课题：
3.2.3立体几何中的向量方法（三）——角度问题
总第
个教案
课型：
新授课
上课时间：
年
月
日星期____
教学目标
1.知识与技能掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。
2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题。
3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。
教学重点
掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题
教学难点
掌握空间立体几何中用向量方法求角度问题
教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
教学过程：
批
注
活动一：创设情景、引入课题
（5分钟）问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？ 问题2：空间中的距离有多少种？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些角度的应用．
点题：今天我们学习“用空间向量方法求角度问题”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题3：回忆立体几何中有那些空间角？求空间角有那些步骤？
1
异面直线所成的角
范围
0°＜θ≤90°方法
①平移法；②补形法
2
直线与平面所成的角
范围
0°≤θ≤90°方法
关键是作垂线，找射影
3
二面角方法
①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法
4、空间角的计算步骤
一作、二证、三算问题4：想一想平面向量中两个向量的数量积的定义呢？a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝，可求两个向量的数量积或夹角问题；新课：三种空间角的向量法计算公式：⑴线线角：异面直线所成的角：；⑵线面角：直线与平面(法向量)所成的角：；⑶二面角：锐二面角：，其中为两个面的法向量。活动三：合作学习、探究新知（18分钟）利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。（1）异面直线、所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引∥，∥，则，所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角。两条异面直线所成角的范围：。求法：①把两条异面直线中的一条放入一个平面，另一条与这个平面有交点，过这个交点在平面内作第一条的平行线，则这两条直线所成的角为两条异面直线所成的角。然后解三角形得到。②运用向量：在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。例1、如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点，又BO=2,PO=,PB⊥PD.求异面直接PD与BC所成角的余弦值；解法一：平面，
，又，由平面几何知识得：（Ⅰ）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，，，，又，四边形是平行四边形。，是的中点，且，又，为直角三角形，在中，由余弦定理得故异面直线PD与所成的角的余弦值为解法二：
平面，
，又，，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，，，，，（Ⅰ），
，
。若与所成的角为，则。故直线与所成的角的余弦值为（2）直线与平面角：斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。直线与平面所成角的范围为：。求法：①求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。若垂足的位置难以确定，可考虑用三棱锥体积等量来求出斜线上一点到平面的距离。②运用向量：设是平面的法向量，A、B是直线上的点，如果直线与平面所成的角为，则。例2：如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=，∠VDC=。当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围；解：（Ⅰ）以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设直线与平面所成的角为，平面的一个法向量为，则由．得可取，又，于是，，，．又，．即直线与平面所成角的取值范围为．（3）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的几何图形，叫二面角。二面角的范围为。求二面角大小：
①找出二面角的平面角，然后利用解三角形来求出。②利用面积射影定理。③运用向量：从相交棱上一点（或两点）出发，找与相交棱方向向量垂直的两个向量、，则、这两个向量所成的角的大小等于二面角的大小。例3：如图，在直三棱柱中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．解：（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．设，则，，，，设分的比为，则，而，，，由，，所以，;又，，。由，
，知，即二面角A1－AD－C1的大小为。练习：1、如图3－2－17，在三棱锥V－AB
( http: / / www.21cnjy.com )C中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．图3－2－17【自主解答】 由于AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)当θ＝时，在Rt△VCD中，CD＝，∴V(0,0，)，∴＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，∴cos〈，〉＝＝＝－.∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值．【解】 以D为坐标原点，分别以DA
( http: / / www.21cnjy.com )，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A1(4,0,3)，B(4,4,0)，B1(4,4,3)，C(0,4,0)，得＝(0,4，－3)，＝(－4,0，－3)．设与的夹角为θ，则cos
θ＝＝，故与的夹角的余弦值为，即异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为.2：如图3－2－18所示，三棱锥P－AB
( http: / / www.21cnjy.com )C中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小．
图3－2－18【自主解答】 设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系(如图)．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，又AN＝AB，M、S分别为PB、BC的中点，∴N(，0,0)，M(1,0，)，S(1，，0)，(1)＝(1，－1，)，＝(－，－，0)，∴·＝(1，－1，)·(－，－，0)＝0，因此CM⊥SN.(2)＝(－，1,0)，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，∴·a＝0，·a＝0.则∴取y＝1，则得a＝(2,1，－2)．因为cos?a，?＝＝－.∴〈a，〉＝π.所以SN与平面CMN所成角为π－＝. 如图3－2－19，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，求BE与平面B1BDD1所成角的余弦值．图3－2－19【解】 如图，建立空间直角坐标系，设
( http: / / www.21cnjy.com )正方体的棱长为2，则B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)，＝(－2,0,1)．＝(－2,2,0)即平面B1BDD1的一个法向量，设n＝(－1,1,0)．cos〈n，〉＝＝.设BE与平面B1BD所成角为θ，cos
θ＝sin〈n，〉＝，即BE与平面B1BD所成角的余弦值为. 如图3－2－20，若正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC，求二面角A－EB－C的大小．图3－2－20【自主解答】 ∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC.又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC.以点A为坐标原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC，AE为y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设EA＝AC＝BC＝2，则A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)．∵M是正方形ACDE的对角线的交点，∴M(0,1,1)．设平面EAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥且n⊥，从而有n·＝0且n·＝0.又∵＝(0,0,2)，＝(2,2,0)，∴即取y＝－1，则x＝1，则n＝(1，－1,0)．又∵为平面EBC的一个法向量，且＝(0,1,1)，∴cos〈n，〉＝＝－.设二面角A－EB－C的平面角为θ，则cos
θ＝，即θ＝60°.故二面角A－EB－C为60°. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为a，D是侧棱CC1的中点，求平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小．图3－2－21【解】 以B为原点，过点B与BC垂直的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，BB1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(0，a,0)，
( http: / / www.21cnjy.com )B1(0,0，a)，C1(0，a，a)，A(－a，，0)，A1(－a，，a)，D(0，a，)．故＝(a，－，a)，＝(0，a，－)．设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0，即得x＝－y，z＝2y.取y＝1，则n＝(－，1,2)．∵平面ABC的法向量是＝(0,0，a)，∴二面角θ的余弦值为cos
θ＝＝.∴θ＝.∴平面AB1D与平面ABC所成二面角(锐角)的大小为.4：正方体ABCD—A1B1C1D1中，求二面角A－BD1－C的大小．【正解】 以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)．由题意知＝(1,0,1)是平面ABD1的一个法向量，＝(0,1,1)是平面BCD1的一个法向量．所以cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°.所以二面角A－BD1－C的大小为120°.例4：书本P106页例2练习：书本P107页的思考？活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1．在空间中，角度有几种情况？ 2．如何用空间向量求各种角度？
活动五：作业布置、提高巩固书面作业：P111
A组：1、5、6、7板书设计：
用向量方法研究立体几何一角度1、空间中角度种类
例1：
例2：
2、用向量方法解决空间角度的步骤？
教学后记：
A
D
B
C
V
x
y
z
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y课题：
3.2.2立体几何中的向量方法（二）——距离问题
总第
个教案
课型：
新授课
上课时间：
年
月
日星期____
教学目标
1.知识与技能掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题。
2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题。
3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。
教学重点
掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题
教学难点
掌握空间立体几何中用向量方法求距离问题
教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
教学过程：
批
注
活动一：创设情景、引入课题
（5分钟）问题1：在空间中，如何表示一个点？一条直线？一个平面？ 问题2：如何用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些简单的应用．
点题：今天我们学习“用空间向量方法求线段长度”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题4：类比平面向量解决平面几何的步骤，说说用空间向量解决立体几何的步骤？1、用向量解决立体几何的三步曲：①建立图形空间向量的联系，用空间向量表示问题涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题②通过向量运算研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的夹角和距离问题③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。问题5：空间中点、线、面有那些位置关系？2.空间中的距离主要指以下七种
(1)两点之间的距离
(2)点到直线的距离
(3)点到平面的距离
(4)两条平行线间的距离
(5)两条异面直线间的距离
(6)平面的平行直线与平面之间的距离
(7)两个平行平面之间的距离
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离
七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点
求点到平面的距离
(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长
(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离
(3)体积法
(3)向量法
求异面直线的距离
(1)定义法，即求公垂线段的长
(2)转化成求直线与平面的距离
(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的
2.用向量法求距离的公式：⑴异面直线之间的距离：，其中。⑵直线与平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。⑶两平行平面之间的距离：，其中。是平面的法向量。⑷点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。另法：点平面则
⑸点A到直线的距离：
，其中，是直线的方向向量。⑹两平行直线之间的距离：，其中，是的方向向量。活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例1：如图四棱柱ABCD-A＇B＇C＇D＇中以A为顶点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°求对角线AC＇长和棱长的关系解：设AB=AA1=AD=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°（化为向量问题）根据向量的加法法则：
（进行向量运算）（回到图形问题）变式练习：书本P106页的思考？例2：把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求
(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小
解
如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,
设正方形ABCD边长为a,则A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0,
a,0),D(0,0,
a),E(0,－a,
a),F(a,
a,0)
∴∠EOF=120°练习：正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离
解法一
如图，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离
连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离
在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==
∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为
解法二
如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为
解法三（向量法）如图建立坐标系，则∴设MN是直线A1C1与AB1的公垂线，且则从而有
∴
例3：如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点
求
(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离
解
(1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足连结QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE∴QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,
∴AE=在Rt△QAE中，QA=PA=c∴QE=∴Q到BD距离为
(2)解法一
∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE
∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离
在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=∴AH=∴P到平面BD的距离为解法二
设点A到平面QBD的距离为h，由VA—BQD=VQ—ABD,得S△BQD·h=S△ABD·AQh=
学生巩固练习
1
正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为(
)A
B
1
C
D
2
三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为(
)A
B
C
2.6
D
2.43
如左图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________
4
如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________
5
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图
(1)求证
平面A1BC1∥平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离
6
已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求
(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(3)三棱锥B1—EAC的体积
7
如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等
8
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=
AD=a,∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a
(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为
参考答案
1
解析
过点M作MM′⊥EF,则MM′⊥平面BCF∵∠MBE=∠MBC∴BM′为∠EBC为角平分线，∴∠EBM′=45°,BM′=,从而MN=答案
A2
解析
交线l过B与AC平行，作CD⊥l于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,Rt△C1CD中易求得C1D==2.6答案
C3
解析
以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,∴PQ⊥AB,同理可得PQ⊥CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=a答案
a4
解析
显然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°,过F作FG⊥平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF∥平面ABCD
∴FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=
答案
5
(1)证明
由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1(2)解
设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离
易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则S·d=·BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为
(3)解
由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于
6
解
(1)连结DB交AC于O，连结EO，∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=a，AC=a，EO==a，∴S△EAC=a(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EO∥BD1，O为BD中点，∴D1B=2EO=2a∴D1D=a，∴A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥面EAC∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高，得B1Q=a7
解
(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1∴BB1⊥平面A1EF即面A1EF⊥面BB1C1C在Rt△A1EB1中，∵∠A1B1E=45°，A1B1=a∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a同理A1F=a,又EF=a∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离∴A1N=又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为∴a=2，∴所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形
∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N∴B1C1⊥平面ADD1A1∴BC⊥平面ADD1A1得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件
8
解
(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC∴AE⊥平面PBC，AE为所求
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a∴AE=a(2)作CM∥AB，由已知cosADC=∴tanADC=,即CM=DM∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PC⊥CF取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F
活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1．在空间中，距离有几种情况？ 2．如何用直线的方向向量与平面的法向量判断求距离？
活动五：作业布置、提高巩固书面作业：书本P112：5、7板书设计：
用向量方法研究立体几何一距离1、空间中距离形式
例1：
例2：
2、用向量方法解决立体问题的步骤？
教学后记：课题：
3.2.5立体几何中的向量方法（五）——垂直问题
总第
个教案
课型：
新授课
上课时间：
年
月
日星期____
教学目标
1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．
2.过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的垂直问题的过程，体会向量运算的几何意义．通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．
3.情感、态度与价值观引导学生用
( http: / / www.21cnjy.com )联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
教学重点
用向量方法判断有关直线和平面垂直关系问题．
教学难点
空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．
教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
教学过程：
批
注
活动一：创设情景、引入课题
（5分钟）问题1：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？
问题2：上一节课中我们讨论了几种平行关系？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些垂直的应用．
点题：今天我们学习“用空间向量方法求垂直问题”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题3：回忆立体几何中有那些垂直关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？
l⊥m a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.l⊥α a∥u a＝ku (a1，b1，c1)＝k(a3，b3，c3)(k∈R)．α⊥β u⊥v u·v＝0 a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.图3－2－10例1：已知正三棱柱ABC－A1B1C
( http: / / www.21cnjy.com )1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.
求证：AB1⊥MN.解答：法一 设＝a，＝b，＝c，则由已知条件和正三棱柱的性质，得|a|＝|b|＝|c|＝1，a·c＝b·c＝0，＝a＋c，＝(a＋b)，＝b＋c，＝－＝－a＋b＋c，∴·＝(a＋c)·(－a＋b＋c)＝－＋cos
60°＋0－0＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN.法二 设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A(－，0,0)，B(，0,0)，C(0，，0)，N(0，，)，B1(，0,1)，∵M为BC中点，∴M(，，0)．∴＝(－，，)，＝(1,0,1)，∴·＝－＋0＋＝0.∴⊥，∴AB1⊥MN. 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E、F分别是AB、BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.【证明】 以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设AE＝BF＝x，∴E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)．∵·＝(－x，a，－a)·(a，x－a，－a)＝－ax＋ax－a2＋a2＝0，∴⊥，即A1F⊥C1E.例2：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.【解答】 法一 设＝a，＝c，＝b，则＝＋＝(＋)＝(＋)＝(－a＋b＋c)∵＝＋＝a＋b，∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0，∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.法二 设正方体的棱长为2，建系如图则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0，·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，∴EF⊥平面B1AC.图3－2－11如图3－2－11，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点，求证：直线PB1⊥平面PAC.【证明】 依题设，以D为坐标原点，如图
( http: / / www.21cnjy.com )所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则C(1,0,0)，P(0,0,1)，A(0,1,0)，B1(1,1,2)，于是＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,1,1)，∴·＝(－1,1,0)·(1,1,1)＝0，·＝(－1,0,1)·(1,1,1)＝0，故⊥，⊥，即PB1⊥CP，PB1⊥CA，又CP∩CA＝C，且CP 平面PAC，CA 平面PAC.故直线PB1⊥平面PAC.图3－2－12例3：如图3－2－12，在直
( http: / / www.21cnjy.com )三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【解答】 由题意得AB，B
( http: / / www.21cnjy.com )C，B1B两两垂直，以B为原点，分别以BA，BC，BB1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，则＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(－2,0，)．设平面AA1C1C的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则 令x＝1，得y＝1，∴n1＝(1,1,0)．设平面AEC1的一个法向量为n2＝(x，y，z)，则 令z＝4，得x＝1，y＝－1.∴n2＝(1，－1,4)．∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，∴n1⊥n2.∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.INCLUDEPICTURE"变式训练.TIF" 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.INCLUDEPICTURE"Z9.TIF"
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MERGEFORMATINET
【证明】 以DA，DC，DD1所在直线分别
( http: / / www.21cnjy.com )为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E(0,1，)，＝(1,1,1)，＝(0,1，)，设平面B1DE的法向量为n1＝(x，y，z)，则x＋y＋z＝0且y＋z＝0，令z＝－2，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.活动三：合作学习、探究新知（18分钟）利用平面的法向量求解空间中的探索性问题图3－2－13例4：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.【思路点拨】 建立直角坐标系，设出点P的坐标，将平面垂直当作已知条件．利用它们的法向量垂直可得P点坐标．【规范解答】 如图，以D为原点，DA、DC、
( http: / / www.21cnjy.com )DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P(0,1，a)，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E(，1,0)，C1(0,1,1)，2分＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，＝(，1,0)，＝(0,1,1).4分设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则 ∴x1＝(a－1)z1，y1＝0.令z1＝1，得x1＝a－1，∴n1＝(a－1,0,1).8分设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则 令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，∴n2＝(－2,1，－1)．∵平面A1B1P⊥平面C1DE，∴n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝.∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.补充练习1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点，(1)求证：A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．【解】 (1)证明 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a.依题意可得，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)．＝(－a，a，e－a)，又＝(－a，－a,0)，∴·＝a2－a2＝0.∴⊥，即A1E⊥BD.(2)E为CC1的中点，证明如下：设BD的中点为O，连结A1O，OE.则O(，，0)，＝(－，，e)，＝(，－，a)．∵A1B＝A1D，O为BD中点，∴A1O⊥BD.又平面A1BD⊥平面EBD，∴A1O⊥平面EBD.∴A1O⊥OE.又＝(－a，－a,0)，则·＝0，·＝0，即，∴e＝.∴当E为CC1的中点时，能使平面A1BD⊥平面EBD.例5：书本P109页例4练习：书本P111页的练习1、2、3用空间向量求各种垂直关系的步骤：1．用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理．2．应用向量证明垂直问题的基本步骤：(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；(2)通过向量运算研究垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题．活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1．在空间中，垂直有几种情况？ 2．如何用空间向量求各种垂直关系？ 活动五：作业布置、提高巩固书面作业：P112
A组：2、3、49板书设计：
用向量方法研究立体几何一垂直1、空间中垂直种类
例1：
例2：
2、用向量方法解决空间垂直的步骤？
教学后记：课题：
3.2.4立体几何中的向量方法（四）——问题
总第
个教案
课型：
新授课
上课时间：
年
月
日星期____
教学目标
1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．
2.过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．
3.情感、态度与价值观引导学生用联系与转
( http: / / www.21cnjy.com )化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．
教学重点
用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．
教学难点
空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．
教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
教学过程：
批
注
活动一：创设情景、引入课题
（5分钟）问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤？ 问题2：空间中的角度有多少种？用空间向量如何解决？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量来表示并进行解决一些平行的应用．
点题：今天我们学习“用空间向量方法求平行问题”
活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题3：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？
∥a∥b (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)l∥α a·u＝0 a1a3＋b1b3＋c1c3＝0α∥β u∥v (a3，b3，c3)＝k(a4，b4，c4)例1：如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平面DBC1.【思路探究】 →→【自主解答】 以A为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a(a>0)，侧棱长为b(b>0)，则A(0,0,0)，B(a，，0)，B1(a，，b)，C1(0，a，b)，D(0，，0)，∴＝(a，，b)，＝(－a,0,0)，＝(0，，b)．设平面DBC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则∴不妨令y＝2b，则n＝(0,2b，－a)．由于·n＝ab－ab＝0，因此⊥n.又AB1 平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1. 在长方体ABCD－A1B1
( http: / / www.21cnjy.com )C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．求证：CE∥平面C1E1F.【证明】 以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．设BC＝1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1(1，，2)．设平面C1E1F的法向量为n＝(x，y，z)，∵＝(1，－，0)，＝(－1,0,1)，∴即取n＝(1,2,1)．∵＝(1，－1,1)，n·＝1－2＋1＝0，∴⊥n，且 平面C1E1F.∴CE∥平面C1E1F.例2：(12分)如图3－2－6，在多面
( http: / / www.21cnjy.com )体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．求证：FH∥平面EDB.【思路点拨】 先通过推理证明FH⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，再设证明、、共面．图3－2－6【规范解答】 ∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.2分又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.以H为坐标原点，为x轴正方向，为z轴正方向．建立如图所示的空间直角坐标系．设BH＝1，则B(1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1).6分∴＝(0,0,1)，＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2，0)，设＝λ·＋μ·＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，∴，解得∴＝－∴向量，，共面．又HF不在平面EDB内，∴HF∥平面EDB.
活动三：合作学习、探究新知（18分钟）图3－2－9补充练习：11．如图3－2－9，在四棱
( http: / / www.21cnjy.com )锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.【证明】 作AP⊥CD于点P.如题图分别以AB、AP、AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(
( http: / / www.21cnjy.com )0，，0)，D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，，0).＝(1－，，－1)，＝(0，，－2)，＝(－，，－2)．设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.即，取z＝，则y＝4，x＝0，得n＝(0,4，)．∵·n＝(1－，，－1)·(0,4)＝0，∴MN∥平面OCD.如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，
( http: / / www.21cnjy.com )AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量方法证明AP∥平面EFG.【自主解答】 如图，以D为原点，以、、为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz，则有关点及向量的坐标为：P(0,0,2)，C(0,2,0)，G(1,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，A(2,0,0)．＝(－2,0,2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)．设平面EFG的法向量为n＝(x，y，z)．∴ 取n＝(1,0,1)．∵n·＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0，∴n⊥.又AP 平面EFG，∴AP∥平面EFG. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥
( http: / / www.21cnjy.com )平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由．【解】 分别以AB、AD、AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图．则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0),
设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)，∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)，∴由CE∥平面PAB,
可得⊥.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0.∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1．在空间中，平行有几种情况？ 2．如何用空间向量求各种平行关系？
活动五：作业布置、提高巩固书面作业：P118
A组：13板书设计：
用向量方法研究立体几何一平行1、空间中平行种类
例1：
例2：
2、用向量方法解决空间平行的步骤？
教学后记：课题：
3.2.1立体几何中的向量方法（一）
总第
个教案
课型：
新授课
上课时间：
年
月
日星期____
教学目标
1.知识与技能掌握空间中直线的方向向量、平面法向量的表示，并会用它们来判断直线与平面的位置关系。
2.过程与方法通过分析、推导让学生掌握空间中直线的方向向量、平面法向量的表示，会确定点的坐标，掌握空间中判断直线与平面的位置关系。
3.情感、态度与价值观通过学生对问题的探究思考，广泛参与，提高学习质量，会用空间想像思维解决生活中实际问题。
教学重点
直线的方向向量、平面的法向量表示，直线与平面的位置关系。
教学难点
直线的方向向量、平面的法向量表示，直线与平面的位置关系。
教学方法
通过观察.类比.思考.交流和讨论等.
教学过程：
批
注
活动一：创设情景、引入课题
（5分钟）问题1：回忆上一节课学习过的内容：空间向量的那些内容？空间向量的加法、减法、数乘、数量积运算？问题2：空间向量的基本定理？正交分解？
问题3：平面直角坐标系中的中点坐标表示？今天我们将在前面学习的基础上，进一步学习空间向量运算的坐标表示并进行一些简单的应用．
点题：今天我们学习“立体几何中的向量方法”第一节课活动二：师生交流、进入新知，（20分钟）问题4：空间中，两条直线平行（或共线）的条件？空间任意两个向量、（≠0），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ.问题5：如何确定一个点在空间的位置？在空间
( http: / / www.21cnjy.com )中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？一、空间向量中的三种表示1、点的表示：在空间中任意一点P可以由一个定点O和一个位置向量来确定。如下图：向量称为点P的位置向量。2、直线的表示：空间中任意一条直线可以由一个定点和它的方向向量来确定（并且可以具体表示出直线上的任意一点），如上图：注：凡是与直线L平行的向量都可以做直线L的方向向量。3、平面的表示：空间中任意
( http: / / www.21cnjy.com )一个平面可以平面内的一定点和平面内两个不共线的向量确定（并且可以具体表示出平面内的任意一点）；还可以由平面内一定点和平面的一个法向量来确定
( http: / / www.21cnjy.com )；
一点A与向量，法向量：如果直线，取直线的方向向量，则向量叫做平面a的法向量。注：凡是与平面a垂直的向量都可以做平面a的法向量。问题6：如果另有一条直线，在直线m上任取向量b,向量b与a有什么关系？问题7：立体几何中，直线与直线、直线与平面、平面与平面有几种位置关系？你能用直线的方向向量与平面的法向量来表示以上关系吗？4、空间中直线、平面位置关系的向量表示：设直线的方向向量是，直线的方向向量是，平面的法向量，平面的法向量，∥a∥b (a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)l∥α a·u＝0 a1a3＋b1b3＋c1c3＝0α∥β u∥v (a3，b3，c3)＝k(a4，b4，c4)l⊥m a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.l⊥α a∥u a＝ku (a1，b1，c1)＝k(a3，b3，c3)(k∈R)．α⊥β u⊥v u·v＝0 a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.练习：书本P104：1、2活动三：合作学习、探究新知（18分钟）例1：已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD与平面SAB的一个法向量．(2)求平面SCD的一个法向量．【思路探究】 (1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？【自主解答】 以点A为原点，AD、AB
( http: / / www.21cnjy.com )、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(，0,0)，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴＝(，0,0)是平面SAB的一个法向量．(2)在平面SCD中，＝(，1,0)，＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥.所以
得方程组∴令y＝－1得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．小结：求一个平面法向量的方法1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．3．在利用上述步骤求解平面的法向量
( http: / / www.21cnjy.com )时，方程组有无数多个解，只需给x，y，z中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．补充练习： 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD1B1的一个法向量．(2)平面BDEF的一个法向量．【解】 设正方体ABCD－A1B1
( http: / / www.21cnjy.com )C1D1的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)(1)连AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以＝(－2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量．(2)＝(2,2,0)，＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．∴ ∴ ∴令x＝2得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2,1)即为平面BDEF的一个法向量.活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1．在空间中，如何表示一个点？一条直线？一个平面？ 2．如何用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系？
活动五：作业布置、提高巩固书面作业：补充板书设计：
用向量方法研究立体几何一1、空间中点、直线、平面的表示
例1：
例2：
2、用向量表示直线与平面位置关系3、平面法向量的求法
教学后记：
