2025-2026学年苏科版九年级数学上册期末检测卷（1-4章）（含答案）

2025-2026学年九年级数学上册期末检测卷（1-4章）
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．数据38，42，42，43，45，45，45的众数是（ ）
A．38 B．42 C．43 D．45
2．若关于x的一元二次方程的一个根是1，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，是的直径，点在圆周上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．在一个不透明的袋子里有红球、白球若干个，其中白球12个，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．不断重复这一过程，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子里红球的个数估计是（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
5如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．阅读材料：方程（b，c为常数）的两实根为，，所以方程可表示为．将等号左边展开得，与原方程对比，得到，．根据材料解决问题：一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知是外一点，用直尺和圆规过点作的切线．以下是甲、乙两人的作法：
下列判断正确的是（ ）
甲：①如图1，连接，以为直径作圆，交于，两点． ②连接，，，就是的切线． 乙：①如图2，连接，交于点．以点为圆心，为半径画弧，交于点． ②连接，就是的切线．
A．甲、乙的作法都正确 B．甲、乙的作法都错误
C．甲的作法错误，乙的作法正确 D．甲的作法正确，乙的作法错误
8．宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．定义新运算： 若， 则x的值为
10．若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是
11．如图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，圆形拱门所在圆的半径长为，拱门高为 ．
12．为了解锦绣育才集团学校九年级男生的身高情况，随机抽取了集团学校100名九年级男生，他们的身高x（）统计如下：
组别（）
人数 5 37 43 15
根据以上结果，任意抽查集团学校一名九年级男生，他的身高不小于的概率是 ．
13．如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是 ．
14．云南省某中学为弘扬民族文化，组织“非遗剪纸”社团活动．如图是甲，乙两个班级次剪纸作品获一等奖数量的条形统计图（单位：件），则两个班级作品获一等奖数量的稳定性更强的是 班．

15．如图，、分别切于、，，是劣弧上的点（不与点、重合），过点的切线分别交、于点、．则的周长为 ．
16．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则 后 DPQ的面积为？
三、解答题（11小题，共68分）
17．解方程：
(1)； (2)．
18．某班学生到吉林省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以契丹文八角铜镜为背景的三款文创产品：“A．书签”、“B．钥匙扣”、“C．冰箱贴”，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品，如果抽到每一款的可能性相同，用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率．
19．如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
20．甲、乙两位同学参加数学综合素质测试，各项成绩如下表：（单位：分）
数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践
学生甲 93 93 89 90
学生乙 94 92 94 86
(1)甲成绩的众数是 分，乙成绩的中位数是 分；
(2)如果数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，那么甲、乙的数学综合素质成绩分别为多少分？
21．如图，已知和上的一点A．
【实践与操作】
（1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）．
【应用与证明】
（2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明．
22．甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘一次，乙转动转盘一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘．
(1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘上的一个数字使得游戏公平（不需要写出理由）．
23． 阅读理解材料：已知实数m，n满足，，且．根据材料．求的值．
解：由题意，可得：m，n是方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得：，，
∴．
解决以下问题：
(1)若方程的两个实数根为，，则 ．
(2)已知实数m，n满足，，且，求 的值．
(3)已知实数p，q满足，，且，求的值．
24．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线的长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中弧的长度；
(2)求这个圆锥的侧面展开图中的度数；
(3)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度．
25．如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：
(1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使；
(2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使；
(3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且．
26．学习了圆的切线这节内容后，小婉根据“直径所对的圆周角是直角”设计出了“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程，她的思路如下：
已知：如图，及外一点．求作：的过点的两条切线．
作法：①连接，作线段的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，以为半径作，与交于两点和；
③作直线，直线，
则直线和直线是的两条切线．
(1)请你使用直尺和圆规按照上述作法进行作图（保留作图痕迹）
(2)求证：，是的切线，且．
证明：连接，，如图．
为的直径，
；
，，
又点，在上，
，是的半径，且，
，是的切线．（经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线）
在和中，
（ ）（填推理的依据），
．
27．阅读材料，并解决问题：
【学习研究】赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得新方程，所以原方程的正数解为．
(1)上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是 ．
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．整体代换思想
(2)【实践】小明根据赵爽的办法解方程请你帮忙画出相应的图形，将其求解过程补充完整：
第一步：将原方程变形为 ；
第二步：画四个全等的矩形构造“空心”大正方形（请在图2中画出示意图），则新构图中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即 （用式子表示即可）
第三步：得新方程 ．因为表示边长，解得 ．
(3)【应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图来解．已知图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，那么此方程的正根为 ．
参考答案
一、选择题
1．D
【详解】解：∵ 数据序列为：38， 42， 42， 43， 45， 45， 45；
∴ 38出现1次，42出现2次，43出现1次，45出现3次；
∴ 45的出现次数最多，故众数为45．
故选：D．
2. C
【详解】解：把代入方程：，
解得 ，
故选：C．
3．A
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：A．
4．A
【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在，
∴摸到红球的概率为，
∴袋子里红球、白球的总数为，
∴袋子里红球的个数估计是．
故选：A．
5．A
【详解】A、 与不一定相等，符合题意；
B、 ∵直径，
∴，故不符合题意；
C、∵直径，
∴，故不符合题意；
∴，故D不符合题意，
故选：A．
6．C
【详解】解：∵一元三次方程（b，c，d为常数）的三个实根分别为，，，
∴方程可表示为：，
∴，
∴，
∴，，；故选项C正确，选项B，D错误；
∵，
∴；故选项A错误；
故选C．
7．D
【详解】解：甲：连接、，
由作图知，是直径，
∴，
又∵、是的半径，
∴是的切线；
∴甲的作法正确；
乙：连接，
由作图知，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
若是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵不一定等于，
∴不一定是的切线，
∴乙的作法不正确；
故选：D．
8．D
【详解】设房价比定价 元增加元，根据题意得，
，
故选：D．
二、填空题
9．或
【详解】解：由新运算定义，，
根据题意，，
整理得：，
因式分解得：，
解得：或，
故答案为：或．
10．8
【详解】解：由题意，原数据平均数为5，故数据之和为．
新数据之和为．
新数据的平均数为．
故答案为：．
11．9
【详解】解：如图，连接，
由垂径定理得，，
在中，由勾股定理得，，
即，
得．
故答案为：9．
12．
【详解】解：因为身高不小于的人数为，总人数为100，
所以概率为．
故答案为．
13．
【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
14．甲
【详解】解：由统计图可知，甲次的数量为，，，，，
∴平均数为，
∴方差为，
乙次的数量为，，，，，
∴平均数为，
∴方差为，
∵，
∴甲稳定，
故答案为：甲．
15．
【详解】解：∵、分别切于、，
∴，
∵过点的切线分别交、于点、，
∴，
∴的周长
．
故答案为：16．
16．2秒或4秒
【详解】解：设运动秒钟后 DPQ的面积为，则，，，，
，
，
，
，
∴，
解得：，．
答：运动2秒或4秒后 DPQ的面积为．
故答案为：2秒或4秒
三、解答题
17．（1）解：
，；
（2）解：
，．
18．解：画出树状图，
共有9种情况，其中甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”有4种，
所以甲、乙两位同学都抽不到“C．冰箱贴”的概率为．
19．（1）解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵=，
∴．
20．（1）解：甲成绩的众数是93分，
乙成绩排序为86，92，94，94，
∴乙成绩的中位数是（分），
故答案为：93，93；
（2）解：甲的数学综合素质成绩为（分），
乙的数学综合素质成绩为（分）．
21．解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求．
（2）四边形是矩形．理由如下：
如图，连接，
∵六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
22．（1）解：列表如下：
A B 2 3 4
1
3
事件所有可能情况为6种，其中指针所在区域的数字之和为偶数的有2种，
则甲获胜的概率为．
答：甲获胜的概率为．
（2）解：不公平；
理由如下：
由（1）知，指针所在区域的数字之和为奇数的有4种，
则乙获胜的概率为．
而甲获胜的概率小于乙获胜的概率，
所以游戏不公平．
把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平．
答：游戏不公平；甲获胜的概率小于乙获胜的概率；把A盘中的数字1或3换成2，另一个不变，即可保证游戏的公平．
23．（1）解：根据题意得：，，
∴，
故答案为：；
（2）解： ，，且，
、可看作方程的两个不等的实数根，
，，
；
（3）解：，即，
，
∴方程两边除以得：，
，即，且，
、可看作方程的两个不等的实数根，
，，
．
24．（1）解：弧的长度=底面圆的周长；
（2）解：设的度数为n．
，
解得，
所以，的度数为；
（3）解：连接，过B作于D，
∴，，
∵由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即这根绳子的最短长度是
25．（1）解：如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，弦即为所求；
理由：，
；
（2）解：如图，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，弦和即为所求；
理由：∵=，
；
（3）解：如图，以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦，弦即为所求．
理由：
连接，由作法可得， ，
∵，
∴，
∴ ，
，
，
，
同理，
，
，
，
．
26．（1）解：（1）如图所示：、即为所求．
（2）证明：连接，，如图．
为的直径，
；
，，
又点，在上，
，是的半径，且，
，是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）
在和中，
，
．
故答案为：，垂直，．
27．（1）解：上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为：B；
（2）第一步：将原方程变形为，
第二步：新构图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个小正方形面积之和，即，
第三步：得新方程，因为表示边长，解得；
故答案为：，，，，；
画出示意图如下：
（3），
，
根据题意可得，，
，
该方程为，
，
解得方程的正根为，
故答案为：．