第一章 勾股定理小结与思考 （含答案） 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第一章 勾股定理小结与思考
类型一 勾股定理及其应用
1.如图，以直角三角形a，b，c为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足 的图形个数有 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,CD⊥AB于D,则CD的长是( )
A.6 B. C. D.
3.如图，圆柱形玻璃杯高为24 cm、底面周长为36 cm，在杯内离杯底8cm 的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8cm与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.
4.如图,BC=3,AB=4,AF=12,∠FAC和∠ABC都为直角，求正方形 FCDE 的面积.
类型二 勾股定理的验证
5.观察、思考与验证：
(1)如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式： ；
(2)如图2,∠B=∠D=90°,且 B、C、D 在同一直线上,试说明:∠ACE=90°;
(3)伽菲尔德(1881年任美国第20 届总统)利用(1)中的公式和图2证明了勾股定理(发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上)，请你写出验证过程.
6.探索与研究：
(方法1)如图，是由任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90°所得，所以∠BAE=90°，且四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于 Rt△BAE和 Rt△BFE 的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程；
(方法2)如图，是任意的符合条件的两个全等的 Rt△BEA 和 Rt△ACD 拼成的,你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗
类型三 勾股定理逆定理及其应用
7.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c,由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A:∠B:∠C=1:2:3
D. a:b:c=3:4:6
8.三角形的三边长a，b，c满足 则此三角形是 ( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
9.如图,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.
(1)连接BC,求 BC的长;
(2)求△BCD的面积.
类型四 勾股定理及其逆定理在生活中的应用
10.如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15 m，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5m.
(1)这个云梯的底端离墙多远
(2)如图2，如果梯子的顶端下滑了8 m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米
11.如图,A、B两块试验田相距200 m,C为水源地,AC=160m,BC=120m,为了方便灌溉,现有两种方案修筑水渠.
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B;
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB 所在直线上的H 处，再从 H 分别向A、B进行修筑.
(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)；
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短 请通过计算说明.
1. D 2. C 3.30
4.解: 169,∴正方形 FCDE的面积:
(2)证明:∵△ABC≌△CDE,∴∠BAC=∠DCE.∵∠ACB+∠BAC=90°,∴∠ACB+∠DCE=90°,∴∠ACE=90°;
(3)证明:∵∠B=∠D=90°,∴∠B+∠D=180°,∴AB∥DE,即四边形ABDE是梯形,∴四边形ABDE的面积 整理得：(
6.解：此图也可以看成 Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转 90°，再向下平移得到.一方面，四边形ABCD的面积等于△ABC和Rt△ACD的面积之和,另一方面，四边形ABCD的面积等于 Rt△ABD和△BCD的面积之和，所以 S△BCD,即:
整理得：b
7. D 8. C
9.解:(1)∵∠A=90°,AB=9,AC=12,∴BC =AB +AC =9 +12 =225=15 ,∴BC=15. (2)∵BC= 是直角三角形， =60.
10.解:(1)根据题意可得OA=15m,AB-OB=5m ,由勾股定理 可得： +OB) ,解得:OB=20.答:这个云梯的底端离墙20m远; (2)由(1)可得:AB=20+5=25 m,根据题意可得:CO=15-8=7(m),CD=AB=25(m),由勾股定理 ，可得： 24-20=4(m).答：梯子的底部在水平方向滑动了4m.
11.解:(1)△ABC是直角三角形.理由如下:∵AC + 是直角三角形，且
(2)甲方案所修的水渠较短.理由如下.∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积
∵AC+BC=160m+120m=280m,CH+AH+BH=CH+AB=96m+200m=296m,∴AC+BC