2025年“江南十校”高一分科诊断联考
数学试卷（A卷)
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上
对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的
答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、.草稿纸上作答无效。
3.本卷命题范围：人救版第1章~第4章（兼顾北师大版前5章)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
题目要求的，
1.已知集合A={x|x(x-1)=0},集合B-N,则A∩B=
A.(0,1)
B.(1)
C.0,1
D.[0,1]
2.下列函数在定义域内是减函数的是
A.y=x
B.y=x2
C.y=x-
D.y=-Vx
3.函数f四=3
的图象大致为
4.用二分法求方程的近似解，求得f(x)=x3+2x-9的部分函数值数据如表所示：
1
1.5
1.625
1.75
1.875
1.8125
f)-63-2.265
-1.459
-0.14
1.3418
0.5793
则当精确度为0.1时，方程x3+2x-9=0的近似解可取为
A.1.6
B.1.7
C.1.8
D.1.85
【高一分科诊断数学试卷()
第1页（共4页）】
0000000
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=-x2+2x,则当x<0时，
f(x)=
A.-x2-2x
B.x2+2x
C.-x2+2x
D.x2-2x
6.已知a,b,c∈R,则下列命题为假命题的是
A.若a>b>c,则a+b>c
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若a>b,则
D.若a>b>0,c>0,则色2
aa+c
7.“m>n>1”是“logmn<1”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.已知函数fx)=x-」
,其图象的对称中心在直线y=ax+b上，则a2+b2的最小值为
x-2
1
B号
c
D.1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数f(2x)=8x3,其定义域为[-1,1]，则下列说法正确的是
A.f(1)=8
B.f(x)=x3
C.f(x)的定义域
[周
D.f(x一1)的图象关于(1,0)对称
10.设m=logo.30.4,n=l0g20.4,则
A.m>0,n<0
B.m+n<0
C.m+n>0
D.m+n>mn
11.对x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中最大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)},设函数
M(x)=max{x2+4x-3,x-2},下列选项中正确的有
A.函数M(x)的单调递增区间为(1,2)，
3+V5
,十00
B.若方程M(x)=m有3个不相等的实数根，则m=1
C若M(x)在区间[a,b]内的最大值为1，则b-a的最大值为√2+1
D.存在不唯一的非负实数对(p,q),使得M(x)在[p,q]上的值域也为[p,q]
【高一分科诊断数学试卷()第2页（共4页）】
可
000000012月联考参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A C B A A B BD ABD ACD
1．C 集合A= 0,1 ,B=N,A∩B= 0,1 ;
2．D 对于A选项， y= x在定义域内是增函数，B,C选项，函数在定义域内不单调，选D.
x x
3. A 当 x> 0时， f x = 1 ,当 x< 0时， f x =- 1 ,故选A3 3
4. C 当区间 a,b 的长度 b-a < ε时，区间 a,b 内的每一个值都可以作为近似解，经检验，
1.875-1.75 = 0.125> 0.1, 1.8125-1.75 = 0.0625< 0.1满足条件，故选C.
5．B 函数 f x 是R上的奇函数，由 f 1 = 1,得 f -1 =-1,经检验，选B.
6．A 对于选项A,令 a=-1,b=-2,c=-3,则 a+ b= c,矛盾，故选A.
7． A 若m> n> 1,则 logmn < logmm = 1,反过来， log 1 1 = 0< 1 1 > 1,即m> n> 1是
2 2
logmn< 1成立的充分不必要条件,故选A.
8．B 函数 f x = x-1 1 - = 1+ - ,其对称中心为 2,1 ,该点在直线 y= ax+ b上，于是由 2a+x 2 x 2
2
b= 1,a2+ b2= a2+ 1-2a 2 = 5a2- 4a+ 1= 5 a- 2 + 1 ≥ 1 .5 5 5
9．BD 令 x= 1 ，得 f 1 = 1,故A选项错误， f 2x = 8x3= 2x 3 ,故 f x = x3,B选项正确，对
2
于C,f 2x 的定义域为 -1,1 , -2≤ 2x≤ 2,即 f可以作用 [-2,2]范围内的数，故 f x 的定义域为
-2,2 ,故选项C错误，由于 f x 是 -2,2 上的奇函数， f x-1 是 f x 向右平移一个单位，故
f x 关于 1,0 点成中心对称,故D选项正确.
10．ABD 由于 0= log0.31< log0.30.4< log0.30.3= 1,log20.4< log20.5 =-1故选项A,B正确，对于
D选项，由mn< 0,m+n = 1 + 1 = log0.40.3+ log0.42= log0.40.6< 1,得m+n>mn,故正确.mn m n
11．ACD
如图，作出函数M x 的图象，联立方程 y= x- 2及 y=-x2+ 4x
- 3得 x2- 3x+ 1= 0,解得：B点横坐标为 3+ 5 ,B点纵坐标为
2
5-1 ,故选项A正确；M x =m有三个不相等的实根，m= 1
2
或m= 5-1 ,故选项B错误；令 y= 1,当 x≤ 1时， x2- 4x+ 3
2
= 1,解得A点横坐标为 2- 2 ,当 x> 1时，容易解得 x= 2或 x
= 3，因此 b- a长度的最大值为 3- 2- 2 = 2 + 1,故选项C
正确；对于D选项，取 y= x,联立 y=M x 解得D点横坐标为
5+ 13 ,根据图象，取区间 0,3 及 0, 5+ 13 满足条件．故正2 2
确.
二、填空题
12． 0,e 易知 x> 1时， lnx= 1,解得： x= e，当 x≤ 1时，-ex+ 2= 1,解得： x= 0.即方程的
解集为 0,e .
·1·
{#{QQABIQiowgiwwpTACZ4qQ0kQCAuYkJChLIgEBRAdKAQDQYFIBAA=}#}
13． 3 令 f x = lnx + 2x , 则 f x 在 0.+∞ 单 调 递 增 , 由 条 件 知 f m = 1 , f 3-n =
ln 3-n +2 3-n = 1故 f m = f 3-n m= 3-n,即m+n= 3.
14． -∞,10 依题设有 k+ b= 3,一次函数 y= kx+ b在 x轴、 y轴的截距分别为：- b ,b,图象与
k
2 3-k 2
坐标轴围成的三角形的面积为 1 - b b = b ≤ 2 ≤ 2 3-k 2 ≤ 4 k ，若 k< 0,上式2 k 2 k 2 k
化成 k2- 2k+ 9≤ 0,无解，故 k> 0,此时上述不等式化成 k2- 10k+ 9≤ 0 1≤ k≤ 9, k≠3 故P
2
= 1,3 ∪ 3,9 ,若存在 x∈P，使得不等式 x2+ 9>mx成立，即m< x +9 成立，m小于代数式
x
x2+9 2的最大值就可以了，令函数 g x = x +9 ,熟知 g x 在 1,3 上是递减的，在 3,9 是递增
x x
的，而 g 1 = g 9 = 10,所以m的取值范围为 -∞,10
15 解： I 原式= 5log
5
. 5 2 - 2(lg2+ lg5)
= 5 - 2
2
= 1 ................................................................................................6分
2
1 - 1 1 1
Ⅱ 由 a 2 - a 2 = 5 ,得： 5= (a 2 - a- 2 )2= a+a-1- 2 a+a-1= 7.........................8分
1 1 1 1
而 (a 2 + a- 2 )2= a+a-1+ 2= 9,故 a 2 + a- 2 = 3........................................................10分
3
进一步有 a 2 + a-
3 1 1
2 = (a 2 + a- 2 ) a-1+a-1 = 18.......................................................12分
3
2 -
3
2
于是 a +a +2 = 20 = 10 ...............................................................................13分
a+a-1-1 6 3
16. 解： I a3+ b3- a2b+ab2 = a+b a2-ab+b2 - ab a+b
= a+b a-b)2
由 a,b> 0知 a+b a-b)2 ≥ 0,因此 a3+ b3≥ a2b+ab2.......................................6分
Ⅱ 证明：由题设 a,b,c> 0,及基本不等式 a+b≥ 2 ab知,
2
( (a+b)a+ b)2≥ 4ab ≥ 4 a+b ≥ 4 1 1 4
ab ab a+ + ≥ .................................12分b a b a+b
同理， 1 + 1 ≥ 4 , 1 1+ + ≥
4
b c b c c a c+a
( 1 + 1 ) + 1 + 1 + 1 + 1 ≥ 4 + 4 + 4+ + + .........................................14分a b b c c a a b b c c a
即： 1 + 1 + 1 ≥ 2 2 2
a b c a+ + + + + ...............................................................15分b b c c a
17.解： I 当总质比为 50时， v= 2000 ln50，由参考数据得 v= 2000× 3.9= 7800m/s，
7800< 7900,即该型火箭的最大速度达不到第一宇宙速度；..........................................5分
（Ⅱ）由题意，经过材料更新和技术改进后，该型火箭的喷流相对速度为 3000m/s，总质比变
为 M ，要使火箭的最大速度至少增加 1000m/s，则需 3000ln M - 2000lnM ≥ 1000，化简得：
3m 3m m
3ln M - 2lnM ≥ 1，整理得 ln( M )3- ln(M )2≥ 1，即 ln M ≥ 1 M ≥ e
3m m 3m m 27m 27m
即： M ≥ 27e
m
·2·
{#{QQABIQiowgiwwpTACZ4qQ0kQCAuYkJChLIgEBRAdKAQDQYFIBAA=}#}
由参考数据， 2.718< e< 2.719 73.386< 27e< 73.413，
因此，技术改进前火箭的总质比的最小整数值为 74....................................................15分
18. I 以题意， f 1 = 0,即 a+ b+ c= 0，又 f x+y = a x+y 2 +b x+y +c （1）,
f x + f y + 2xy+ 2= a(x2+ y2) + b(x+ y) + 2c+ 2xy+ 2 （2）比较（1）（2）式的系数得：
2a= 2,c+ 2= 0,即 a= 1,c=-2,进而 b= 1................................................................4分
所以 f x = x2+ x- 2.............................................................................................5分
Ⅱ 依题设 k x2+x-2 < k2+1 x对 k∈ 0,2 恒成立，
（1）当 k= 0时， x> 0,..........................................................................................7分
2
（ ）当 0< k≤ 2时， x +x-2 < k
2+1
2 ,
x k
2
令 g k k +1 = ,则 g k = k+ 1 ≥ 2,当且仅当 k= 1取等号................................11分
k k
2
此时只须 x +x-2 < 2,即 x2- x- 2< 0,解得：-1< x< 2....................................16分
x
由（1）（2）可得 x的取值范围为 0,2 ...............................................................17分
19.解： I 由 f x = log3 9x+1 -kx为偶函数知，
f x - f -x = log 9x3 +1 -kx- log3 9-x+1 -kx
x 9x+1 9x
= log 9 +1 - = 3 2kx log3 -2kx= log 9x3 -2kx=2x-2kx=0
9-x+1 9x+1
解得 k= 1...........................................................................................................5 分
Ⅱ 当 x≥ 0时， g x = log3 9x+1 -2x-a有零点，令 g x = 0,
则 a= log3 9x+1 -2x
x
令m x = log 9x3 +1 -2x = log 9 +13 = log (1+ 13 ),下面证明m x 在 [0, +∞)是单调递减
9x 9x
的。
0≤ x1< x2<+∞,m x1 -m x 12 = log3(1+ x ) - log3(1+
1
x )9 1 9 2
由 0≤ x1< x2,得 9x1< 9x2 1 1x > x 1+
1 1
x > 1+ x log3(1+
1 ) > log3(1+ 1
9 1 9 2 9 1 9 2 9x1 9x
)
2
即m x1 >m x2 ,得证；
于是m x ≤m 0 = log32.....................................................................................8分
显然 1+ 1 > 1,m x > 0，因此实数 a的取值范围是 (0,log32]..........................................10分
9x
Ⅲ 函数 f x 与 h x 的图象只有一个公共点 方程 f x = h x 有唯一解，即
log3 9x+1 -x= log3 m 3x-2m 有唯一解，进一步变形得：
log x3 9 +1 = log3 m(3x-2) 3x 9x+ 1=m(3x- 2) 3x m-1 9x- 2m 3x- 1= 0
令 3x= t,则 t> 0,上述方程化为 m-1 t2- 2m t- 1= 0有一个正根...........................12分
（1）若m= 1,t=- 1 ,舍去；
2
（2）若m> 1,m- 1> 0,此时方程恰有一正根，满足；
（3）若m< 1,此时若方程有两不同根，则两根必同号，不满足，若方程有两相同根，
Δ= 4m2+ 4 m-1 = 0，解得m= -1+ 5 ,此时方程为负根，舍去，或m= -1- 5 满足.
2 2
·3·
{#{QQABIQiowgiwwpTACZ4qQ0kQCAuYkJChLIgEBRAdKAQDQYFIBAA=}#}
综上，实数m的取值范围为 -1- 5 1,+∞ ∪ ...................................................17分2
·4·
{#{QQABIQiowgiwwpTACZ4qQ0kQCAuYkJChLIgEBRAdKAQDQYFIBAA=}#}
