与圆相切，则由对称性可知点必在轴上，即与原点重合，
此时直线方程为，直线的方程为，即，
依题意，，得
又，所以，解得或舍去，
所以．
所以，当点在抛物线上运动时，若存在实数，使得直线始终与圆相切，则，
下证时，直线始终与圆相切：
如图，由上可知，三点的横坐标各不相等，
设点、、，
则直线的方程为，即，
同理可得直线的方程为，
所以直线的方程为，
因为直线与圆相切，则，即，
同理由直线与圆相切得，
则、为方程的两个不等的实根，
则，，
点到直线的距离为，
即直线与圆相切，
综上所述，存在，使得当点在抛物线上运动时，直线总与圆相切．

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