4.4.2对数函数的图象和性质 教学设计（表格式)

教学设计
课题 4.4.2对数函数的图象和性质
教学内容分析 本课时是第四单元对数函数中的第二课时，是研究对数函数图象和性质的第一课时。我们知道幂函数、指数函数都是通过对现实世界中同类运动变化现象中的变量关系和规律的归纳、概括得出的，而对数函数是通过分析指数函数“反过来的问题”，利用指数函数的单调性、指数与对数的关系而获得的，这是很不相同的。因此对数函数的图象与性质的研究，与前两个函数的图象与性质的研究方法也有很大不同，幂函数、指数函数的图象与性质的研究，是通过描点法作图象，再通过观察图象，结合解析式的代数意义和相关运算得出函数性质，而对数函数的图象与性质的研究主要通过指数与对数的内在联系，利用指数函数的图象与性质得出对数函数的相关结论。在研究的过程中使学生建立起结构化的认知结构，体现更高的函数观点和更本质的数学思维方式。
2.学情分析 对数函数是高中阶段学生学习的第三个基本初等函数，学生已经具备了较好的函数认知基础。因为对数函数是在其反函数——指数函数得到完整研究的基础上展开的，要借助对数与指数的内在联系，利用指数函数研究对数函数，这种看问题的观点、研究问题的方法是学生以往经验中没有的，所以在教学中，要通过对数与指数的内在联系，教师可采取适当的教学手段(如列表对照、将图象画在同一个坐标系中进行比较等)，借助指数函数认清对数函数的对应关系，强调通过代数运算的方法研究对数函数的性质，在画对数函数的图象时也要注意引导学生把它与指数函数的图象联系起来，使学生在借助指数函数研究对数函数的过程中领会这种研究方法的特点。
3.目标确定 （1）能用描点法或借助信息技术工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的图象特征，归纳其性质； （2）类比指数函数图象与性质的研究路径和方法，结合指数与对数的相互关系，运用函数图象和代数运算的方法研究对数函数的性质，体会特殊到一般、数形结合、分类讨论等数学思想； （3）经历对数函数的图象与性质的研究过程，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养. （4）知道对数函数与指数函数互为反函数.
4.学习重点难点 重点：对数函数的图象和性质及其研究方法、过程. 难点：借助对数与指数的相互关系，从函数图象代数运算探究对数函数的性质.
5.学习活动设计 教师活动学生活动环节一：创设情境，提出问题教师活动 问题1 什么是对数函数？我们是如何得到对数函数的？你准备怎样研究对数函数的性质？ 学生活动 学生回答，回顾研究一类函数的基本路径，即“背景→概念→图象与性质→应用”，类比指数函数，学生应该想到：列表--描点--作图、根据同底数函数图象关系作图、用计算工具作图，并观察图象得出性质。 教师点评： 从代数运算视角看函数，和，是中三个数一个为常数、一个为自变量、一个为函数值所得的三种结果； 研究方案： ①函数解析式→函数图象→函数性质； ②函数解析式→性质； （3）借助指数函数的已有结果认识对数函数.设计意图 对数函数的概念是在学习指数函数的基础上，通过“反过来的问题”，并利用指数和对数的内在联系建立起来的，通过回顾研究一类函数图象和性质的路径和方法，提出研究对数函数图象和性质的研究路径和方法，为接下来的学习指明方向。环节二：问题导向，合作探究教师活动 问题2 (1)利用指数与对数的关系，完善表格中数据，在同一直角坐标系中，用描点法画出和的图象，并观察、猜想图象之间的关系. xyxy-20.25-10.501122438416
(2)你能说一说和的图象之间有什么关系吗？为什么？如果已知的图象的基础上，不用描点法，你将如何画出的图象？ (3)在研究指数函数的图象和性质时，我们已经知道底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称。那么对于底数互为倒数的两个对数函数，与的图象是否有某种关系？比如函数和，它们的图象是否也有某种对称性呢？请你利用两个函数的解析式进行分析，再根据你得到的结论，借助函数的图象画出函数的图象. (4)类比和时的对数函数图象的作图过程，先想象底数为，及，时，对数函数图象的关系和形状，再在同一坐标系内画出这些函数的图象. (5)类比指数函数性质的研究过程，先思考从哪些角度观察这些函数的图象，再自己设计一个表格，写出对数函数的性质. 问题3 (1)你能从代数运算的视角获得对数函数的这些性质吗？ (2)四个对数函数图象如图所示，你能给出的大小关系吗？ 问题4 对于一般的指数函数与对数函数，它们的图象间是否有某种关系？ (2)对照指数函数、对数函数的图象和性质，你有什么发现？你能解释其中的原因吗？ 学生活动 问题2 让学生动手画图、独立思考，充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，关注基本活动经验的积累，再通过展示交流讨论，培养学生从特殊到一般的规律总结能力，渗透数形结合的思想方法，最后形成共识。 类比指数的取点，描点法作图时可关注一些特殊点，如：等； 学生观察图象，得出和的图象关于y=x对称.已知的图象，可利用对称性直接得出的图象。(代数证明过程有一定难度，若学生不能回答，可由教师讲解。) 设点P(a,b)是函数图象上任意一点，则 ，于是，所以点Q(b,a)满足 ，即点Q在的图象上；反之，设点是图象上任意一点，则，于是，所以点在图象上.综上可知，和的图象关于y=x对称。 (3)学生类比指数函数中的研究方法进行分析，若有困难，教师可适当通过问题引导： 利用换底公式有，则与的图象关于x轴对称，即底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。函数图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点都在的图象上，反之也对。因此借助函数的图象，利用对称性可直接画出的图象。 学生独立完成，再由教师通过信息技术作出更多图象，由此从整体上突出对数函数的特征，清晰地呈现出对数函数图象的类型，从而促使学生想到分类讨论对数函数的图象和性质. 学生独立思考、作答，有意培养学生由图象获得性质的方式和步骤。教师通过课堂巡视帮助有困难的学生，再进行班级交流互动，得出对数函数的性质。 问题3 先让学生小组讨论，自主尝试，再展示交流，最后形成共识。 (1)由对数的定义可得到对数函数的定义域、值域；由可知所有对数函数都过点(1,0)；由对数与指数的转化及其运算性质可证明其单调性等； (2)由知，作y=1与图象交点的横坐标就可获得的大小关系。 问题4 先让学生类比问题2(2),独立思考，自主尝试，再展示交流，最后形成共识。 (1)和的图象关于y=x对称. 设点P(m,n)是函数图象上任意一点，则，于是，所以点(n,m)满足，即点在的图象上；反之，设点是图象上任意一点，则，于是，所以点在图象上.综上可知，和的图象关于直线y=x对称。 (2)指数函数与对数函数: ①定义域和值域互换； ②所过定点的横坐标相互交换； ③单调性都分两类情况，而且单调性一致； ④函数图象关于直线y=x对称。 因此指数函数与对数函数 具有上述的特殊关系，完全是由这两个函数的对应关系之间的特殊关系决定的，我们称具有这种特殊关系的两个函数互为反函数。设计意图 通过三个问题引领，构建研究对数函数的图象与性质的整体架构，始终以指数与对数的内在联系为纽带，先由教师示范建立函数和的联系，利用函数的图象作出函数的图象，并在此过程中认识它们关于直线y=x对称；再利用对数换底公式建立与的联系，并利用的图象画出的图象。接着，让学生仿照这个过程作出底数为，及，等时的函数图象，并由教师通过信息技术作出更多图象，由此从整体上突出对数函数的特征，在充分研究函数图象后，先让学生类比指数函数的性质，明确观察函数图象的角度，再观察、归纳具体的对数函数的共同特征，进而概括出对数函数的性质。然后通过问题3，引发学生思考如何从代数运算角度获得这些性质，最后让学生比较指数函数、对数函数的图象与性质表，得出它们之间的内在联系。这样设计图象与性质的研究，数形结合非常紧密，而且突出了代数运算的作用，可以让学生充分体会指数函数与对数函数的特殊关系，领悟通过代数运算和函数图象认识函数性质的方法，提高研究函数问题的逻辑性，增加理性思维的成分。环节三：典例分析，巩固理解教师活动 问题5 （教材例3）比较下列各题中两个值的大小： (1) (2) (3) 变式：设则（ ） A. B. C. D.学生活动 先由学生独立思考作答，再让学生交流比较对数值大小时常用的四种方法： 同底数的利用对数函数的单调性。 同真数的利用对数函数的图像或用换底公式转化。 底数和真数都不同，找中间量。 若底数为同一个参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论。学生活动 （学生在真实问题情境中开展学习活动，与教的环节对应） 设计意图 问题解决重在通过观察数字的结构特征，不仅引导学生从同真数的角度思考问题，采用换底公式进行比较；也引导从不明显、不常见的中间值的角度进行思考，由此逐渐扩大学生的思维层面。环节四：小结提升，形成结构教师活动 问题6 回顾本节课的学习过程，回答下列问题： 结合图象谈谈对数函数有哪些性质？ 在研究对数函数的图象和性质中，我们采用了怎样的探究过程和方法？ 学生活动 让学生先总结，再进行全班交流、互动，教师点评学生的总结，并及时补充完善，最后形成比较完整的认识。学生活动 （学生在真实问题情境中开展学习活动，与教的环节对应） 设计意图 帮助学生构建知识体系，本节课到底学了哪些内容。 明确研究路径和方法：类比指数函数“列表、描点、画图”的方式获得对数函数图象和性质；从代数运算角度对对数函数解析式分析获得其图象和性质；用对数函数与指数函数的特殊关系分析获得其图象和性质。
6.板书设计 4.4.2对数函数的图象和性质 1.画图感知，归纳性质 2.代数运算，得到性质 课堂小结 多媒体演示区 学生板演展示区
7.作业与拓展学习设计 基础必做：必修一140页习题4.4第2,4,7题；拓展选做：12,13题.
8.特色学习资源分析、技术手段应用说明 利用工具画出对数函数的图象，演示当底数变化时对应的一组对数函数图象，帮助学生形成对数函数性质的直观认识，为归纳性质做好准备。
9.教学反思与改进 教学过程中，要注意引导学生积极参与思考，应给予学生充足的思考和展示的时间，促使学生真正理解指数函数与对数函数之间的关系，提高数学核心素养。
学习评价设计 评价任务1 类比指数函数取点，能用描点法画出的图象。(对应目标1) 评价任务2 类比底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，能通过代数运算得出底数互为倒数的两个对数函数的图象关系，并能借助的图象画出函数的图象.(对应目标2) 评价任务3 学生能通过自己画出底数取不同值时的图象，并观看演示对数函数图象变化动画，总结图象特征，类比指数函数的性质自己归纳对数函数的性质。(对应目标2) 评价任务4 学生小组讨论探究如何通过代数运算获取对数函数的性质，并板演如何通过代数运算获得对数函数的单调性的过程。(对应目标2) 评价任务5 对照指数函数、对数函数的图象和性质，归纳总结得出反函数的概念。(对应目标4) 评价任务6 通过比较函数值大小的例题及变式，加深对数函数性质的理解，后配有两道目标检测题。(对应目标3) 目标检测 比较下列各题中两个值的大小： (1) (2) (3) 变式：设 ，则（ ） A. B. C. D.