统筹与优化专题答案解析
一、必胜策略（核心公式：总数÷(1+n)，n为每次最多取/写的数量）
核心逻辑：
无余数：后取/写者必胜，每次与对方取/写的数量和为(1+n)（凑“关键和”）。
有余数：先取/写者必胜，先取走余数，之后每次与对方凑“关键和”。
特殊规则（取到最后一个输）：转化为“让对方取到最后一个”，总数按“总数-1”计算。
例1：12枚棋子，每次取1-2枚
关键和：1+2=3，总数÷3=12÷3=4（无余数）。
结论：小元后取，必胜策略：每次丫丫取x枚（1或2），小元取(3-x)枚，最终必取到最后1枚。
1-1：9枚棋子，每次取1-2枚
关键和=3，9÷3=3（无余数）。
结论：丫丫后取，每次与小帅取的数量和为3，必胜。
1-2：16枚棋子，每次取1-3枚
关键和=1+3=4，16÷4=4（无余数）。
结论：小美后取，每次与小帅取的数量和为4，必胜。
例2：13枚棋子，每次取1-2枚
关键和=3，13÷3=4余1（有余数）。
结论：小西先取1枚，之后每次与丫丫取的数量和为3，必胜。
2-1：10枚棋子，每次取1-2枚
关键和=3，10÷3=3余1（有余数）。
结论：小乐先取1枚，之后每次与丫丫取的数量和为3，必胜。
例3：“天气”笔画（共8画，每次写1-2画）
总笔画：“天”4画+“气”4画=8画，关键和=3，8÷3=2余2（有余数）。
结论：丫丫先写2画，之后每次与小文写的笔画和为3，必写最后一画。
3-1：“幸运”笔画（共15画，每次写1-2画）
总笔画：“幸”8画+“运”7画=15画，关键和=3，15÷3=5（无余数）。
结论：小芳后写，每次与小威写的笔画和为3，必胜。
3-2：10根火柴，取到最后一根输
转化目标：让丫丫取到第10根，小菡需取到第9根（总数按9根算），关键和=3，9÷3=3（无余数）。
结论：小菡后取，每次与丫丫取的数量和为3，最终丫丫必取第10根，小菡获胜。
二、排队问题（核心原则：先快后慢，减少等候累积）
单队伍：总时间=（每人时间×等候人数），等候人数=队伍总人数-当前顺序+1
双队伍：先按时间排序，再将时间分配给两组（使两组总时间接近），每组内部仍“先快后慢”
例4：4人打水（1、3、2、4分钟）
排序：1（小美）→2（小帅）→3（丫丫）→4（奥莉）
总时间=1×4 + 2×3 + 3×2 + 4×1 = 4+6+6+4=20分钟
结论：最短20分钟
4-1：3人看病（8、6、10分钟）
排序：6（丫丫）→8（小东）→10（小帅）
总时间=6×3 + 8×2 + 10×1 = 18+16+10=44分钟
结论：最短44分钟
4-2：5人买冰淇淋（2、5、3、4、6分钟）
排序：2→3→4→5→6（等候时间=前面所有人时间之和）
等候总时间=2×4 + 3×3 + 4×2 + 5×1 = 8+9+8+5=30分钟
结论：最短30分钟
例5：8人打水（1-8分钟，2个水龙头）
时间排序：1、2、3、4、5、6、7、8
分组（使两组总时间接近，总和36，每组≈18）：
组1：2、3、5、8（总和18），排序：2→3→5→8，等候时间=2×3+3×2+5×1=6+6+5=17
组2：1、4、6、7（总和18），排序：1→4→6→7，等候时间=1×3+4×2+6×1=3+8+6=17
总时间=（17+17）+36=70分钟
结论：最短70分钟
5-1：6车加油（7、8、9、4、2、5分钟，2个加油枪）
时间排序：2、4、5、7、8、9
分组（总和35，每组≈17-18）：
组1：2、7、9（总和18），排序：2→7→9，等候时间=2×2+7×1=4+7=11
组2：4、5、8（总和17），排序：4→5→8，等候时间=4×2+5×1=8+5=13
总时间=（11+13）+35=59分钟
结论：最短59分钟
三、最优方案（核心：优先选单位成本最低的方案）
例6：16米原材料截6米（40根）和4米（36根）
高效截法：
截法1：2根6米+1根4米（16米刚好用完），需20根（满足40根6米，得20根4米）
截法3：4根4米（16米刚好用完），需4根（补充16根4米，满足36根）
总原材料=20+4=24根
结论：最少24根
6-1：187吨货物运输（大卡5吨/10升，小卡2吨/5升）
单位油耗：大卡2升/吨，小卡2.5升/吨（优先大卡）
187=37×5+2，需37辆大卡+1辆小卡
总油耗=37×10+1×5=375升
结论：37辆大卡+1辆小卡，最少375升
四、烙饼问题（核心：充分利用锅的空间，减少空锅时间）
例7：烤3片面包（每次2片，第一面2分钟，第二面1分钟）
步骤：
1正、2正→2分钟（第一面熟）
2反、3正→1分钟（2熟，3正烤1分钟）
1反、3正→1分钟（1、3熟）
总时间=2+1+1=4分钟
结论：最少4分钟
7-1：烤3条鱼（每次2条，每面2分钟）
步骤：
1正、2正→2分钟
1反、3正→2分钟（1熟）
2反、3反→2分钟（2、3熟）
总时间=2×3=6分钟
结论：最少6分钟
7-2：3人玩游戏（每人2局，每局5分钟，可双人）
安排：
小东+爸→5分钟（各1局）
小东+妈→5分钟（小东2局，妈1局）
爸+妈→5分钟（爸、妈2局）
总时间=5×3=15分钟
结论：最少15分钟
7-3：3人跳绳（每人2次，每次3分钟，可双人）
安排：
A+B→3分钟（各1次）
A+C→3分钟（A2次，C1次）
B+C→3分钟（B、C2次）
总时间=3×3=9分钟
结论：最少9分钟
7-4：煮20个鸡蛋（锅最多20个，需5分钟）
逻辑：20个可同时煮，无需分批
结论：最少5分钟专题15 统筹与优化
一、必胜策略
游戏规则:双方每次取1~n个，取到最后一个的人获胜。
必胜策略:总数÷(1+n)，无余数后取的人有必胜策略
总数÷(1+n)，有余数先取的人有必胜策略
例1、有 12 枚棋子，丫丫和小元两人轮流取，规定每人每次可以取1枚或2枚，谁取到最后一枚棋子谁获胜。小元为了确保获胜，应该先取还是后取 必胜策略是什么
1-1、有9枚棋子，丫丫和小帅两人轮流取，规定每人每次可以取1枚或2枚，谁取到最后一枚棋子谁获胜。丫丫为了确保获胜，应该先取还是后取 必胜策略是什么
1-2、有16 枚棋子，小帅和小美两人轮流取，规定每人每次可以取1枚、2枚或3枚，谁取到最后一枚棋子谁获胜。小美为了确保获胜，应该先取还是后取 必胜策略是什么
例2、有 13 枚棋子，丫丫和小西两人轮流取，规定每人每次可以取1枚或2枚，谁取到最后一枚棋子谁获胜。小西为了确保获胜，应该先取还是后取 必胜策略是什么
2-1、有 10 枚棋子，丫丫和小乐两人轮流取，规定每人每次可以取1枚或2枚，谁取到最后一枚棋子谁获胜。小乐为了确保获胜，应该先取还是后取 必胜策略是什么
例3、小文和丫丫两人轮流写“天气”这两个字的笔画。丫丫为了确保获胜应该先写还是后写 怎样写
小文说：“每人每次只能写1画或2画。”
丫丫说：“谁写了最后一个字的最后一画，谁就获胜。”
3-1、小芳和小威两人轮流写“幸运”两个字的笔画。每人每次只能写1画或2画，谁写了最后一个字的最后一画，谁就获胜。小芳为了确保获胜，应该先写还是后写 怎样写
3-2、有 10 根火柴，丫丫和小菡两人轮流取，规定每人每次可以取1根或2根，谁取到最后一根火柴谁就输。小菡为了确保获胜，应该先取还是后取 必胜策略是什么
二、排队问题
（1）将所用时间按照从短到长的顺序排列
（2）按照“先快后慢”的原则，从时间最短的先开始
（排成1支队伍；排成2支队伍）
（3）求出时间总和
例4、小美、丫丫、小帅和奥莉各拿一个水桶打水，但是水龙头只有一个，他们只能一个一个地打水。每人的水桶不一样大，要打满自己的水桶，小美需要1分钟，丫丫需要3分钟，小帅需要2分钟奥莉需要 4分钟，他们打水和排队等候的总时间最短是多少分钟
4-1、小东、丫丫和小帅一起去找同一个医生看病，小东看病需要8 分钟，丫丫看病需要6分钟，小帅看病需要10分钟，他们三人看病和等候的总时间最短是多少分钟
4-2、5人在冰淇淋车前排队买冰淇淋，由于他们所要的样式不同，制作冰淇淋需要的时间分别是2分钟、5分钟、3 分钟、4 分钟、6分钟。如果只有一个店员制作冰淇淋，那么这5人等候的总时间最短是多少分钟
例5、8 人各拿一个水桶同时到水龙头前打水，水龙头注满这8个水桶分别需要1分钟、2 分钟、3 分钟、4 分钟、5 分钟、6 分钟、7 分钟和 8分钟。如果有2个相同的水龙头，那么这8人打水和等候的总时间最短是多少分钟
5-1、加油站有2个相同的加油枪可以同时给汽车加油。A车、B车、C车、D车、E车和F车加满油分别需要7分钟、8分钟、9分钟、4 分钟、2 分钟和 5分钟，这6辆车加油和等候的总时间最短是多少分钟
三、最优方案
例6、一批16米长的原材料,截成6米长的毛坯 40 根,4 米长的毛坯 36 根。最省料的方案至少需要多少根原材料？
6-1、把187吨货物从A地运往B地,大卡车和小卡车的载质量分别是5吨、2吨,每次的耗油量分别是10升、5升,如何选派车辆能使运输耗油量最少 共需耗油多少升
四、烙饼问题
例7、用平底锅烤面包，每次最多只能放两片面包，第一面要烤2分钟，第二面只要烤1分钟。烤3片面包，最少需要多少分钟？
7-1、妈妈要为全家做烤鱼，烤炉上每次最多只能放两条鱼鱼的两面都要烤，每面需要2分钟，如果爸爸、妈妈和丫丫各吃一条，最少需多长时间烤好
7-2、一种小游戏，玩1局要5分钟，可以单人玩，也可以双人玩。小东和爸爸、妈妈一起玩，每人玩两局，至少需要多少分钟
7-3、3个小朋友一起玩一根跳绳，规定每人每次只能跳3分钟，可以单人跳，也可以双人跳，每人跳2次，至少要用多少分钟
7-4、煮一个鸡蛋要5分钟，一口锅一次最多能煮20个鸡蛋，则煮20个鸡蛋至少需要多少分钟？
