1.1 探索勾股定理 同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版八年级数学上册

1.1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
A分点训练
知识点一 勾股定理的初步认识
1.下列说法正确的是 ( )
A.若a,b,c是Rt△ABC的三边,则
B.若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠A=90°,则
C.若a,b,c是Rt△ABC的三边,∠B=90°,则
D.若a,b,c是 Rt△ABC的三边,∠C=90°,则
2.在 Rt△ABC中,斜边BC=2,则. 的值为 ( )
A.8 B.4
C.6 D.无法计算
3.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
(1)若a=3,b=4,则c= ;
(2)若a=6,c=10,则b= ;
(3)若c=34,a:b=8:15,则a= ,b=
4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm ,BC=6 cm,则AD= cm.
知识点二 勾股定理的简单应用
5.如图，做一个宽80cm，高60cm的长方形木框，需在相对角的顶点加一根加固木条，则木条的长为( )
A.90 cm B.100 cm
C.105 cm D.110 cm
6.如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前的高度是 ( )
A.5m B.12m C.13m D.18m
7.如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸(AE>DE)剪去了一角,量得AB=3cm，CD=4 cm，求剪去的直角三角形的斜边长.
知识点三 利用勾股定理求面积
8.如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母 B所代表的正方形的面积是( )
A.12 B.13 C.144 D.194
9.如图，阴影部分为一个正方形，此正方形的面积是( )
A.16 B.8
C.6 D.2
10.如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是 cm .
B 运用积累
11.如图，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
12.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方为 ( )
A.5 B.7 C.25 D.25或7
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=16，则正方形ADEC和正方形 BCFG 的面积和为 ( )
A.16 B.32 C.160 D.256
14.如图，直角三角形纸片ABC中，=90°，AC=6，BC=8，折叠△ABC的一角，使点 B与点 A重合，展开得折痕
DE，则BD= .
15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
C 综合探究
16.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
第2课时 验证勾股定理
A分点训练
知识点一 勾股定理的验证
1.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是 ( )
2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图.观察图形，验证：
知识点二 勾股定理的简单应用
3.两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距 ( )
A.50cm B.100 cm
C.140 cm D.80 cm
4.如图，有两棵树，一棵高 10m，另一棵高5m ，两树相距12m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行( )
A.8m B.10m C.13m D.14m
5.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何 ”翻译成数学问题是：如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3，求 AC的长.如果设AC=x，则可列方程为
B运用积累
6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4m.如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为 ( )
A.0.7m B.1.5m C.2.2m D.2.4m
7.勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明以灵感，他惊喜的发现，当四个全等的直角三角形如图摆放时，可以用“面积法”来证明 请你写出证明过程.
8.一住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，准备在距大厦6m 处升起云梯到火灾窗口展开营救，已知云梯AB伸长后的最大长度为12m，云梯底部B距地面2m，此时消防队员能否成功救下等候在距离地面约 10m窗口的受困人群 说说你的理由.
1 探索勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1. D 2. A 3.(1)5 (2)8 (3)16 30 4.4 5. B6. D
7.解:延长AB、DC相交于F,则△BFC构成直角三角形，运用勾股定理得：
10，则剪去的直角三角形的斜边长为20cm.
8. C 9. B 10.3011. B 12. D 13. D 14.
15.解:∵△ABC是直角三角形,AB=5,BC=3,由勾股定理有： 4.又“ 得CD= ∴CD的长是
16.解:在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,设BD=x,则CD=14-x,由勾股定理得: x) ,故 解之得:x=9,∴
第2课时 验证勾股定理
1. D
2.解：中间小正方形的面积为(b-a) ，也可表示为c 整理得
C
7.证明: 2S直角三角形面积，即： 即 即：
8.解:能.理由:由题意得,BC=6m ,AC=10-2=8(m),在Rt△ABC中, 即可得 而 故能救下.