专题04 整式的乘法
▉考点一 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法的性质
符号语言 文字语言 推导过程
am·an=am+n(m,n都是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
▉考点二 幂的乘方
1幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.例如(a ) 表示的是4个a 相乘，读作a的3次幂的4次方；同理，(am)n表示n个am相乘，读作a的m次幂的n次方.
▉考点三 积的乘方
1.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.例如(ab) ,(ab)n等.
▉考点四 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
▉考点五 单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘法则
文字语言 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号语言 P（a+b+c)=pa+pb+pe(p,a,b,c都是单项式).
图形解释 p(a+b+c)=pa+pb+pc 大长方形的面积=3个小长方形的面积之和
▉考点六 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘法则
文字 语言 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号 语言 (a+b)(p+9)=ap+aq+bp+bq(a,b,p,q都是单项式).
图形 解释 (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 大长方形的面积=四个小长方形的面积之和
▉考点七 同底数幂的除法
同底数幂的除法的性质
文字语言 符号语言 推导过程
同底数幂相除，底数不变，指数相减. am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，m>n). 当a≠0,m,n都是正整数，m>n时，∵am-n·an=a(m-n)+n=am,∴am÷an=am-n.
▉考点八 零指数幂
当a≠0,m,n都是正整数，m>n时，am÷an=am-n.那当m=n时，am÷an=am-n还成立吗
猜想探究：
第①步：假设m=n时，同底数幂的除法的性质仍然成立，则a"÷
am=am-n=a .
第②步：由除法的意义可得am÷an=am÷am=1.
第③步：比较上面两步，若要在m=n时也成立，需要规定a =1(a≠0),才能保证运算结果的一致性.
归纳结论：
零指数幂的性质
文字语言 符号语言
任何不等于0的数的0次幂都等于1. a =1(a≠0)
▉考点九 单项式除以单项式
单项式除法法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
▉考点十 多项式除以单项式
多项式除以单项式法则
文字语言 符号语言
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. (am+bm)÷m=am÷m+bm÷m(a,b,m都是单项式).
▉考点十一 平方差公式
1.探究(乘法的)平方差公式
(1)用多项式乘法推导平方差公式
(2)借助几何图形推导平方差公式
图形
阴影面积 a -b (a+b)(a-b)
等量关系 图形变形前后阴影部分的面积相等
结论 (a+b)(a-b)=a -b
2.(乘法的)平方差公式：
符号语言 文字语言
(a+b)(a-b)=a -b . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
3.平方差公式的结构特点：
(1)等号左边：是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项),另一项互为相反数(通常变形后放在第二项).
(2)等号右边：乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
4.平方差公式的变化及应用：
变化形式 应用举例
(1)位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a -b .
(2)符号变化 (-a+b)(-a-b)=(-a) -b =a -b .
(3)系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=(3a) -(2b) =9a -4b .
(4)指数变化 (a +b )(a -b )=(a ) -(b ) =a -b .
(5)项数变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b) -c .
(6)连用公式变化 (a+b)(a-b)(a +b )=(a -b )(a +b )=a -64.
▉考点十二 完全平方公式
1.探究(乘法的)完全平方公式
(1)用多项式乘法推导完全平方公式
(a+b) =(a+b)(a+b)=a +ab+ab+b =a +2ab+b .
(a-b) =(a-b)(a-b)=a -ab-ab+b =a -2ab+b .
(2)借助几何图形推导完全平方公式
图形
阴影面积 (a+b) 或a +2ab+b (a-b)2或a -2(a-b)b-b =a -2ab+b
等量关系 各图中阴影部分的面积相等
结论 (a+b) =a +2ab+b (a-b) =a -2ab+b
2.(乘法的)完全平方公式
符号语言 文字语言
(a+b) =a +2ab+b ; (a-b) =a -2ab+b . 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
3.完全平方公式的特点
(1)两个公式等号左边：都是一个二项式的完全平方，一个是和的完全平方，一个是差的完全平方.
(2)两个公式等号右边：都是一个二次三项式，首项和尾项分别是二项式中两项的平方，中间一项是(加或减)二项式中两项乘积的2倍.
▉考点十三 添括号法则
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.即
一．同底数幂的乘法（共5小题）
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a4＝2a4
2．下面计算正确的是（ ）
A．n3 n7＝n21 B．a3+a5＝a8 C．y4 y5＝y9 D．b4 b4＝2b4
3．若3x＝4，3y＝7，则3x+y的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
4．若am＝2，an＝5，则am+n等于（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
5．已知x+y＝2，则3x 3y的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
二．幂的乘方与积的乘方（共6小题）
6．下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a8 B．（a4）2＝a8
C．（2ab）4＝2a4b4 D．a8 a2＝a4
7．下列计算中，结果等于a8的是（ ）
A．a2 a4 B．（a3）5 C．a4+a4 D．（a4）2
8．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（ ）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
9．下列运算不正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x2）3＝x6
C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣8x3
10．已知am＝3，an＝2，则a3m+2n＝（ ）
A．24 B．36 C．41 D．108
11．比较233，322，511的大小，正确的是（ ）
A．233＞511＞322 B．233＞322＞511
C．322＞233＞511 D．322＞511＞233
三．同底数幂的除法（共4小题）
12．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3 a2＝a6 C．（a3）2＝a9 D．a6÷a2＝a4
13．下列运算一定正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（a3）4＝a7
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．a8÷a6＝a2
14．下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a2+a2＝a3 D．a6÷a2＝a3
15．下列运算中正确的是（ ）
A．b3 b3＝2b3 B．x2 x3＝x6 C．（a5）2＝a7 D．a5÷a2＝a3
四．单项式乘单项式（共5小题）
16．下列运算正确的是（ ）
A．a7﹣a3＝a4 B．3a2 2a2＝6a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a
17．下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3 a3 a3＝3a3
C．2a4 3a5＝6a9 D．（﹣a3）4＝a7
18．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6 B．a6÷a2＝a3
C．（m2）4＝m8 D．4y3 3y5＝12y15
19．下列式子运算正确的是（ ）
A．3x 4x＝12x B．（x2y）3＝x2y3
C．x3 x4＝x7 D．（x3）4＝x7
20．下面是计算（a3）2 a4的过程：
解：（a3）2 a4
＝a6 a4第一步
＝a10第二步
其中，第一步、第二步分别是（ ）
A．积的乘方、同底数幂的乘法
B．幂的乘方、同底数幂的乘法
C．积的乘方、合并同类项
D．幂的乘方、合并同类项
五．单项式乘多项式（共5小题）
21．在等式﹣3x （ ）＝﹣3x3+6x中，括号内表示的整式是（ ）
A．x2﹣2 B．x2+2 C．x+2 D．x﹣2
22．利用图可以解释的是（ ）
A．mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc
B．ma（n+b﹣c）＝man+mab﹣mac
C．ab（m+n﹣c）＝abm+abn﹣abc
D．ac（m+n﹣b）＝acm+acn﹣acb
23．若长方形的两条边长分别是2n和3n﹣1，则此长方形的面积是（ ）
A．6n2﹣1 B．6n2﹣2n C．10n﹣2 D．5n2﹣2n
24．如图，△ABC中，AB＝a，BC＝2a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若△ADG的面积比△CEG的大8，则代数式a（a﹣b）的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16
25．计算：a2（ab+b2）＝（ ）
A．a3b+b2 B．ab+a2b2 C．a3b+a2b2 D．a2b+a2b2
六．多项式乘多项式（共5小题）
26．若（2x+m）（x﹣3）的展开式中不含x项，则实数m的值为（ ）
A．﹣6 B．0 C．3 D．6
27．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“（x+15）（x﹣）”时，得到了各不相同的四个结果：甲，x2﹣120x﹣2025；乙，x2+120x﹣2025；丙，x2﹣160x+2025；丁，x2+160x+2025．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
28．若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝5，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6
29．若（x+m）（x﹣8）的展开式中不含x的一次项，则m的值（ ）
A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8
30．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由x的取值而定
七．完全平方公式（共6小题）
31．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．2a3 3a2＝6a5
C．a4﹣a3＝a D．a8÷a2＝a4
32．下列计算正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a+4a＝6a2
33．下列计算正确的是（ ）
A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2m4+3m4＝5m2 D．a3 a2＝a6
34．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
35．已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2的值为（ ）
A．3 B．9 C．49 D．100
36．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16
八．完全平方公式的几何背景（共6小题）
37．图中的四边形均为长方形，用等式表示图中图形面积的运算为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+ab+b2
38．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3 B．19 C．21 D．28
39．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
40．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
41．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式；
（2）用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，4ab之间的等量关系式；
（3）根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
①若m﹣n＝5，mn＝2，求（m+n）2；
②若2m+3n＝8，mn＝1，求（2m﹣3n）2．
42．用四个如图1所示的长为a，宽为1的长方形，放置在一个长为m，宽为n的大长方形内部，拼成一个如图2所示的图形．
（1）用等式表示m与a之间的数量关系；
（2）设长方形①的周长为C1，长方形②的周长为C2，求C1+C2（用含n的式子表示）．
九．平方差公式（共6小题）
43．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
44．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知x+y＝4，则x2﹣y2+8y的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
45．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
46．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
47．计算：（5x+y）（5x﹣y）．
48．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小．
解：设6788＝a，
那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．
因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．
看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：
若x＝2024×2028﹣2025×2027，y＝2025×2029﹣2026×2028，试比较x，y的大小．
十．平方差公式的几何背景（共7小题）
49．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
50．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（ ）
A．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab B．a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
51．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
52．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
53．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作：
（1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开．
（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
54．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
55．如图，从边长为（a+4）的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A．a（2a+5） B．3（2a+5） C．3（2a+1） D．a（2a+1）
十一．整式的除法（共5小题）
56．已知a3b6÷a2b2＝ambn，则m和n的值分别是（ ）
A．m＝4，n＝1 B．m＝1，n＝4 C．m＝5，n＝8 D．m＝6，n＝12
57．小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（ ）
A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y
C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2
58．一个长方形的面积为9a2﹣6ab，若它的长为3a，则它的宽为（ ）
A．3a﹣6b B．3a﹣2b C．3a﹣2ab D．3a+2b
59．计算：（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷（3x）．
60．先化简，再求值：，其中x＝3，．专题04 整式的乘法
▉考点一 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法的性质
符号语言 文字语言 推导过程
am·an=am+n(m,n都是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
▉考点二 幂的乘方
1幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.例如(a ) 表示的是4个a 相乘，读作a的3次幂的4次方；同理，(am)n表示n个am相乘，读作a的m次幂的n次方.
▉考点三 积的乘方
1.积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.例如(ab) ,(ab)n等.
▉考点四 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
▉考点五 单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘法则
文字语言 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号语言 P（a+b+c)=pa+pb+pe(p,a,b,c都是单项式).
图形解释 p(a+b+c)=pa+pb+pc 大长方形的面积=3个小长方形的面积之和
▉考点六 多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘法则
文字 语言 一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
符号 语言 (a+b)(p+9)=ap+aq+bp+bq(a,b,p,q都是单项式).
图形 解释 (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq 大长方形的面积=四个小长方形的面积之和
▉考点七 同底数幂的除法
同底数幂的除法的性质
文字语言 符号语言 推导过程
同底数幂相除，底数不变，指数相减. am÷an=am-n(a≠0,m,n都是正整数，m>n). 当a≠0,m,n都是正整数，m>n时，∵am-n·an=a(m-n)+n=am,∴am÷an=am-n.
▉考点八 零指数幂
当a≠0,m,n都是正整数，m>n时，am÷an=am-n.那当m=n时，am÷an=am-n还成立吗
猜想探究：
第①步：假设m=n时，同底数幂的除法的性质仍然成立，则a"÷
am=am-n=a .
第②步：由除法的意义可得am÷an=am÷am=1.
第③步：比较上面两步，若要在m=n时也成立，需要规定a =1(a≠0),才能保证运算结果的一致性.
归纳结论：
零指数幂的性质
文字语言 符号语言
任何不等于0的数的0次幂都等于1. a =1(a≠0)
▉考点九 单项式除以单项式
单项式除法法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
▉考点十 多项式除以单项式
多项式除以单项式法则
文字语言 符号语言
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. (am+bm)÷m=am÷m+bm÷m(a,b,m都是单项式).
▉考点十一 平方差公式
1.探究(乘法的)平方差公式
(1)用多项式乘法推导平方差公式
(2)借助几何图形推导平方差公式
图形
阴影面积 a -b (a+b)(a-b)
等量关系 图形变形前后阴影部分的面积相等
结论 (a+b)(a-b)=a -b
2.(乘法的)平方差公式：
符号语言 文字语言
(a+b)(a-b)=a -b . 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
3.平方差公式的结构特点：
(1)等号左边：是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项),另一项互为相反数(通常变形后放在第二项).
(2)等号右边：乘式中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方.
4.平方差公式的变化及应用：
变化形式 应用举例
(1)位置变化 (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a -b .
(2)符号变化 (-a+b)(-a-b)=(-a) -b =a -b .
(3)系数变化 (3a+2b)(3a-2b)=(3a) -(2b) =9a -4b .
(4)指数变化 (a +b )(a -b )=(a ) -(b ) =a -b .
(5)项数变化 (a-b+c)(a-b-c)=(a-b) -c .
(6)连用公式变化 (a+b)(a-b)(a +b )=(a -b )(a +b )=a -64.
▉考点十二 完全平方公式
1.探究(乘法的)完全平方公式
(1)用多项式乘法推导完全平方公式
(a+b) =(a+b)(a+b)=a +ab+ab+b =a +2ab+b .
(a-b) =(a-b)(a-b)=a -ab-ab+b =a -2ab+b .
(2)借助几何图形推导完全平方公式
图形
阴影面积 (a+b) 或a +2ab+b (a-b)2或a -2(a-b)b-b =a -2ab+b
等量关系 各图中阴影部分的面积相等
结论 (a+b) =a +2ab+b (a-b) =a -2ab+b
2.(乘法的)完全平方公式
符号语言 文字语言
(a+b) =a +2ab+b ; (a-b) =a -2ab+b . 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
3.完全平方公式的特点
(1)两个公式等号左边：都是一个二项式的完全平方，一个是和的完全平方，一个是差的完全平方.
(2)两个公式等号右边：都是一个二次三项式，首项和尾项分别是二项式中两项的平方，中间一项是(加或减)二项式中两项乘积的2倍.
▉考点十三 添括号法则
添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.即
一．同底数幂的乘法（共5小题）
1．下列各式中，正确的是（ ）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a4＝2a4
【答案】B
【解答】解：A、a4 a3＝a7，不符合题意；
B、a4 a3＝a7，符合题意；
C、a4与a3不是同类项，所以不能合并，不符合题意；
D、a4 a4＝a8，不符合题意．
故选：B．
2．下面计算正确的是（ ）
A．n3 n7＝n21 B．a3+a5＝a8 C．y4 y5＝y9 D．b4 b4＝2b4
【答案】C
【解答】解：根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐项分析判断如下：
A、n3 n7＝n3+7＝n10，原选项计算错误，不符合题意；
B、a3与a5不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
C、y4 y5＝y4+5＝y9，原选项计算正确，符合题意；
D、b4 b4＝b4+4＝b8，原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．若3x＝4，3y＝7，则3x+y的值为（ ）
A．28 B．14 C．11 D．18
【答案】A
【解答】解：原式＝3x×3y＝4×7＝28．
故选：A．
4．若am＝2，an＝5，则am+n等于（ ）
A．7 B．10 C．25 D．32
【答案】B
【解答】解：∵am＝2，an＝5，
∴am+n＝am an＝2×5＝10．
故选：B．
5．已知x+y＝2，则3x 3y的值是（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【解答】解：∵x+y＝2，
∴3x 3y＝3x+y＝32＝9，
故选：C．
二．幂的乘方与积的乘方（共6小题）
6．下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a4＝a8 B．（a4）2＝a8
C．（2ab）4＝2a4b4 D．a8 a2＝a4
【答案】B
【解答】解：A、a2与a4不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、（a4）2＝a8，故该项正确，符合题意；
C、（2ab）4＝16a4b4，故该项不正确，不符合题意；
D、a8 a2＝a10，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
7．下列计算中，结果等于a8的是（ ）
A．a2 a4 B．（a3）5 C．a4+a4 D．（a4）2
【答案】D
【解答】解：A、a2 a4＝a6，故本选项不符合题意；
B、（a3）5＝a15，故本选项不符合题意；
C、a4+a4＝2a4，故本选项不符合题意；
D、（a4）2＝a8，故本选项符合题意；
故选：D．
8．已知a＝255，b＝344，c＝533，那么a、b、c的大小顺序是（ ）
A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【答案】D
【解答】解：因为a＝255（25）11＝3211，b＝344＝（34）11＝8111，c＝533＝（53）11＝12511，
∴255＜344＜533，
即a＜b＜c．
故选：D．
9．下列运算不正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x2）3＝x6
C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣8x3
【答案】C
【解答】解：A、x2 x3＝x5，故A不符合题意；
B、（x2）3＝x6，故B不符合题意；
C、x3+x3＝2x3，故C符合题意；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故D不符合题意；
故选：C．
10．已知am＝3，an＝2，则a3m+2n＝（ ）
A．24 B．36 C．41 D．108
【答案】D
【解答】解：原式＝a3m a2n
＝（am）3 （an）2
＝33×22
＝27×4
＝108．
故选：D．
11．比较233，322，511的大小，正确的是（ ）
A．233＞511＞322 B．233＞322＞511
C．322＞233＞511 D．322＞511＞233
【答案】C．
【解答】解：233＝（23）11＝811，322＝（32）11＝911，511＝（51）11＝511，
∵5＜8＜9，
∴511＜811＜911，
∴322＞233＞511．
故选：C．
三．同底数幂的除法（共4小题）
12．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3 a2＝a6 C．（a3）2＝a9 D．a6÷a2＝a4
【答案】D
【解答】解：A、a3+a2不是同类项，不能合并，错误；
B、a3 a2＝a5，错误；
C、（a3）2＝a6，错误；
D、a6÷a2＝a4，正确；
故选：D．
13．下列运算一定正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（a3）4＝a7
C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．a8÷a6＝a2
【答案】D
【解答】解：A、a2 a3＝a5，原计算错误，不符合题意；
B、（a3）4＝a12，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣3a2）3＝﹣27a6，原计算错误，不符合题意；
D、a8÷a6＝a2，正确，符合题意．
故选：D．
14．下列计算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a2+a2＝a3 D．a6÷a2＝a3
【答案】B
【解答】解：A、a2 a3＝a5，故错误；
B、（a2）3＝a6，正确；
C、a2+a2＝2a2，故错误；
D、a6÷a2＝a4，故错误；
故选：B．
15．下列运算中正确的是（ ）
A．b3 b3＝2b3 B．x2 x3＝x6 C．（a5）2＝a7 D．a5÷a2＝a3
【答案】D
【解答】解：A、b3 b3＝b6，故A不符合题意；
B、x2 x3＝x5，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、a5÷a3＝a2，故D符合题意；
故选：D．
四．单项式乘单项式（共5小题）
16．下列运算正确的是（ ）
A．a7﹣a3＝a4 B．3a2 2a2＝6a2
C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．a4÷a4＝a
【答案】C
【解答】解：A．a7，a4不是同类项，不能合并，不符合题意；
B．3a2 2a2＝6a4，选项计算错误，不符合题意；
C．（﹣2a）3＝﹣8a3，选项计算正确，符合题意；
D．a4÷a4＝1，选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
17．下列计算中正确的是（ ）
A．a4+a5＝a9 B．a3 a3 a3＝3a3
C．2a4 3a5＝6a9 D．（﹣a3）4＝a7
【答案】C
【解答】解：A、a4与a5不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3 a3 a3＝a9，故B不符合题意；
C、2a4 3a5＝6a9，故C符合题意；
D、（﹣a3）4＝a12，故D不符合题意；
故选：C．
18．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6 B．a6÷a2＝a3
C．（m2）4＝m8 D．4y3 3y5＝12y15
【答案】C
【解答】解：A、x3+x3＝2x3，选项计算错误，不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，选项计算错误，不符合题意；
C、（m2）4＝m8，选项计算错误，符合题意；
D、4y3 3y5＝12y8，选项计算错误，不符合题意．
故选：C．
19．下列式子运算正确的是（ ）
A．3x 4x＝12x B．（x2y）3＝x2y3
C．x3 x4＝x7 D．（x3）4＝x7
【答案】C
【解答】解：A.3x与4x是同类项，可以合并，3x+4x＝7x，A不符合题意；
B．根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘”知（x2y）3＝x6y3，B不符合题意；
C．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知x3 x4＝x3+4＝x7，C符合题意；
D．根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”知（x3）4＝x12，D不符合题意．
故选：C．
20．下面是计算（a3）2 a4的过程：
解：（a3）2 a4
＝a6 a4第一步
＝a10第二步
其中，第一步、第二步分别是（ ）
A．积的乘方、同底数幂的乘法
B．幂的乘方、同底数幂的乘法
C．积的乘方、合并同类项
D．幂的乘方、合并同类项
【答案】B
【解答】解：（a3）2 a4
＝a6 a4第一步
＝a10第二步
第一步是幂的乘方，第二步是同底数幂的乘法，
故选：B．
五．单项式乘多项式（共5小题）
21．在等式﹣3x （ ）＝﹣3x3+6x中，括号内表示的整式是（ ）
A．x2﹣2 B．x2+2 C．x+2 D．x﹣2
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，括号内的整式为：（﹣3x3+6x）÷（﹣3x）＝x2﹣2．
故选：A．
22．利用图可以解释的是（ ）
A．mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc
B．ma（n+b﹣c）＝man+mab﹣mac
C．ab（m+n﹣c）＝abm+abn﹣abc
D．ac（m+n﹣b）＝acm+acn﹣acb
【答案】A
【解答】解：阴影部分的体积为：mn（a+b﹣c），
阴影部分的体积还可以表示为三个小长方体的体积减白色部分，即mna+mnb﹣mnc，
综上所述，mn（a+b﹣c）＝mna+mnb﹣mnc．
故选：A．
23．若长方形的两条边长分别是2n和3n﹣1，则此长方形的面积是（ ）
A．6n2﹣1 B．6n2﹣2n C．10n﹣2 D．5n2﹣2n
【答案】B
【解答】解：2n（3n﹣1）＝6n2﹣2n，
即此长方形的面积是6n2﹣2n，
故选：B．
24．如图，△ABC中，AB＝a，BC＝2a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若△ADG的面积比△CEG的大8，则代数式a（a﹣b）的值为（ ）
A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16
【答案】B
【解答】解：由平移的性质可知，AD＝BE＝CF＝b，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠ECG，∠ADG＝∠CEG，
∴△ADG∽△CEG，
∴＝＝，
∵DE＝AB＝a，DE＝DG+EG，
∴DG＝a×＝b，EG＝a﹣b，
∵△ADG的面积比△CEG的大8，
bb﹣（2a﹣b）（a﹣b）＝8，
∴b2﹣（2a﹣b）2＝32，
即a2﹣ab+8＝0，
∴a2﹣ab＝﹣8，
即a（a﹣b）＝﹣8．
故选：B．
25．计算：a2（ab+b2）＝（ ）
A．a3b+b2 B．ab+a2b2 C．a3b+a2b2 D．a2b+a2b2
【答案】C
【解答】解：a2（ab+b2）＝a3b+a2b2．
故选：C．
六．多项式乘多项式（共5小题）
26．若（2x+m）（x﹣3）的展开式中不含x项，则实数m的值为（ ）
A．﹣6 B．0 C．3 D．6
【答案】D
【解答】解：∵（2x+m）（x﹣3）＝2x2﹣6x+mx﹣3m＝2x2+（m﹣6）x﹣3m，
又∵展开式中不含x项，
∴m﹣6＝0，
即m＝6，
故选：D．
27．甲、乙、丙、丁四位同学在计算多项式“（x+15）（x﹣）”时，得到了各不相同的四个结果：甲，x2﹣120x﹣2025；乙，x2+120x﹣2025；丙，x2﹣160x+2025；丁，x2+160x+2025．已知四位同学中只有1人计算正确，且“”处的数字是正数．则计算结果正确的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】A
【解答】解：（x+15）（x﹣）
＝x2+15x﹣x﹣15
＝x2+（15﹣）x﹣15，
∵“”处的数字是正数．
∴﹣15＜0，
由题意得，
﹣15＝﹣2025，
解得＝135，
∴15﹣＝15﹣135＝﹣120，
∴（x+15）（x﹣）＝x2﹣120x﹣2025，
故选：A．
28．若（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，则m、n的值分别为（ ）
A．m＝5，n＝6 B．m＝1，n＝﹣6 C．m＝1，n＝6 D．m＝5，n＝﹣6
【答案】B
【解答】解：∵（y+3）（y﹣2）＝y2﹣2y+3y﹣6＝y2+y﹣6，
∵（y+3）（y﹣2）＝y2+my+n，
∴y2+my+n＝y2+y﹣6，
∴m＝1，n＝﹣6．
故选：B．
29．若（x+m）（x﹣8）的展开式中不含x的一次项，则m的值（ ）
A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8
【答案】A
【解答】解：原式＝x2+（m﹣8）x﹣8m，
由题意可知：m﹣8＝0，
∴m﹣8＝0，
∴m＝8，
故选：A．
30．若M＝（x﹣3）（x﹣4），N＝（x﹣1）（x﹣6）+4，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N
C．M＜N D．由x的取值而定
【答案】A
【解答】解：M﹣N＝（x﹣3）（x﹣4）﹣[（x﹣1）（x﹣6）+4]
＝x2﹣7x+12﹣（x2﹣7x+10）
＝x2﹣7x+12﹣x2+7x﹣10，
＝2＞0，
∴M＞N．
故选：A．
七．完全平方公式（共6小题）
31．下列运算正确的是（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．2a3 3a2＝6a5
C．a4﹣a3＝a D．a8÷a2＝a4
【答案】B
【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项A错误，不符合题意；
2a3 3a2＝6a5，故选项B正确，符合题意；
a4，a3不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意；
a8÷a2＝a6，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
32．下列计算正确的是（ ）
A．a3 a2＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a+4a＝6a2
【答案】B
【解答】解：a3 a2＝a5，则A不符合题意，
（﹣2a2）3＝﹣8a6，则B符合题意，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，则C不符合题意，
2a+4a＝6a，则D不符合题意，
故选：B．
33．下列计算正确的是（ ）
A．ab2÷ab＝b B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．2m4+3m4＝5m2 D．a3 a2＝a6
【答案】A
【解答】解：A、ab2÷ab＝b，故此选项符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项不符合题意；
C、2m4+3m4＝5m4，故此选项不符合题意；
D、a3 a2＝a5，故此选项不符合题意；
故选：A．
34．已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：∵（x+2y）2＝10，
∴x2+4xy+4y2＝10①，
∵（x﹣2y）2＝18，
∴x2﹣4xy+4y2＝18②，
②﹣①得：﹣8xy＝8，
∴xy＝﹣1．
故选：A．
35．已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2的值为（ ）
A．3 B．9 C．49 D．100
【答案】B
【解答】解：∵（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2，
∴72﹣4×10＝（x﹣y）2，
∴（x﹣y）2＝9，
故选：B．
36．若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ）
A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16
【答案】D
【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式，
∴﹣my＝±4 y 4，
解得：m＝±16．
故选：D．
八．完全平方公式的几何背景（共6小题）
37．图中的四边形均为长方形，用等式表示图中图形面积的运算为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）2＝a2+ab+b2
【答案】B
【解答】解：由题意两个图形面积相等，
则有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
故选：B．
38．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．3 B．19 C．21 D．28
【答案】B
【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵点H为AE的中点，
∴AH＝EH＝4，
∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，
∴x2+y2＝35，
∴图1的阴影部分面积＝x2+y2﹣×4 x﹣×4 y
＝x2+y2﹣2（x+y）
＝35﹣2×8
＝19，
故选：B．
39．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．
∴a2+b2＝40．
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6．
故选：A．
40．如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S ECGF﹣S△BGF＝a a÷2+b b﹣（a+b） b÷2；①
S△DEF＝底EF 高DE÷2＝b （a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG 高GF÷2＝b b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2 20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
方法2：∵CF∥BD，
∴△BDF的面积＝△BCD的面积，
∴阴影部分的面积＝△BCD的面积+△CGF的面积＝（a2+b2），
∵a+b＝10，ab＝20，
∴（a2+b2）＝（a+b）2﹣ab＝50﹣20＝30；
故选：C．
41．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题，现有长与宽分别为a，b的小长方形若干个．
（1）用两个这样的小长方形和两个正方形拼成如图1的大正方形，请写出图1所能解释的乘法公式；
（2）用四个相同的小长方形和一个小正方形拼成图2的正方形，请根据图形写出三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，4ab之间的等量关系式；
（3）根据上面的解题思路与方法，解决下面问题：
①若m﹣n＝5，mn＝2，求（m+n）2；
②若2m+3n＝8，mn＝1，求（2m﹣3n）2．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）①33；②40．
【解答】解：（1）图1中，由图可知，，
由题意得，S大正方形＝S大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab．
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）由图可知，
由图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；
（3）①∵m﹣n＝5，mn＝2，
∴（m+n）2
＝（m﹣n）2+4mn
＝52+4×2
＝25+8
＝33；
②∵2m+3n＝8，mn＝1，∴（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn ＝82﹣24×1 ＝64﹣24＝40
∴（2m﹣3n）2
＝（2m+3n）2﹣24mn
＝82﹣24×1
＝64﹣24
＝40．
42．用四个如图1所示的长为a，宽为1的长方形，放置在一个长为m，宽为n的大长方形内部，拼成一个如图2所示的图形．
（1）用等式表示m与a之间的数量关系；
（2）设长方形①的周长为C1，长方形②的周长为C2，求C1+C2（用含n的式子表示）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意得m＝a+2，
∴m与a之间的数量关系为m＝a+2；
（2）由题意得，
C1＝2[2+（n﹣a）]
＝2（2+n﹣a）
＝4+2n﹣2a；
C2＝2[（n﹣2）+a]
＝2（n﹣2+a）
＝2n﹣4+2a，
∴C1+C2＝4+2n﹣2a+2n﹣4+2a＝4n．
九．平方差公式（共6小题）
43．已知：a+b＝3，a﹣b＝1，则a2﹣b2等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝1，
∴原式＝（a+b）（a﹣b）
＝3×1
＝3．
故选：C．
44．“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知x+y＝4，则x2﹣y2+8y的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解答】解：原式＝（x+y）（x﹣y）+8y
＝4（x﹣y）+8y
＝4x﹣4y+8y
＝4x+4y
＝4（x+y），
又∵x+y＝4，
∴4（x+y）＝4×4＝16．
故选：D．
45．已知a+b＝3，a﹣b＝2，则a2﹣b2等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：∵a+b＝3，a﹣b＝2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝3×2＝6，
故选：D．
46．已知M＝20242，N＝2023×2025，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵M＝20242，N＝2023×2025＝（2024﹣1）（2024+1）＝20242﹣1，
20242﹣（20242﹣1）＝1＞0，
∴M＞N．
故选：A．
47．计算：（5x+y）（5x﹣y）．
【答案】25x2﹣y2．
【解答】解：原式＝（5x）2﹣y2＝25x2﹣y2．
48．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若x＝6789×6786，y＝6788×6787，试比较x，y的大小．
解：设6788＝a，
那么x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a．
因为x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2＜0，所以x＜y．
看完后，你学会了这种方法吗？利用上面的方法解答下列问题：
若x＝2024×2028﹣2025×2027，y＝2025×2029﹣2026×2028，试比较x，y的大小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：学会了这种方法，x，y的大小关系为：x＝y．
设2024＝a，
则x＝a（a+4）﹣（a+1）（a+3）
＝a2+4a﹣（a2+3a+a+3）
＝a2+4a﹣a2﹣3a﹣a﹣3
＝﹣3，
y＝（a+1）（a+5）﹣（a+2）（a+4）
＝（a2+5a+a+5）﹣（a2+4a+2a+8）
＝a2+5a+a+5﹣a2﹣4a﹣2a﹣8
＝﹣3，
∴x＝y．
十．平方差公式的几何背景（共7小题）
49．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】B
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
50．如图所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（ ）
A．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab B．a2+b2+2ab＝（a+b）2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
所拼成的长方形的长为a+b，宽为a﹣b，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
51．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
【答案】D
【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
52．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
【答案】C
【解答】解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），
∴第一个图形中剩余的面积为：a2﹣b2，
由第一个图形可知，大平行四边形的高为：a﹣b，
∴第二个图形的大平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
故选：C．
53．准备一把剪刀和一张正方形纸片，记正方形纸片的边长为a，现在进行以下操作：
（1）从正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开．
（2）把剪成的两张纸片拼成如图2的长方形．从上述活动中，你可以得到的代数结论是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】A
【解答】解：S图1＝a2﹣b2，S图2＝（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故A正确．
故选：A．
54．从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b），
∵两图中阴影部分的面积相等，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴可以验证成立的公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
55．如图，从边长为（a+4）的大正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A．a（2a+5） B．3（2a+5） C．3（2a+1） D．a（2a+1）
【答案】B
【解答】解：由图可知：长为：（a+4）+（a+1）＝2a+5，长方形的宽为：（a+4）﹣（a+1）＝3，
∴长方形的面积为：3（2a+5）；
故选：B．
十一．整式的除法（共5小题）
56．已知a3b6÷a2b2＝ambn，则m和n的值分别是（ ）
A．m＝4，n＝1 B．m＝1，n＝4 C．m＝5，n＝8 D．m＝6，n＝12
【答案】B
【解答】解：a3b6÷a2b2＝ab4＝ambn，
∴m＝1，n＝4．
故选：B．
57．小辰与小辉在做游戏时，两人各报一个整式，若将小辰报的整式作为除式，小辉报的整式作为被除式，要求商必须为﹣3xy2．若小辉报的整式是9x4y3﹣6x3y2，则小辰应报的整式是（ ）
A．﹣3xy3﹣2x2 B．﹣3x3y﹣2x2y
C．3x3y+2xy D．﹣3x3y+2x2
【答案】D
【解答】解：小辰报的整式为（9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2），
根据多项式除以单项式计算可得：
（9x4y3﹣6x3y2）÷（﹣3xy2）
＝﹣3x3y+2x2．
故选：D．
58．一个长方形的面积为9a2﹣6ab，若它的长为3a，则它的宽为（ ）
A．3a﹣6b B．3a﹣2b C．3a﹣2ab D．3a+2b
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，长方形的另一边长是：（9a2﹣6ab）÷3a
＝9a2÷3a﹣6ab÷3a
＝3a﹣2b．
故选：B．
59．计算：（x﹣y）（x﹣2y）﹣（3x3﹣6x2y）÷（3x）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝x2﹣3xy+2y2﹣x2+2xy
＝﹣xy+2y2．
60．先化简，再求值：，其中x＝3，．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝4（x﹣y）2﹣4（x2+y2）
＝4（x2﹣2xy+y2）﹣4（x2+y2）
＝﹣8xy，
当x＝3，时，
﹣8xy＝．
