北京理工大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（扫描版，含答案）

一．选择题
1.A. 2. C. 3. B. 4. B. 5. D. 6. C. 7. B. 8. A. 9. C. 10. B.
二．填空题
11. (0,2]
12. ( 1,3)
13
13. [ , 4]
4
14. 1， 0
15. ①②④
三．解答题
9
16．（1）9.6（2）
2
1 0.4 1解： 原式 1 8 5 0.1 7 0.1 9.6 ；
2
2 3原式 lg5 3 3 3 lg2 lg5 lg2 3 9 ．
2 2 2 2
x 1
17．解:（1）函数有意义须使 0, x 1 x 1 0, x 1或x 1 ，故函数的定义域为
x 1
, 1 1,
（2）奇函数
由（1）知函数定义域关于原点对称，
f x f x log x 1又 a log
x 1
log 1 0，
1 x a x 1 a
即 f x f x ，所以 f x 是奇函数；
（3）方程 f (x) 1 loga x x 1 （ , 1 1, ）可
化为 log
1
a x2 x
1，

1
即 2 a , 1 1, 有两个不等实根，x x
1 2
等价于 x x有两个不等实根，
a
1 1
结合二次函数图象可知， 2，所以0 a
a 2
a 1所以 0, .
2
18．(1) 函数 f (x)是R 上的奇函数, 且当 x 0时, f (x) 3x ,
x 2
x 0 x 0 f (x) f ( x) 3( x) 3x所以当 时, ,
x 2 x 2
3x
x 0
所以 f (x) x 2
3x x 0
x 2
(2) x1 x2 [0 ) , 且 x1 x2 ,
f (x ) f (x ) 3x1 3x2 6(x2 x1)则 1 2 .x1 2 x2 2 (x1 2)(x2 2)
由0 x1 x2 ,
得 x2 x1 0 , x1 2 0 , x2 2 0 ,
所以 f (x1) f (x2 ) 0 , 即 f (x1) f (x2 ) ,
所以 y f (x)在区间[0 )上单调递减.
f (x)在定义域内为减函数.
(3) 因为 f (x)为奇函数,
所以不等式 f (k 2x2 ) f (x2 4x 3) 0恒成立
f (k 2x2 ) f (x2 4x 3)恒成立
f (k 2x2 ) f ( x2 4x 3)恒成立.
因为 f (x)为定义域内的减函数,
所以 k x2 4x 3恒成立
x R , x2 4x 3 (x 2)2 1 1 ,
所以实数 k的取值范围是 ( 1) .
19. 解：（I）对于①，对于任意实数 x，可得 | f (x) f ( x) | | 2025 2025 | 0 1，
所以 f (x)具有性质 P(1)；
对于②，对于任意实数 x，可得 | g (x) g ( x) | | x ( x) | | 2x |
易知，只需取 x 1，则可得 | g (1) g ( 1) | 2 1，所以 g (x)不具有性质 P(1) .
（II 2）设二次函数 f (x) ax bx c(a 0)满足性质 P(k )
x | f (x) f ( x) | | ax2 bx c (ax2则对任意实数 ，满足 bx c) | | 2bx | k .
若b 0，则可取 x k0 0，有 | f (x0 ) f ( x0 ) | | 2bx0 | 2k k，矛盾.| b |
所以b 0，此时 f (x) ax2 c(a 0)即 f (x)为偶函数.(
（III）由于a 0 x，函数 f (x) log2 (4 a) x的定义域为 R .
易知 f (x) log (4x2 a) x log
x
2 (2 a 2
x ) .
若函数 f (x)具有性质 P(k )，则对于任意实数 x，有
x x
| f (x) f ( x) | | log (2x a 2 x2 ) log (2
x 2 a 2
2 a 2
x ) | | log2 2 x
| k.
a 2x
2x a 2 x
即 k log2 x k.2 a 2x
x
k 4 a即 log2 x k.1 a 4
由于函数 y log2 x在 (0, )单调递增，
4x a
可得 2 k 2k.
1 a 4x
a 1
2 k 1 a 2k即 .
a 1 a 4x
当 a 1 k k时，得 2 1 2 ，对于任意实数 x恒成立
当 a 1 时 ， 易 知 a 1 0 ， 由 1 a 4x 1 ， 得 0 1 1 ， 得
a 1 a 4x
a 1 a 1
0 a x a
1 1 1
，得 a
1 a 4 a a a 1 a 4x
a.
a 11 k
依题意， 2 a 2x 对任意实数 x恒成立，
a 1 a 4x
1 2 k ,
所以 a ，即1 a 2k .
a 2
k.
1 a
1

当 a 1 1时 ， 易 a 0 知 ， 由 1 a 4x 1 ， 得 0 a a ， 得
a 1 a 4x a
1 1 a
1

a
a a 1 a 4x
a .
1 a
1

k
依题意， 2 a x 2
k
对任意实数 x恒成立
a 1 a 4
a 2 k

所以 1 ，即1 a 2
k
2
k
a
k k
综上所述， a的取值范围为[2 ,2 ].