(共46张PPT)
第十八章 分式
第18章 分式
章末复习
1．熟练掌握分式的概念及其基本性质，会进行分式的约分、通分．
2．掌握分式的运算法则，能熟练地进行分式的混合运算．
3．会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的解．
4．能解决与分式、分式方程有关的实际问题，培养分析和解决问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．
实际问题的解
实际问题
分式
分式方程
分式方程的解
分式的基本性质
通分
分式的加减
约分
分式的乘除
整数指数幂的运算
分式的混合运算
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？
2．分式怎样约分和通分？依据是什么？
3．当n是正整数时，a-n表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？
4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
5．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？
（1）基本性质：，，其中A，B，C(C≠0)是整式．
（2）运算法则：乘法：，除法：（）
乘方：（是正整数，）
同分母加减：，异分母加减：
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？
（3）两者核心逻辑完全一致：基本性质都是“分子分母同乘（或除以）非零数（或整式），值不变”；运算法则中，乘法、除法、乘方、加减的运算逻辑完全相通，仅分数的分子分母是整数，分式的是整式（且分母含字母）。本质是“数式通性”，数的运算规律可推广到式的运算。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？
（4）是贯穿全章的核心学习方法：通过类比分数的概念，理解分式的定义；类比分数的基本性质，推导分式的基本性质；类比分数的约分、通分及乘除加减运算法则，掌握分式的相应运算；即：通过类比，帮助建立知识关联，让分式知识更易理解和掌握。
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．分式怎样约分和通分？依据是什么？
分式约分的步骤
（1）确定分子和分母的公因式；
（2）依据分式的基本性质，分子和分母同时除以公因式；
（3）得出整式或最简分式．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．分式怎样约分和通分？依据是什么？
分式通分的步骤
（1）确定最简公分母；
（2）用最简公分母去除以各分式的分母求商；
（3）用求得的商分别去乘对应分式的分子、分母，得到同分母的分式；
（4）若分子或分母中含有多项式，则先分解因式，再把每个因式看作一个整体进行通分．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．分式怎样约分和通分？依据是什么？
依据：分式的基本性质
分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．当n是正整数时，a-n表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？
当n是正整数时，.
整数指数幂的运算性质：
（1） (m，n是整数)；
（2） (m，n是整数)；
（3） (n是整数)．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
解分式方程的步骤：
（1）去分母将分式方程化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）检验．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
解分式方程的注意事项：
（1）去分母时，方程两边的每一项（包括常数项）都要乘最简公分母，避免漏乘；
（2）确定最简公分母时，要先对分母进行因式分解；
（3）必须进行检验．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大了．对于整式方程来说，求出的解成立；而对于原分式方程来说，当分母为0时，分式无意义，从而产生增根，所以这个解不是原分式方程的解．因此检验的目的是排除增根，确保解是原分式方程的有效解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
5．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？
（1）精准刻画 数量关系；
（2）简化复杂关系的建模过程；
（3）体现 “数学建模” 的核心价值，即：从 “实际情境→抽象等量关系→列分式方程→求解检验” 的过程，是用数学工具解决实际问题的典型路径 —— 分式方程作为 “桥梁”，把模糊的文字描述转化为可计算的数学式子，最终得到符合实际的结果.
考点一：分式的概念
例1：下列各式，，，，中，分式的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
判定分式的两个条件：
（1）式子为的形式，A，B为整式；
（2）分母B中必须含有字母．
考点二：分式的基本性质
例2：当 时，分式的值等于零．
9
解决利用分式基本性质的问题时，需注意：
（1）同乘（或除以）的整式C必须满足C≠0，同时分母本身也不能为0；
（2）“同时”操作：分子、分母要同时乘（或除以）同一个整式，不能只操作其中一个；
（3）等价变形：变形后分式的值要与原分式相等，避免漏乘、错除．
考点三：分式有（无）意义和值为0的条件
例3：若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
C
分式有（无）意义及分式值为0的条件：
（1）分式无意义 分母为0．
（2）分式有意义 分母不为0．
（3）分式值为0 分子为0，且分母不为0．
考点四：分式的混合运算
例4：计算：
解：原式
．
考点四：分式的混合运算
分式的混合运算注意要点：
（1）注意运算顺序：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；
（2）注意转化：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减；
（3）注意必要的因式分解：若分子、分母中有多项式，应先进行因式分解；
（4）注意化简：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式．
考点五：负整数指数幂及其应用
例5：已知：，，，则，，大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考点五：负整数指数幂及其应用
零指数幂、负整数指数幂的运算技巧
（1）遇到零指数幂，关键看底数是否为0，若底数不为0，则无论底数是何值，其结果都是1．
（2）若负整数指数幂的底数是分数，将负整数指数幂转化为正整数指数幂时，需要把底数的分子与分母交换位置．
考点六：分式方程
例6：解分式方程：
(1) (2)
解：（1）
两边同乘：．
．
，
，
．
检验：当时，分母，
所以原方程无解；
考点六：分式方程
例6：解分式方程：
(1) (2)
（2）两边同乘：．
．
，
，
．
检验：当时，，，分母均不为零，
所以原方程的解为．
考点六：分式方程
检验分式方程的解的方法
（1）公分母检验法是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母的值为0的解不是原分式方程的解．此方法比较简单，因此比较常用．
（2）直接检验法是把求得的解分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确．
考点七：分式方程的实际应用
例7：2025年的国家补贴降低了消费者以旧换新的成本，有效激发了家电市场的消费活力，拉动了经济增长．某商场购进甲、乙两种洗衣机共50台．若购进一台甲种洗衣机比购进一台乙种洗衣机的进价少3000元；用20万元购进甲种洗衣机数量是用40万元购进乙种洗衣机数量的2倍．
(1)求甲、乙两种洗衣机每台的进价各是多少万元？
(2)若商场预计投入资金不少于14万元，求商场最多购买多少台甲种洗衣机？
考点七：分式方程的实际应用
解：（1）设乙种洗衣机每台的进价为x万元，则甲种洗衣机每台的进价为万元．
由题意得：，解得：
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
（万元），
答：甲种洗衣机每台进价是万元．乙种洗衣机进价是万元；
（2）设商场购买m台甲种洗衣机，则乙种洗衣机台．
由题意得：，
解得：，
答：商场最多购买20台甲种洗衣机．
利用分式方程解决实际问题时要注意：
（1）要准确找出等量关系；
（2）熟知行程问题、工程问题、销售问题等问题中常用的等量关系；
（3）不要忘记检验，既要检验所得的解是否为分式方程的解，又要检验该解是否符合实际意义．
考点七：分式方程的实际应用
【知识技能类练习】必做题：
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．先化简，再求值：，其中．
解：原式，
，
，
；
当时，
．
【知识技能类练习】必做题：
3．解方程：(1)；(2)．
解：（1），
方程两边同乘以，得，
移项、合并同类项，得，
经检验，是原分式方程的解，
故方程的解为；
【知识技能类练习】必做题：
3．解方程：(1)；(2)．
（2）方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
解得：，
经检验，是分式方程的增根，
故方程无解．
【知识技能类练习】选做题：
4．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ．
【综合拓展类练习】
5．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型
号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数
量的2倍，
(1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？
(2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品
【综合拓展类练习】
解：（1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，
∴，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴，
∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；
（2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，
∴，解得，，
∴最多能购买个型号的纪念品．
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．=2
A
【知识技能类作业】必做题：
2．解下列分式方程
(1) (2)
解：（1）方程 两边同时乘以 ，得 ．
整理得 ．
解得 ．
检验：当 时，分母 且 ，
所以 是原方程的解．
【知识技能类作业】必做题：
2．解下列分式方程
(1) (2)
（2）方程 中，，
原方程化为 ．
方程两边同时乘以 ，得 ．
即 ．
整理得 ．
解得 ．
检验：当 时，分母 且 ，
所以 是增根，原方程无解．
【知识技能类作业】必做题：
3．先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，原式．
【知识技能类作业】选做题：
4．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ．
且
【综合拓展类作业】
5．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下．
嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元
淇淇 你肯定搞错了
设每支圆珠笔的价格为x 元．
(1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了．
(2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值．
【综合拓展类作业】
解：（1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，解得，
经检验，是原方程的解，
此时购买圆珠笔的数量为（支），
∵购买圆珠笔的数量为整数，∴不符合题意，
∴淇淇说嘉嘉搞错了；
（2）由题意可知，每支中性笔的价格为元．
由题意得，解得，
∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且，
∴，∴，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故整数m的值为3．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 第18章 分式 章末复习 单元 第18章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．熟练掌握分式的概念及其基本性质，会进行分式的约分、通分． 2．掌握分式的运算法则，能熟练地进行分式的混合运算． 3．会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的解． 4．能解决与分式、分式方程有关的实际问题，培养分析和解决问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．
重点 分式的混合运算及化简求值．
难点 解决与分式、分式方程有关的实际问题．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？ 2．分式怎样约分和通分？依据是什么？ 3．当n是正整数时，a-n表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？ 4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？ 5．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？ 考点梳理： 考点1：分式的概念 例1：下列各式，，，，中，分式的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 归纳：判定分式的两个条件： （1）式子为的形式，A，B为整式； （2）分母B中必须含有字母． 考点2：分式的基本性质 例2：当 时，分式的值等于零． 归纳：解决利用分式基本性质的问题时，需注意： （1）同乘（或除以）的整式C必须满足C≠0，同时分母本身也不能为0； （2）“同时”操作：分子、分母要同时乘（或除以）同一个整式，不能只操作其中一个； （3）等价变形：变形后分式的值要与原分式相等，避免漏乘、错除． 考点3：分式有（无）意义和值为0的条件 例3：若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 归纳：分式有（无）意义及分式值为0的条件： （1）分式无意义 分母为0． （2）分式有意义 分母不为0． （3）分式值为0 分子为0，且分母不为0． 考点4：分式的混合运算 例4：计算： 归纳：分式的混合运算注意要点： （1）注意运算顺序：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； （2）注意转化：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减； （3）注意必要的因式分解：若分子、分母中有多项式，应先进行因式分解； （4）注意化简：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式． 考点5：负整数指数幂及其应用 例5：已知：，，，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 归纳：零指数幂、负整数指数幂的运算技巧 （1）遇到零指数幂，关键看底数是否为0，若底数不为0，则无论底数是何值，其结果都是1． （2）若负整数指数幂的底数是分数，将负整数指数幂转化为正整数指数幂时，需要把底数的分子与分母交换位置． 考点6：分式方程 例6：解分式方程： (1)(2) 归纳：检验分式方程的解的方法 （1）公分母检验法是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母的值为0的解不是原分式方程的解．此方法比较简单，因此比较常用． （2）直接检验法是把求得的解分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确． 考点7：分式方程的实际应用 例7：2025年的国家补贴降低了消费者以旧换新的成本，有效激发了家电市场的消费活力，拉动了经济增长．某商场购进甲、乙两种洗衣机共50台．若购进一台甲种洗衣机比购进一台乙种洗衣机的进价少3000元；用20万元购进甲种洗衣机数量是用40万元购进乙种洗衣机数量的2倍． (1)求甲、乙两种洗衣机每台的进价各是多少万元？ (2)若商场预计投入资金不少于14万元，求商场最多购买多少台甲种洗衣机？ 归纳：利用分式方程解决实际问题时要注意： （1）要准确找出等量关系； （2）熟知行程问题、工程问题、销售问题等问题中常用的等量关系； （3）不要忘记检验，既要检验所得的解是否为分式方程的解，又要检验该解是否符合实际意义．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若分式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．先化简，再求值：，其中． 3．解方程： (1)； (2)． 选做题： 4．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 【综合拓展类练习】 5．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式，正确的是（ ） A． B． C． D．=2 2．解下列分式方程 (1) (2) 3．先化简，再求值：，其中． 选做题： 4．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 【综合拓展类作业】 5．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元淇淇你肯定搞错了
设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十二课时《第18章 分式 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课的主要内容是对分式全章知识的系统梳理与深化巩固。它以“数式通性”和类比思想为核心线索，串联分式的概念、基本性质、约分通分、运算法则及分式方程的解法与应用，帮助学生构建完整的知识体系。通过基础计算题、方程求解、条件探究等题型，强化学生对分式有意义、值为特殊情况等核心知识点的理解，熟练掌握分式运算技巧和分式方程“化归-检验”的解题流程。同时，结合实际应用问题和拓广探索题，提升学生知识综合运用能力与逻辑推理能力，巩固类比、转化等重要数学思想，为后续数学学习筑牢基础，也为学生查漏补缺、弥补薄弱环节提供针对性练习载体。
学习者分析 已初步掌握分式的概念、性质、运算及分式方程的基础解法，熟悉“数式通性”和类比思想，具备一定的代数运算与简单推理能力。但学生对知识间的内在逻辑梳理不足，存在明显薄弱点：分式混合运算中易因因式分解、通分约分步骤不规范出错，解分式方程时常常忽略分母不为零的限制条件，忘记检验环节；在实际应用中，难以快速梳理数量关系、建立分式方程模型。此外，学生对整数指数幂的运算性质理解不够透彻，综合运用类比、转化思想解决复杂问题的能力有待提升，个体间运算熟练度和知识应用能力存在差异。
教学目标 1．熟练掌握分式的概念及其基本性质，会进行分式的约分、通分． 2．掌握分式的运算法则，能熟练地进行分式的混合运算． 3．会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的解． 4．能解决与分式、分式方程有关的实际问题，培养分析和解决问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．
教学重点 分式的混合运算及化简求值．
教学难点 解决与分式、分式方程有关的实际问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．熟练掌握分式的概念及其基本性质，会进行分式的约分、通分． 2．掌握分式的运算法则，能熟练地进行分式的混合运算． 3．会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验分式方程的解． 4．能解决与分式、分式方程有关的实际问题，培养分析和解决问题的能力，学会用数学的眼光观察现实世界．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起什么作用？ 预设：（1）基本性质：，，其中A，B，C(C≠0)是整式． （2）运算法则： 乘法： 除法：（） 乘方：（是正整数，） 同分母加减：， 异分母加减： （3）两者核心逻辑完全一致：基本性质都是“分子分母同乘（或除以）非零数（或整式），值不变”；运算法则中，乘法、除法、乘方、加减的运算逻辑完全相通，仅分数的分子分母是整数，分式的是整式（且分母含字母）。本质是“数式通性”，数的运算规律可推广到式的运算。 （4）是贯穿全章的核心学习方法：通过类比分数的概念，理解分式的定义；类比分数的基本性质，推导分式的基本性质；类比分数的约分、通分及乘除加减运算法则，掌握分式的相应运算；即：通过类比，帮助建立知识关联，让分式知识更易理解和掌握。 2．分式怎样约分和通分？依据是什么？ 预设： 分式约分的步骤： （1）确定分子和分母的公因式； （2）依据分式的基本性质，分子和分母同时除以公因式； （3）得出整式或最简分式． 分式通分的步骤： （1）确定最简公分母； （2）用最简公分母去除以各分式的分母求商； （3）用求得的商分别去乘对应分式的分子、分母，得到同分母的分式； （4）若分子或分母中含有多项式，则先分解因式，再把每个因式看作一个整体进行通分． 依据：分式的基本性质 即：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变． 3．当n是正整数时，a-n表示什么意思？整数指数幂有哪些运算性质？ 预设：当n是正整数时，. 整数指数幂的运算性质： （1） (m，n是整数)； （2） (m，n是整数)； （3） (n是整数)． 4．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？ 预设：解分式方程的步骤： （1）去分母将分式方程化为整式方程； （2）解整式方程； （3）检验． 解分式方程的注意事项： （1）去分母时，方程两边的每一项（包括常数项）都要乘最简公分母，避免漏乘； （2）确定最简公分母时，要先对分母进行因式分解； （3）必须进行检验． 在将分式方程化为整式方程时，未知数的取值范围被扩大了．对于整式方程来说，求出的解成立；而对于原分式方程来说，当分母为0时，分式无意义，从而产生增根，所以这个解不是原分式方程的解．因此检验的目的是排除增根，确保解是原分式方程的有效解． 5．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？ 预设：（1）精准刻画 数量关系； （2）简化复杂关系的建模过程； （3）体现 “数学建模” 的核心价值，即：从 “实际情境→抽象等量关系→列分式方程→求解检验” 的过程，是用数学工具解决实际问题的典型路径 —— 分式方程作为 “桥梁”，把模糊的文字描述转化为可计算的数学式子，最终得到符合实际的结果.学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点1：分式的概念 例1：下列各式，，，，中，分式的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B 归纳：判定分式的两个条件： （1）式子为的形式，A，B为整式； （2）分母B中必须含有字母． 考点2：分式的基本性质 例2：当 时，分式的值等于零． 答案：9 归纳：解决利用分式基本性质的问题时，需注意： （1）同乘（或除以）的整式C必须满足C≠0，同时分母本身也不能为0； （2）“同时”操作：分子、分母要同时乘（或除以）同一个整式，不能只操作其中一个； （3）等价变形：变形后分式的值要与原分式相等，避免漏乘、错除． 考点3：分式有（无）意义和值为0的条件 例3：若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍 答案：C 归纳：分式有（无）意义及分式值为0的条件： （1）分式无意义 分母为0． （2）分式有意义 分母不为0． （3）分式值为0 分子为0，且分母不为0． 考点4：分式的混合运算 例4：计算： 解：原式 ． 归纳：分式的混合运算注意要点： （1）注意运算顺序：含有加、减、乘、除、乘方的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的； （2）注意转化：分式的除法运算要转化为乘法运算，异分母分式相加减要转化为同分母分式相加减； （3）注意必要的因式分解：若分子、分母中有多项式，应先进行因式分解； （4）注意化简：若分子、分母中有公因式，应先约分，最后结果要化为最简分式或整式． 考点5：负整数指数幂及其应用 例5：已知：，，，则，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 解：，，， ， 故选：． 归纳：零指数幂、负整数指数幂的运算技巧 （1）遇到零指数幂，关键看底数是否为0，若底数不为0，则无论底数是何值，其结果都是1． （2）若负整数指数幂的底数是分数，将负整数指数幂转化为正整数指数幂时，需要把底数的分子与分母交换位置． 考点6：分式方程 例6：解分式方程： (1) (2) 解：（1） 两边同乘：． ． ， ， ． 检验：当时，分母， 所以原方程无解； （2） 两边同乘：． ． ， ， ． 检验：当时，，，分母均不为零， 所以原方程的解为． 归纳：检验分式方程的解的方法 （1）公分母检验法是把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母的值为0的解不是原分式方程的解．此方法比较简单，因此比较常用． （2）直接检验法是把求得的解分别代入原分式方程的左边和右边进行检验．直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确． 考点7：分式方程的实际应用 例7：2025年的国家补贴降低了消费者以旧换新的成本，有效激发了家电市场的消费活力，拉动了经济增长．某商场购进甲、乙两种洗衣机共50台．若购进一台甲种洗衣机比购进一台乙种洗衣机的进价少3000元；用20万元购进甲种洗衣机数量是用40万元购进乙种洗衣机数量的2倍． (1)求甲、乙两种洗衣机每台的进价各是多少万元？ (2)若商场预计投入资金不少于14万元，求商场最多购买多少台甲种洗衣机？ 解：（1）设乙种洗衣机每台的进价为x万元，则甲种洗衣机每台的进价为万元． 由题意得：， 解得： 经检验：是原分式方程的解且符合题意， （万元）， 答：甲种洗衣机每台进价是万元．乙种洗衣机进价是万元； （2）设商场购买m台甲种洗衣机，则乙种洗衣机台． 由题意得：， 解得：， 答：商场最多购买20台甲种洗衣机． 归纳：利用分式方程解决实际问题时要注意： （1）要准确找出等量关系； （2）熟知行程问题、工程问题、销售问题等问题中常用的等量关系； （3）不要忘记检验，既要检验所得的解是否为分式方程的解，又要检验该解是否符合实际意义．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对本章所学知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系．
板书设计 课题：第18章分式章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.分式的概念 2.分式的基本性质 3.分式有（无）意义和值为0的条件 4.分式的混合运算 5.负整数指数幂及其应用 6.分式方程 7.分式方程的实际应用教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．若分式有意义，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．先化简，再求值：，其中． 解：原式， ， ， ； 当时， ， ， ． 3．解方程： (1)； (2)． 解：（1）， 方程两边同乘以，得， 移项、合并同类项，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为； （2）， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 故方程无解． 选做题： 4．甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少，已知两人每小时共做70个零件，求甲、乙每小时各做多少个零件，设甲每小时做x个零件，可列方程 ． 答案： 【综合拓展类练习】 5．“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品 解：（1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式，正确的是（ ） A． B． C． D．=2 答案：A 2．解下列分式方程 (1) (2) 解：（1）方程 两边同时乘以 ，得 ． 整理得 ． 解得 ． 检验：当 时，分母 且 ， 所以 是原方程的解． （2）方程 中，， 原方程化为 ． 方程两边同时乘以 ，得 ． 即 ． 整理得 ． 解得 ． 检验：当 时，分母 且 ， 所以 是增根，原方程无解． 3．先化简，再求值：，其中． 解：原式 ， 当时，原式． 选做题： 4．已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为 ． 答案：且 【综合拓展类作业】 5．嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元淇淇你肯定搞错了
设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 解：（1）由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3．
教学反思 本节分式复习课以知识梳理和能力提升为核心，通过类比思想串联知识点，借助分层习题巩固重点．课堂上多数学生能掌握分式运算和方程解法，但仍有部分学生在混合运算化简、实际问题建模上存在困难，尤其对分母不为零的限制条件和检验步骤易忽视．后续教学需针对易错点增加专项变式训练，设计更具针对性的小组讨论环节，同时关注学生个体差异，加强个性化指导，进一步强化数学思想的渗透，帮助学生更灵活地运用知识解决复杂问题，提升复习效率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
