八年级数学苏科版上册5.5 《一次函数与二元一次方程》同步练习（含答案）

5.5 《一次函数与二元一次方程》同步练习
一、单选题
1．如图所示，已知点是一次函数图象上的一点，则方程的解是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．一次函数与的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，直线和交于P，当时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．在直线、直线与轴所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，则“美点”的个数为（ ）
A．300 B．400 C．360 D．320
5．已知方程的解与下列选项中两个函数图象的交点相对应的是（ ）
A．B．C． D．
6．关于一次函数与，下列说法：
①两函数的图象关于轴对称；②两函数的图象和轴围成的三角形的面积为24；
③函数（是常数，且）的图象一定过点．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点．若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题
8．如图所示，直线与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ．
9．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ．
10．已知直线：经过，两点，直线．
（1）若，则a的值为 ；
（2）当时，总有，则a的取值范围是 ．
11．如图，正比例函数与一次函数的图象交于点．下面四个结论：①；②；③不等式的解集是；④当时，．
其中正确的是 ．

12．如图，函数和的图象相交于点．
（1）不等式的解集为 ．（2）不等式的解集为 ．
13．如图，已知在平面直角坐标系中，，，，点D为线段上的一个点，点E是线段上一点，若点C和点E关于所在直线对称，则D点的坐标为 ．
三、解答题
14．已知一次函数

(1)补充完整下列表格，并画出这个函数的图象．
x … 0 1 …
… 0 …
(2)结合函数图象，方程的解为______．
(3)结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．
15．已知与成正比例，当时，．
(1)求与之间的函数关系式，在下列坐标系中画出函数图像；
(2)结合图像，写出当时自变量的取值范围：_____．
16．已知一次函数的图象经过点．
(1)求的值；(2)画出函数的图象；(3)结合图象，直接写出不等式组的解集．
17.直线与x轴交于点A ，与y轴交于点B，直线与x轴交于点，与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1 ．
(1)求A，B两点的坐标；(2)直接写出方程组的解；(3)求a，b的值；(4)求的面积．
18．阅读以下材料，解决问题：我们知道，二元一次方程有无数组解，我们把一组解中x，y对应的数值看作一个有序数对．在平面坐标系中，标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．例如：二元一次方程． 有无数组解，方程的解 对应点，对应点 ，同理得到点、我们把这些点用平滑的曲线连接正好是一条直线，如图所示．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应方程的解，所以我们把这条直线就叫做方程的图象．
结论：一般的，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，任意一个二元一次方程的图象都是一条直线．
(1)以下选项中在方程的图像上的点有________．
① ② ③ ④
(2)已知是关于、方程和图像的交点上，求的值．
(3)已知无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过某一定点，求这个点的坐标．
19．将方程的解写成有序数对的形式，对应平面直角坐标系中点的坐标，如方程的解，对应点，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象．
【探索发现】按照下列步骤画出二元一次方程的图象：
列表：利用表格列举二元一次方程的部分解：
… 0 1 3 …
… 1 2 3 4 …
①填空：______，_______；描点、连线：②在下面的平面直角坐标系中描出表中的这些点，并过其中任意两点画直线，该直线即为二元一次方程的图象．
③下列四个点在方程的图象上的是（ ）（多选）
A． B． C． D．
【学以致用】④根据上述方法，直接在上面的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象；
⑤由图象直接写出二元一次方程组的解是_______；
【拓展提升】⑥若，试确定的取值范围．
20．探究与应用：二元一次方程的为“图象”
【知识结构】我们知道二元一次方程有无数组解，每一组解就是一组有序数对，而一组有序数对在平面直角坐标系中以坐标的点呈现．
【操作提炼】
（1）操作填表：使上下每对x，y的值是方程的解，并将以这些解为坐标的点在平面直角坐标系（图1）中描出来．
… -2 0 …
… 0 1 2 …
（2）提炼1：所有满足“任意一个实数，与该实数的2倍组成的有序数对就是的一组解”，即是的一组解，以其所有的解为坐标的点能形成连续不断的图形．
（3）提炼2：一般地，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条____________（填“线段”“射线”或“直线”）．
【拓展应用】（4）根据以上结论，在同一平面直角坐标系（图2）中画出二元一次方程组两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解．
（5）若二元一次方程的图象与另一个二元一次方程的图象的交点的横坐标是，请直接写出一个符合条件的二元一次方程．
21．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），我们称一次函数为“原函数”，一次函数为“原函数”的“相关函数”．例如：“原函数”的“相关函数”为．
【理解运用】（1）直接写出当“原函数”为的“相关函数”的表达式；
（2）若一次函数的“原函数”的图象与它的“相关函数”的图象相交于点，
①求点的坐标；②若直线与一次函数的“原函数”的图象和它的“相关函数”的图象分别交于点，点在轴上，当的面积为6时，求点的坐标．
【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，将“原函数”的图象位于轴上方部分与它的“相关函数”的图象位于轴上方部分记作图形，当图形与线段的交点有且只有1个时，的最大值为_____，的最小值为_____．
22．一次函数图像经过和两点．
(1)求这个一次函数的解析式；(2)当时，求的值．(3)将的图像向下平移3个单位长度得到的图像，求的解析式． (4)若的图像与y轴交于点C，求的面积.
参考答案
一、单选题
1．B
【详解】解：根据题意，当时，，∴方程的解是．故选：B．
2．B
【详解】解：由图象可知，的解集为，在数轴上表示解集为：
故选B．
3．D
【详解】解：根据图象可知，当时，x的取值范围是．故选：D．
4．B
【详解】解：令，解得：，把代入得：，
∴两条直线的交点为，
把分别代入，得：，，
∴直线与直线与y轴的交点坐标分别为：，，
∴y轴上的“美点”有；
对于，当x为偶数时，为整数，当时，最大偶数为，因此在上有“美点”的个数为：（个），
对于，当x整数时，为整数，当时，最大整数为，因此在上有“美点”的个数为：个，∴“美点”的个数为：（个）．故选：B．
5．A
【详解】解：∵，
∴，解得：，∴两个函数图象的交点坐标为，
∴交点在第一象限且纵坐标大于横坐标，即A选项符合题意．故选A．
6．B
【详解】一次函数与的图象如图所示，
由图象可得，两函数的图象关于轴对称，故①正确；的面积，故②错误；
函数
当时，
∴函数（是常数，且）的图象一定过点，故③正确．
综上所述，其中正确的个数是2个．故选：B．
7．D
【详解】解：把代入得：，∴，
联立，解得∴点的坐标为，
当直线经过点，则，解得，
当直线经过点，则，解得：，
∵直线与线段有交点，∴的取值范围为或．故选：D．
二、填空题
8．
【详解】解：由图知：直线与轴交于点，即当时，；
因此关于的方程的解为：．故答案为：．
9．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴当时，，故答案为：．
10．
【详解】解：（1）∵直线经过，两点
∴解得：∴：∵∴，故答案为：；
（2）联立，解得，∴直线与直线的交点坐标为,
∵当时，总有，∴解得：．故答案为：．
11．②③④
【详解】①由图象可知正比例函数的图象从左到右下降，根据正比例函数的性质，当时，图象从左到右下降，所以，故①错误；
②一次函数的图象与轴的交点在轴正半轴，根据一次函数的性质，当时，图象与轴交于正半轴，所以，故②正确；
③不等式的解集是就是正比例函数的图象在一次函数图象上方部分对应的的取值范围，由图象可知，此时，故③正确；
④当时，，，根据有理数乘法法则，异号得负，所以，故④正确；
故答案为：②③④．
12．
【详解】解：（1）当时，，
由题图可知，当时，；
（2）的图象经过点，∴，
当时，，即在函数的图象上
又∵在的图象上∴与相交于点 则函数图象如图，
则不等式的解集为．故答案为：；．
13．
【详解】解：在中，根据勾股定理，得，
点C和点E关于所在直线对称，是的垂直平分线，
又点E是线段（轴）上一点，，的中点坐标为，
设直线的解析式为，将的中点坐标和分别代入，
得到，解得，直线的解析式为．
设直线的解析式为，将，，分别代入，
得到，解得，直线的解析式为．联立直线与直线的解析式，
得到，解得．D点的坐标为．故答案为：．
三、解答题
14．（1）解：当时，；
当时，；当时，，解得：．列表如下：
x … 0 1 …
… 3 1 0 …
描点： ，，
连线，画出函数图象，如图所示．

（2）观察图象可知：当时，一次函数的图象与x轴相交，
方程的解是，故答案为：；
（3）观察图象可知：当时，
15．（1）解：设与之间的函数关系式为，
∵当时，，∴，∴，∴，即；
函数图象如下所示：
（2）解：在中，当时，，
∵，∴y随x增大而减小，∴当时自变量的取值范围．
16．（1）解：∵一次函数的图象经过点∴，∴；
（2）解：∵，∴，当时，，
∴一次函数图象与轴的交点坐标为，过点和画函数图象如下：
（3）解：由函数图象可知，当时，，
∴不等式组的解集为．
17.（1）解：对于直线，
当时，，解得；当时，，解得，∴，；
（2）解：∵直线与直线 m 交于点 P ，若点P的横坐标为1，
∴将代入，则，解得，∴，
∴方程组的解为；
（3）解：将，代入直线，则，解得；
（4）解：∵，，，∴，
∴．
18．（1）解：①当时，则，，故在方程的图象上；
②当时，则，，故不在方程的图象上；
③当时，则，，故不在方程的图象上；
④当时，则，，故在方程的图象上；
在方程的图象上的点有①④．故答案为：①④；
（2）由题意，是关于、方程和图象的交点上，
①，且②，得，，
答：的值为；
（3）由题意，，，
当时，，即当时，，
无论为何值，关于、的二元一次方程的图象都经过定点．
19．解：①将代入得：，解得：，即；
将代入得：，解得：，即．故答案为：0，2．
②在平面直角坐标系中描出这些点；并过其中任意两点作出直线；
③将代入得：，即A选项不符合题意；
将代入得：，即B选项不符合题意；
将代入得：，即C选项符合题意；
将代入得：，即D选项符合题意；故答案为：C，D．
④画出直线的图象如下：
⑤由④的函数图象可得方程组的解为．
⑥a．当，即时，不等式化为，解得：；所以不等式的解集为
b．当，时，不等式化为，解得：，∴不等式的解集为．
综上所述，．
20．解：（1）符合方程的解的每对x，y的值如下表所示；
… -2 0 1 …
… -4 -1 0 1 2 …
以这些解为坐标的点的位置如图1所示；（2）2a；（3）直线；（4）两个方程的图象如图2所示，
该方程组的解是
（5）（答案不唯一，除外写一个关于x，y且一组解是的二元一次方程即可．）
21．解：（1）原函数为，根据定义，其相关函数为答案：；
（2）①原函数与相关函数的交点，
解得：，代入原函数得，故A点坐标为．
②原函数与直线联立：，解得：代入得，故点B为．
相关函数与直线联立：
，解得：代入得，故点C为
设．∵的面积为6，∴
代入， ， ：
解得：; 或 解得：或
故点的坐标为或．
（3）“原函数”的“相关函数”为，
当时，，∴和都经过点，
如图，当经过点时，取得最小值，∴，解得：
当经过点时，取得最大值，∴，解得：故答案为：；．
22．（1）解：设一次函数的解析式为：，把和代入得：
，解得：，∴一次函数的解析式为：；
（2）解：把代入得：；
（3）解：∵将的图像向下平移3个单位长度得到的图像，
∴的解析式为；
（4）解：把代入得：，∴点C的坐标为，
把代入得： ∴的函数图象与y轴的交点坐标为，
∴．