1.3勾股定理的应用 同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 1.3勾股定理的应用 同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版八年级数学上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 97.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-24 00:00:00 | ||
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文档简介
1.3勾股定理的应用
A分点训练
知识点一 立体图形中两点之间的最短距离
1.如图，一个圆桶，底面直径为16 cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是(π取3) ( )
A.50cm B.40 cm C.30cm D.20cm
2.如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点 A 爬到顶点 B，则它走过的最短路程的平方为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55 cm、10 cm、6 cm,A 和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线有多长
知识点二 勾股定理在实际生活中的应用
4.如图，有一长方形空地ABCD，如果AB=6m,AD=8m,要从A走到C,至少要走( )
A.6m B.8m C.10m D.14m
5.如图,将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A 和B，然后把中点C竖直地向上拉升3c m至 D点，则拉长后橡皮筋的长度为 ( )
A.8cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm
6.如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上展示.输入指令后，机器人从出发点A 先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m,又向南走40 m,再向东走70m到达终止点 B.求终止点 B与原出发点 A 的距离AB.
B运用积累
7.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点 M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点 N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( )
A.12≤b≤13 B.12≤b≤15
C.13≤b≤16 D.15≤b≤16
9.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从 P 点出发沿木箱表面爬行到点 Q，则蚂蚁爬行的最短路程是 .
10.如图，某游泳池长48 m，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处(A点)出发，小方平均速度为3m /s，小杨为3.1m/s.但小杨一心想快，不看方向沿斜线(AC方向)游，而小方直游(AB方向)，两人到达终点的位置相距14 m.按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么
11.如图 ，小强想要检测雕塑底座正面的AD 边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗
(2)小强量得 AD长是30cm,AB长是40 cm,BD长是50cm,AD边垂直于AB 边吗 为什么
12.如图,在 中，AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36cm,点 P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1 cm的速度移动;点 Q 从点 B 沿BC 边向点C以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3s时， 的面积为多少
综合探究
13.牧童在河边A 处放牛，家在河边 B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知A点到河边C的距离为500 m，点 B 到河边的距离为700 m,且CD=500m.
(1)请在原图上画出牧童回家的最短路线；
(2)求出最短路线的长度.
3 勾股定理的应用
1. C 2. C
3.解:展开后由题意得:∠C=90°,AC=3×10+3×6=48,BC=55,由勾股定理得: 答：一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点 B 的最短路线有 73 cm.
4. C 5. B
6.解:如图,过点 A 作AC⊥CB于C,则在 Rt△ABC中,AC=40+40=80(m),BC=70-20+10=60(m)，由勾股定理，得. 则AB=100m.答:终止点B与原出发点A 的距离AB为100m.
7. C 8. D 9.10
10.解：AB表示小方的路线，AC表示小杨的路线.
由题意可知,AB=48m,BC=14m,在 Rt△ABC中， 则AC=50m,小方用时: 小杨用时 因为 所以小方用时少，即小方先到达终点.
11.解:(1)考虑测量 AD、AB、BD的长,当 时,∠DAB为直角;当 时，∠DAB不是直角.
.△DAB是直角三角形,∠DAB 是直角,∴AD⊥AB.
12.解:设AB=3x,BC=4x,CA=5x,∵AB+BC+CA=36,即3x+4x+5x=36,∴x=3,∴AB=9,BC= 即△ABC是直角三角形，.
13.解:(1)作A 关于直线CD 的对称点A',连接A'B交CD 于P 点，即为所求作的点.(2)由作图可得最短路程为A'B 的距离，过A'作A'F⊥BD的延长线于F，则DF=A'C=AC=500m,A'F=CD=500m,BF=700+500=1200(m),根据勾股定理可得, 则A'B=1300 m,即最短路线的长度是1300 m.
A分点训练
知识点一 立体图形中两点之间的最短距离
1.如图，一个圆桶，底面直径为16 cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是(π取3) ( )
A.50cm B.40 cm C.30cm D.20cm
2.如图，一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点 A 爬到顶点 B，则它走过的最短路程的平方为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55 cm、10 cm、6 cm,A 和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线有多长
知识点二 勾股定理在实际生活中的应用
4.如图，有一长方形空地ABCD，如果AB=6m,AD=8m,要从A走到C,至少要走( )
A.6m B.8m C.10m D.14m
5.如图,将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A 和B，然后把中点C竖直地向上拉升3c m至 D点，则拉长后橡皮筋的长度为 ( )
A.8cm B.10 cm C.12 cm D.15 cm
6.如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上展示.输入指令后，机器人从出发点A 先向东走10m，又向南走40m，再向西走20m,又向南走40 m,再向东走70m到达终止点 B.求终止点 B与原出发点 A 的距离AB.
B运用积累
7.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点 M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点 N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF 的度数为 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是 ( )
A.12≤b≤13 B.12≤b≤15
C.13≤b≤16 D.15≤b≤16
9.如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从 P 点出发沿木箱表面爬行到点 Q，则蚂蚁爬行的最短路程是 .
10.如图，某游泳池长48 m，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处(A点)出发，小方平均速度为3m /s，小杨为3.1m/s.但小杨一心想快，不看方向沿斜线(AC方向)游，而小方直游(AB方向)，两人到达终点的位置相距14 m.按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么
11.如图 ，小强想要检测雕塑底座正面的AD 边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
(1)你能替他想办法完成任务吗
(2)小强量得 AD长是30cm,AB长是40 cm,BD长是50cm,AD边垂直于AB 边吗 为什么
12.如图,在 中，AB:BC:CA=3:4:5,且周长为36cm,点 P 从点A 开始沿AB 边向B 点以每秒1 cm的速度移动;点 Q 从点 B 沿BC 边向点C以每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3s时， 的面积为多少
综合探究
13.牧童在河边A 处放牛，家在河边 B处，时近傍晚，牧童驱赶牛群先到河边饮水，然后在天黑前赶回家，已知A点到河边C的距离为500 m，点 B 到河边的距离为700 m,且CD=500m.
(1)请在原图上画出牧童回家的最短路线；
(2)求出最短路线的长度.
3 勾股定理的应用
1. C 2. C
3.解:展开后由题意得:∠C=90°,AC=3×10+3×6=48,BC=55,由勾股定理得: 答：一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点 B 的最短路线有 73 cm.
4. C 5. B
6.解:如图,过点 A 作AC⊥CB于C,则在 Rt△ABC中,AC=40+40=80(m),BC=70-20+10=60(m)，由勾股定理，得. 则AB=100m.答:终止点B与原出发点A 的距离AB为100m.
7. C 8. D 9.10
10.解：AB表示小方的路线，AC表示小杨的路线.
由题意可知,AB=48m,BC=14m,在 Rt△ABC中， 则AC=50m,小方用时: 小杨用时 因为 所以小方用时少，即小方先到达终点.
11.解:(1)考虑测量 AD、AB、BD的长,当 时,∠DAB为直角;当 时，∠DAB不是直角.
.△DAB是直角三角形,∠DAB 是直角,∴AD⊥AB.
12.解:设AB=3x,BC=4x,CA=5x,∵AB+BC+CA=36,即3x+4x+5x=36,∴x=3,∴AB=9,BC= 即△ABC是直角三角形，.
13.解:(1)作A 关于直线CD 的对称点A',连接A'B交CD 于P 点，即为所求作的点.(2)由作图可得最短路程为A'B 的距离，过A'作A'F⊥BD的延长线于F，则DF=A'C=AC=500m,A'F=CD=500m,BF=700+500=1200(m),根据勾股定理可得, 则A'B=1300 m,即最短路线的长度是1300 m.
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