天津市河北区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题
1．（2025高一上·河北期中）下列选项中描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：对于选项 A：
因为，而 是圆周率 （无理数）的相反数，仍为无理数，
但属于实数集 （实数包括所有有理数和无理数），
因此 ，故A错误；
对于选项 B：因为 ，
而 表示有理数集，定义为可以表示为两个整数之比（分母非零）的数，
在 ，3 和 7 均为整数，且分母非零，
因此属于有理数集，故B正确；
对于选项 C： 因为，
而 表示整数集，包括正整数、负整数和零， 是无理数，不是整数，
因此 ，故C错误；
对于选项 D：因为 ，
而 表示自然数集，在高中数学中通常定义为非负整数集（即 0，1， 2， 3， …），不包括负数，
因此 ，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据各符号表示的集合和元素与集合的关系，从而找出描述正确的选项.
2．（2025高一上·河北期中）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合 和 ，同时属于 和 的元素只有 1 和 2，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用交集的运算法则得出集合 .
3．（2025高一上·河北期中）设命题 ： ，则 的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题 ： ，
所以 的否定 ： ，
故答案为：B
【分析】由全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出结果。
4．（2025高一上·河北期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，但，所以“”是“”的不充分条件，
当时，，必要性满足，
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
5．（2025高一上·河北期中）下列函数中与是同一函数的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于选项 A，对于 ，定义域为 ，
对于，定义域为，
因此和 的定义域均为R，且对应关系相同，则两函数是同一函数，故A正确；
对于选项 B，因为，
由 ，解得或，
则定义域为. ，
由且，则 ，
所以定义域为.两者定义域不同，不是同一函数，故B错误；
对于选项 C，对于，定义域为，
对于，定义域为，
则两者定义域不同，不是同一函数，故C错误；
对于选项 D，对于，定义域为，
对于，定义域为，
则两者定义域不同，不是同一函数，故D错误.
故答案为： A.
【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需满足两个条件：定义域相同且对应关系相同（即函数表达式等价），从而逐项判断找出同一函数的选项.
6．（2025高一上·河北期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则，
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A：当 时，，
则 ，此时 成立，
但 不成立（因为 不成立）.
因此，该命题不是真命题，故A错误；
对于B：取反例：设 ，，满足 ，
则，，，
所以 不成立（实际 )，
因此，该命题不是真命题，故B错误；
对于C：由 ，得 ，，，
则，
又因为分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，)，
则，所以 ，
因此，该命题是真命题，故C正确；
对于D：取反例：设 ，，满足 （因为 )，且 ，，
满足 （因为 )，
但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，
所以该命题不是真命题，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用不等式的基本性质结合举反例的方法，则判断出选项A、选项B和选项D；再利用作差法判断出选项C，从而找出真命题的选项.
7．（2025高一上·河北期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：对于C、D：由函数为偶函数，
则偶函数的图象关于轴对称，故选项C、选项D错误；
由时，，排除选项A；
当时，是增函数，
当时，，可得；
当时，，可得，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用奇函数、偶函数的图象的对称性，则排除选项C和选项D；利用函数的单调性和函数的极限，则判断选项A和选项B，从而找出函数的大致图象.
8．（2025高一上·河北期中）已知函数在上的最大值为4，则实数k的值为（ ）
A． B．或 C．3或 D．或
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，，不符合题意；
所以，该函数为二次函数，顶点横坐标为，
则二次函数的顶点位于，且在区间 内（因为 )，
所以，顶点函数值为：.
则端点函数值为：，
.
所以二次函数在闭区间上的最大值出现在端点或顶点处，
需根据 的符号分情况讨论：
情况 1：（抛物线开口向下），此时顶点为最大值点，最大值在 处：，
解得：，
情况 2：（抛物线开口向上），此时顶点为最小值点，最大值在端点处，
比较端点值：，，
因为 ，所以 ，则 ，
所以，函数的最大值在 处：，
解得：，
综上所述，满足条件的解为 ： 或 .
故答案为：D.
【分析】利用分类讨论方法结合二次函数性质，再利用已知条件得出实数k的值.
9．（2025高一上·河北期中）下列说法错误的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．的最大值是
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：当时，，当且仅当时，即当时取等号，故A正确；
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，故D正确；
因为，又因为，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
因为，又因为，
所以，，
则，故C不正确.
故答案为：C.
【分析】利用均值不等式求最值的方法，则判断出选项A和选项D；利用二次函数求最值的方法，则判断出选项B；先变形式子，再分析取值情况，则判断出选项C，从而找出说法错误的选项.
10．（2025高一上·河北期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可得：在上，在上，
且，
由，可得，则或，
则原不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】 由题意可得：在上，在上，且，不等式转化为 求解即可.
11．（2025高一上·河北期中）把集合用列举法表示出来 .
【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：因为且，
所以x的所有取值为4，5，6.
故答案为：.
【分析】利用元素与集合的关系和x的取值范围，则用列举法把集合A表示出来.
12．（2025高一上·河北期中）函数的定义域为 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域需要满足以下条件：
则平方根内的表达式非负：要求，
又因为分母不为零：分母为，
因此，则，
解得.
故答案为：.
【分析】根据平方根内的表达式非负和分母不为零，从而列不等式组求解得出函数的定义域.
13．（2025高一上·河北期中）不等式 的解集为 .
【答案】{x｜2＜x＜3}
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 ，得 ，从而解得 ，
所以，不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.
14．（2025高一上·河北期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，
当且仅当时取等号，结合已知条件解得，符合题意，
所以，
因为恒成立，所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先利用常数代换和基本不等式求最值的方法，从而得出，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
15．（2025高一上·河北期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 .
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：设用水量为立方米，水价为元，
则，
整理得到：，
当时，；时，，
则某户居民本月交纳的水费为90元，
所以用水量大于18立方米，
令，则（立方米）.
故答案为：.
【分析】根据题中的条件可得水费与水价的关系式，再根据该关系式得出此户居民本月用水量.
16．（2025高一上·河北期中）已知全集，集合，，.
（1）当时，求，；
（2）若是的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当时，.
因为，
所以；
又因为或，
所以或．
（2）解：因为是的充分条件，
所以，
则，
解得，
所以实数m的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】（1）利用m的值得出集合B，再利用并集的运算法则、交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）根据充分条件的判断方法得到集合的包含关系，再列出不等式组，从而求解得出实数m的取值范围.
（1）当时，.
因为，
所以；
因为或，
所以或．
（2）因为是的充分条件，
所以，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是．
17．（2025高一上·河北期中）已知幂函数，且函数在上单增
（1）函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为为幂函数，
所以，
解得或，
当时，，在上单调递增，符合题意；
当时，，在上单调递减，不合题意，
所以.
（2）解：因为，函数定义域为R，
又因为，
所以函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
解得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用幂函数为得出，再由函数在上单调递增，从而解出的值，进而得出函数的解析式.
（2）由函数的奇偶性和单调性，从而解不等式得出实数a的取值范围.
（1）为幂函数，则有，解得或，
时，，在上单调递增，符合题意；
时，，在上单调递减，不合题意；
所以.
（2），函数定义域为R，，
函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，
若，有，解得，
所以实数的取值范围为.
18．（2025高一上·河北期中）已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；
（3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
又因为不等式，
则，
解得或，
所以不等式的解集为或．
（2）解：当时，在区间上单调递减，不符合题意；
当时，函数在区间上不单调，
其对称轴需满足，
则，
解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
（3）解：因为不等式恒成立，
所以不等式恒成立，
当时，恒成立；
当时，要使恒成立，
则需，
解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
（2）根据二次函数的单调性和对称性，从而列不等式组求解得出实数a的取值范围.
（3）先分类讨论，再利用不等式恒成立问题求解方法和二次函数的图象，从而得出实数a的取值范围.
（1）（1）当时，，
不等式，，
解得或，
所以不等式的解集为或．
（2）当时，在区间上单调递减，不符合题意；
当时，函数在区间上不单调，
其对称轴需满足，
即，解得.
综上所述，实数a的取值范围是．
（3）不等式恒成立，即不等式恒成立.
当时，恒成立；
当时，要使恒成立，
则需，
解得.
综上所述，实数a的取值范围是．
19．（2025高一上·河北期中）已知函数，，
（1）若，写出函数的单调区间，并证明其单调性；
（2）若函数在上单调，且存在，使成立，求实数a的取值范围：
（3）当时，函数的最大值为，求的解析式.
【答案】（1）解：当时，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明如下：，，且，
则
，
因为，，且，
所以，，
当，时，，得，即；
当，时，，得，即，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：当，时，，
易知的单调区间与的单调区间一致，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
因为函数在上单调，
所以，在上单调递增，
又因为存在，使得成立，
所以，
则，
解得或，
所以实数a的取值范围为．
（3）解：由题意，得，
易知在区间上单调递增.
①当时，函数在上单调递增，在上单调递增，
则；
②当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，即当时，；
当时，即当时，，
综上所述，．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义判断并证出函数的单调性.
（2）由题意，先求出，从而得出，再根据能存在，使得成立，则，从而解一元二次不等式得出实数a的取值范围.
（3）利用已知条件分段写出函数的表达式为，再利用函数的单调性分类讨论，从而求出函数的最大值，进而得出函数的解析式．
1 / 1天津市河北区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题
1．（2025高一上·河北期中）下列选项中描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·河北期中）若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·河北期中）设命题 ： ，则 的否定为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·河北期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一上·河北期中）下列函数中与是同一函数的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2025高一上·河北期中）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则，
7．（2025高一上·河北期中）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·河北期中）已知函数在上的最大值为4，则实数k的值为（ ）
A． B．或 C．3或 D．或
9．（2025高一上·河北期中）下列说法错误的是（ ）
A．的最小值是2
B．的最小值是
C．的最小值是2
D．的最大值是
10．（2025高一上·河北期中）已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2025高一上·河北期中）把集合用列举法表示出来 .
12．（2025高一上·河北期中）函数的定义域为 .
13．（2025高一上·河北期中）不等式 的解集为 .
14．（2025高一上·河北期中）若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是 .
15．（2025高一上·河北期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为 .
16．（2025高一上·河北期中）已知全集，集合，，.
（1）当时，求，；
（2）若是的充分条件，求实数m的取值范围.
17．（2025高一上·河北期中）已知幂函数，且函数在上单增
（1）函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2025高一上·河北期中）已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；
（3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
19．（2025高一上·河北期中）已知函数，，
（1）若，写出函数的单调区间，并证明其单调性；
（2）若函数在上单调，且存在，使成立，求实数a的取值范围：
（3）当时，函数的最大值为，求的解析式.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：对于选项 A：
因为，而 是圆周率 （无理数）的相反数，仍为无理数，
但属于实数集 （实数包括所有有理数和无理数），
因此 ，故A错误；
对于选项 B：因为 ，
而 表示有理数集，定义为可以表示为两个整数之比（分母非零）的数，
在 ，3 和 7 均为整数，且分母非零，
因此属于有理数集，故B正确；
对于选项 C： 因为，
而 表示整数集，包括正整数、负整数和零， 是无理数，不是整数，
因此 ，故C错误；
对于选项 D：因为 ，
而 表示自然数集，在高中数学中通常定义为非负整数集（即 0，1， 2， 3， …），不包括负数，
因此 ，故D错误.
故答案为：B.
【分析】根据各符号表示的集合和元素与集合的关系，从而找出描述正确的选项.
2．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合 和 ，同时属于 和 的元素只有 1 和 2，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用交集的运算法则得出集合 .
3．【答案】B
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题 ： ，
所以 的否定 ： ，
故答案为：B
【分析】由全称命题的否定是特称命题结合题意即可得出结果。
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为，但，所以“”是“”的不充分条件，
当时，，必要性满足，
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
5．【答案】A
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于选项 A，对于 ，定义域为 ，
对于，定义域为，
因此和 的定义域均为R，且对应关系相同，则两函数是同一函数，故A正确；
对于选项 B，因为，
由 ，解得或，
则定义域为. ，
由且，则 ，
所以定义域为.两者定义域不同，不是同一函数，故B错误；
对于选项 C，对于，定义域为，
对于，定义域为，
则两者定义域不同，不是同一函数，故C错误；
对于选项 D，对于，定义域为，
对于，定义域为，
则两者定义域不同，不是同一函数，故D错误.
故答案为： A.
【分析】要判断两个函数是否为同一函数，需满足两个条件：定义域相同且对应关系相同（即函数表达式等价），从而逐项判断找出同一函数的选项.
6．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A：当 时，，
则 ，此时 成立，
但 不成立（因为 不成立）.
因此，该命题不是真命题，故A错误；
对于B：取反例：设 ，，满足 ，
则，，，
所以 不成立（实际 )，
因此，该命题不是真命题，故B错误；
对于C：由 ，得 ，，，
则，
又因为分子 （因为 ，)，分母 （因为 ，)，
则，所以 ，
因此，该命题是真命题，故C正确；
对于D：取反例：设 ，，满足 （因为 )，且 ，，
满足 （因为 )，
但结论要求 且 ，而此处 ，不满足，
所以该命题不是真命题，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用不等式的基本性质结合举反例的方法，则判断出选项A、选项B和选项D；再利用作差法判断出选项C，从而找出真命题的选项.
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：对于C、D：由函数为偶函数，
则偶函数的图象关于轴对称，故选项C、选项D错误；
由时，，排除选项A；
当时，是增函数，
当时，，可得；
当时，，可得，故B正确.
故答案为：B.
【分析】利用奇函数、偶函数的图象的对称性，则排除选项C和选项D；利用函数的单调性和函数的极限，则判断选项A和选项B，从而找出函数的大致图象.
8．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，，不符合题意；
所以，该函数为二次函数，顶点横坐标为，
则二次函数的顶点位于，且在区间 内（因为 )，
所以，顶点函数值为：.
则端点函数值为：，
.
所以二次函数在闭区间上的最大值出现在端点或顶点处，
需根据 的符号分情况讨论：
情况 1：（抛物线开口向下），此时顶点为最大值点，最大值在 处：，
解得：，
情况 2：（抛物线开口向上），此时顶点为最小值点，最大值在端点处，
比较端点值：，，
因为 ，所以 ，则 ，
所以，函数的最大值在 处：，
解得：，
综上所述，满足条件的解为 ： 或 .
故答案为：D.
【分析】利用分类讨论方法结合二次函数性质，再利用已知条件得出实数k的值.
9．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：当时，，当且仅当时，即当时取等号，故A正确；
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，故D正确；
因为，又因为，
所以，当且仅当时取等号，故B正确；
因为，又因为，
所以，，
则，故C不正确.
故答案为：C.
【分析】利用均值不等式求最值的方法，则判断出选项A和选项D；利用二次函数求最值的方法，则判断出选项B；先变形式子，再分析取值情况，则判断出选项C，从而找出说法错误的选项.
10．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可得：在上，在上，
且，
由，可得，则或，
则原不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】 由题意可得：在上，在上，且，不等式转化为 求解即可.
11．【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：因为且，
所以x的所有取值为4，5，6.
故答案为：.
【分析】利用元素与集合的关系和x的取值范围，则用列举法把集合A表示出来.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：函数的定义域需要满足以下条件：
则平方根内的表达式非负：要求，
又因为分母不为零：分母为，
因此，则，
解得.
故答案为：.
【分析】根据平方根内的表达式非负和分母不为零，从而列不等式组求解得出函数的定义域.
13．【答案】{x｜2＜x＜3}
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】由 ，得 ，从而解得 ，
所以，不等式 的解集为 ，
故答案为： .
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，
当且仅当时取等号，结合已知条件解得，符合题意，
所以，
因为恒成立，所以，
解得.
故答案为：.
【分析】先利用常数代换和基本不等式求最值的方法，从而得出，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数m的取值范围.
15．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：设用水量为立方米，水价为元，
则，
整理得到：，
当时，；时，，
则某户居民本月交纳的水费为90元，
所以用水量大于18立方米，
令，则（立方米）.
故答案为：.
【分析】根据题中的条件可得水费与水价的关系式，再根据该关系式得出此户居民本月用水量.
16．【答案】（1）解：当时，.
因为，
所以；
又因为或，
所以或．
（2）解：因为是的充分条件，
所以，
则，
解得，
所以实数m的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】（1）利用m的值得出集合B，再利用并集的运算法则、交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）根据充分条件的判断方法得到集合的包含关系，再列出不等式组，从而求解得出实数m的取值范围.
（1）当时，.
因为，
所以；
因为或，
所以或．
（2）因为是的充分条件，
所以，
所以，解得，
所以实数m的取值范围是．
17．【答案】（1）解：因为为幂函数，
所以，
解得或，
当时，，在上单调递增，符合题意；
当时，，在上单调递减，不合题意，
所以.
（2）解：因为，函数定义域为R，
又因为，
所以函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，
若，则，
解得，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用幂函数为得出，再由函数在上单调递增，从而解出的值，进而得出函数的解析式.
（2）由函数的奇偶性和单调性，从而解不等式得出实数a的取值范围.
（1）为幂函数，则有，解得或，
时，，在上单调递增，符合题意；
时，，在上单调递减，不合题意；
所以.
（2），函数定义域为R，，
函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，
若，有，解得，
所以实数的取值范围为.
18．【答案】（1）解：当时，，
又因为不等式，
则，
解得或，
所以不等式的解集为或．
（2）解：当时，在区间上单调递减，不符合题意；
当时，函数在区间上不单调，
其对称轴需满足，
则，
解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
（3）解：因为不等式恒成立，
所以不等式恒成立，
当时，恒成立；
当时，要使恒成立，
则需，
解得，
综上所述，实数a的取值范围是．
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集.
（2）根据二次函数的单调性和对称性，从而列不等式组求解得出实数a的取值范围.
（3）先分类讨论，再利用不等式恒成立问题求解方法和二次函数的图象，从而得出实数a的取值范围.
（1）（1）当时，，
不等式，，
解得或，
所以不等式的解集为或．
（2）当时，在区间上单调递减，不符合题意；
当时，函数在区间上不单调，
其对称轴需满足，
即，解得.
综上所述，实数a的取值范围是．
（3）不等式恒成立，即不等式恒成立.
当时，恒成立；
当时，要使恒成立，
则需，
解得.
综上所述，实数a的取值范围是．
19．【答案】（1）解：当时，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
证明如下：，，且，
则
，
因为，，且，
所以，，
当，时，，得，即；
当，时，，得，即，
所以在上单调递增，在上单调递减．
（2）解：当，时，，
易知的单调区间与的单调区间一致，
由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
因为函数在上单调，
所以，在上单调递增，
又因为存在，使得成立，
所以，
则，
解得或，
所以实数a的取值范围为．
（3）解：由题意，得，
易知在区间上单调递增.
①当时，函数在上单调递增，在上单调递增，
则；
②当时，函数在上单调递增，
在上单调递减，在上单调递增，
则，，
当时，即当时，；
当时，即当时，，
综上所述，．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义判断并证出函数的单调性.
（2）由题意，先求出，从而得出，再根据能存在，使得成立，则，从而解一元二次不等式得出实数a的取值范围.
（3）利用已知条件分段写出函数的表达式为，再利用函数的单调性分类讨论，从而求出函数的最大值，进而得出函数的解析式．
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