2025-2026学年人教A版数学必修第一册课后达标：2.3.2一元二次不等式的应用（含解析）

2.3.2一元二次不等式的应用
一．选择题
1．不等式＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜－1，或x＞2}
B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|x＜1，或x＞2}
2．产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
3．已知关于x的不等式<2的解集为P，若1 P，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|a≥0，或a≤－1}
B．{a|－1≤a≤0}
C．{a|a>0，或a<－1}
D．{a|－14．(多选)当0＜x＜ 时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则实数a 的值可以为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
5．(多选)若关于x的不等式ax2－4x＋2<0有实数解，则a的值可能为(　　)
A．0 B．3
C．1 D．－2
6．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( 　 )
A．－C．－27．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为( 　 )
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－2二．填空题
8．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是　　　　　　　.
9．已知正数x，y满足x＋y＝2，若＋>m2－m恒成立，则实数m的取值范围为　　　　.
10．若关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，则实数m的取值范围是　　　　.
三．解答题
11．(1)解不等式>1；
(2)关于x的不等式ax－b>0的解集是，求关于x的不等式>0的解集．
12．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
13．已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，B＝，其中a≠1.
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)求使B A的实数a的取值范围．
2.3.2一元二次不等式的应用
一．选择题
1．不等式＞0的解集是(　　)
A．{x|x＜－1，或x＞2}
B．{x|－1＜x＜2}
C．{x|1＜x＜2}
D．{x|x＜1，或x＞2}
C　解析：原不等式可化为<0，等价于(x－1)(x－2)＜0，其解集为{x|1＜x＜2}．
2．产品的总成本y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0，240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
C　解析：由题设可知，当产量为x时，销售收入为25x.要使生产者不亏本，必须满足销售收入不小于总成本，即25x≥3 000＋20x－0.1x2，等价于0.1x2＋5x－3 000≥0，即x2＋50x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．故要使生产者不亏本，最低产量是150台．
3．已知关于x的不等式<2的解集为P，若1 P，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|a≥0，或a≤－1}
B．{a|－1≤a≤0}
C．{a|a>0，或a<－1}
D．{a|－1B　解析：由题意可得≥2或式子无意义．
化简可得≤0或a＝－1，解得－1≤a≤0.
4．(多选)当0＜x＜ 时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，则实数a 的值可以为(　　)
A．0 B．－2
C．－ D．－3
ABC　解析：因为0＜x＜，
所以原不等式等价于a≥－.
因为x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1 时，等号成立，又0＜x＜，所以x＋＞，
所以－＜－ ，所以a≥－.
5．(多选)若关于x的不等式ax2－4x＋2<0有实数解，则a的值可能为(　　)
A．0 B．3
C．1 D．－2
ACD　解析：当a＝0时，不等式－4x＋2<0有解，符合题意；
当a<0时，二次函数y＝ax2－4x＋2开口向下，则不等式ax2－4x＋2<0有解；
当a>0时，由Δ＝16－8a>0，解得0综上，a的取值范围为{a|a<2}．故选ACD．
6．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( 　 )
A．－C．－2【解析】　令y＝x2＋(m－1)x＋m2－2，当x＝1时函数值为y1，当x＝－1时，函数值为y2，则解得07．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围为( 　 )
A．{a|a<2} B．{a|a≤2}
C．{a|－2【解析】　当a－2＝0，即a＝2时，原不等式变为－4<0，恒成立；当a－2≠0时，
解得－2∴－2二．填空题
8．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)·(n＋x)>0的解集是　　　　　　　.
{x|－n因为m＋n>0，所以m>－n.结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n9．已知正数x，y满足x＋y＝2，若＋>m2－m恒成立，则实数m的取值范围为　　　　.
{m|－10，y>0且x＋y＝2，所以＋＝(x＋y)＝≥×＝2，当且仅当x＝y＝1时取等号．
因为不等式＋>m2－m恒成立，所以m2－m<2，解得－110．若关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，则实数m的取值范围是　　　　.
{m|m<0}　解析：因为不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，
所以方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0.
所以m的取值范围是{m|m<0}．
三．解答题
11．(1)解不等式>1；
(2)关于x的不等式ax－b>0的解集是，求关于x的不等式>0的解集．
解：(1)不等式>1可化为>0，
化简得>0，即<0，
等价于(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3所以原不等式的解集为.
(2)因为不等式ax－b>0的解集是，
所以a>0，且a＝2b.
则不等式>0等价于>0，即<0.
所以(x－1)(x－5)<0，解得1因此原不等式的解集为{x|112．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)．
解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
当a<0时，aa2}；
当a＝0时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0a}；
当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a>1时，aa2}．
综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
13．已知集合A＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]＜0}，B＝，其中a≠1.
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)求使B A的实数a的取值范围．
【解析】　(1)当a＝2时，A＝{x|2＜x＜7}，
B＝{x|4＜x＜5}，
所以A∩B＝{x|4＜x＜5}．
(2)因为B＝{x|2a＜x＜a2＋1}，
当a＜时，A＝{x|3a＋1＜x＜2}，
要使B A，必须此时a＝－1；
当a＝时，A＝ ，B＝，不满足B A，舍去．
当a＞时，A＝{x|2＜x＜3a＋1}，要使B A，
则解得1＜a≤3.
综上可得：a的取值范围是{a|1＜a≤3或a＝－1}．
1/8