《直线与圆的位置关系》专题练习（1）
一．选择题（共15小题）
1．（2016?湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．（2016?无锡）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．35° C．20° D．40°
3．（2016?河池）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5）
4．（2016?台湾）如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2016?鄂州）如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9，以下结论：
①⊙O的半径为；②OD∥BE； ③PB=；④tan∠CEP=．
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2016?台州）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2+1 C．9 D．
7．（2016?荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2016?潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
9．（2016?襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（ ）
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
10．（2015?南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
11．（2015?吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
12．（2015?衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
13．（2015?河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
14．（2014?常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2015?湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2
二．填空题（共10小题）
16．（2016?包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
17．（2016?泰安）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为 ．
18．（2016?无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
19．（2016?日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是 ．
20．（2016?攀枝花）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
21．（2016?哈尔滨）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为 ．
22．（2016?淄博）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为 ．
23．（2014?宜宾）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．
24．（2014?辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y=x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆Cn的半径分别为r1、r2、r3…、rn，当r1=1时，rn= （n＞1的自然数）
25．（2015春?锡山区期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 ．
三．解答题（共5小题）
26．（2016?三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
27．（2016?漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
28．（2016?绵阳）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．
29．（2016?怀化）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
30．（2016?泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
参考答案与解析
一．选择题（共15小题）
1．（2016?湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
2．（2016?无锡）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C=70°，则∠AOD的度数为（ ）
A．70° B．35° C．20° D．40°
【分析】先依据切线的性质求得∠CAB的度数，然后依据直角三角形两锐角互余的性质得到∠CBA的度数，然后由圆周角定理可求得∠AOD的度数．
【解答】解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC．
∴∠CAB=90°．
又∵∠C=70°，
∴∠CBA=20°．
∴∠DOA=40°．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质，求得∠CBA=20°是解题的关键．
3．（2016?河池）如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切，与y轴相交于A（0，2），B（0，8），则圆心P的坐标是（ ）
A．（5，3） B．（5，4） C．（3，5） D．（4，5）
【分析】过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，由切线的性质可求得PD的长，则可得PB的长，由垂径定理可求得CB的长，在Rt△PBC中，由勾股定理可求得PC的长，从而可求得P点坐标．
【解答】解：
如图，过P作PC⊥AB于点C，过P作PD⊥x轴于点D，连接PB，
∵P为圆心，
∴AC=BC，
∵A（0，2），B（0，8），
∴AB=8﹣2=6，
∴AC=BC=3，
∴OC=8﹣3=5，
∵⊙P与x轴相切，
∴PD=PB=OC=5，
在Rt△PBC中，由勾股定理可得PC===4，
∴P点坐标为（4，5），
故选D．
【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，利用切线的性质求得圆的半径是解题的关键．
4．（2016?台湾）如图，菱形ABCD的边长为10，圆O分别与AB、AD相切于E、F两点，且与BG相切于G点．若AO=5，且圆O的半径为3，则BG的长度为何？（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】连接OE，由⊙O与AB相切于E，得到∠AEO=90°，根据勾股定理得到AE==4，根据切线长定理即可得到结论．
【解答】解：连接OE，
∵⊙O与AB相切于E，
∴∠AEO=90°，
∵AO=5，OE=3，
∴AE==4，
∵AB=10，
∴BE=6，
∵BG与⊙O相切于G，
∴BG=BE=6，
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
5．（2016?鄂州）如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9，以下结论：
①⊙O的半径为；②OD∥BE； ③PB=；④tan∠CEP=．
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】作DK⊥BC于K，连接OE，①错误，在Rt△CDK中，利用勾股定理求得DK=12，故错误．②正确．可以证明AQ=QE，AO=OB，由此得出结论．③正确．根据PB=计算即可．④错误；根据tan∠CEP=tan∠CBP=计算即可．
【解答】解：作DK⊥BC于K，连接OE．
∵AD、BC是切线，
∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，
∴四边形ABKD是矩形，
∴DK=AB，AD=BK=4，
∵CD是切线，
∴DA=DE，CE=CB=9，
在Rt△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC﹣BK=5，
∴DK==12，
∴AB=DK=12，
∴⊙O半径为6．故①错误，
∵DA=DE，OA=OE，
∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，
∴AQ=QE，∵AO=OB，
∴OD∥BE，故②正确．
在Rt△OBC中，PB===，故③正确，
∵CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∴tan∠CEP=tan∠CBP===，故④错误，
∴②③正确，
故选B．
【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角形中位线性质、直角三角形斜边上的高的求法等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，熟练掌握切线长定理，属于中考常考题型．
6．（2016?台州）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6 B．2+1 C．9 D．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB=10，AC=8，BC=6，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°，
∵∠OP1B=90°，
∴OP1∥AC
∵AO=OB，
∴P1C=P1B，
∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
故选C．
【点评】本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
7．（2016?荆州）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．
【解答】解；如图，
由四边形的内角和定理，得
∠BOA=360°﹣90°﹣90°﹣80°=100°，
由=，得
∠AOC=∠BOC=50°．
由圆周角定理，得
∠ADC=∠AOC=25°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出=是解题关键，又利用了圆周角定理．
8．（2016?潍坊）如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）和点C（0，16），则圆心M到坐标原点O的距离是（ ）
A．10 B．8 C．4 D．2
【分析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB，在RT△AOM中求出OM即可．
【解答】解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），
∴AM⊥OA，OA=8，
∴∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM=OH，
∵MH⊥BC，
∴HC=HB=6，
∴OH=AM=10，
在RT△AOM中，OM===2．
故选D．
【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形．
9．（2016?湖北襄阳）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（ ）
A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
【分析】根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD=DI．
【解答】解：∵I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，故C正确，不符合题意；
∠ABI=∠CBI，∴=，
∴BD=CD，故A正确，不符合题意；
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠BAD=∠DBC，
∵∠IBD=∠IBC+∠DBC，∠BID=∠ABI+∠BAD，
∴∠BDI=∠DIB，
∴BD=DI，故B正确，不符合题意；
故选D．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．
10．（2015?南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果．
【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，
∴NM=，
∴DM=3=，
故选A．
【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（2015?吉林）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【分析】根据切线的性质得出∠OCD=90°，进而得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可．
【解答】解：∵在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BCD=50°，
∴∠OCB=40°，
∴∠AOC=80°，
故选C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
12．（2015?衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】首先连接OD、BD，判断出OD∥BC，再根据DE是⊙O的切线，推得DE⊥OD，所以DE⊥BC；然后根据DE⊥BC，CD=5，CE=4，求出DE的长度是多少；最后判断出BD、AC的关系，根据勾股定理，求出BC的值是多少，再根据AB=BC，求出AB的值是多少，即可求出⊙O的半径是多少．
【解答】解：如图1，连接OD、BD，，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴AD=CD，
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥BC，
∵CD=5，CE=4，
∴DE=，
∵S△BCD=BD?CD÷2=BC?DE÷2，
∴5BD=3BC，
∴，
∵BD2+CD2=BC2，
∴，
解得BC=，
∵AB=BC，
∴AB=，
∴⊙O的半径是；
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
13．（2015?河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．
【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA=OB=×=12，
∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，
∴PM=PA，
设P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P的半径PM=PA=6﹣x，
∵x为整数，PM为整数，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，
∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
14．（2014?常州）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣3，0），点B（0，），点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左平移，平移后得到⊙P′（点P的对应点为点P′），当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】在解答本题时要先求出⊙P的半径，继而求得相切时P′点的坐标，根据A（﹣3，0），可以确定对应的横坐标为整数时对应的数值．
【解答】解：如图所示，∵点P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O，
∴⊙P的半径是1，
若⊙P与AB相切时，设切点为D，由点A（﹣3，0），点B（0，），
∴OA=3，OB=，由勾股定理得：AB=2，∠DAM=30°，
设平移后圆与直线AB第一次相切时圆心为M（即对应的P′），
∴MD⊥AB，MD=1，又因为∠DAM=30°，
∴AM=2，M点的坐标为（﹣1，0），即对应的P′点的坐标为（﹣1，0），
同理可得圆与直线第二次相切时圆心N的坐标为（﹣5，0），
所以当⊙P′与直线l相交时，横坐标为整数的点P′的横坐标可以是﹣2，﹣3，﹣4共三个．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的切线的性质的综合应用，解答本题的关键在于找到圆与直线相切时对应的圆心的坐标，然后结合A点的坐标求出对应的圆心的横坐标的整数解．
15．（2015?湖州）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG．点F，G分别在边AD，BC上，连结OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是（ ）
A．CD+DF=4 B．CD﹣DF=2﹣3 C．BC+AB=2+4 D．BC﹣AB=2
【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，证明△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），所以c=a+b﹣2．在Rt△ABC中，利用勾股定理求得（舍去），从而求出a，b的值，所以BC+AB=2+4．再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，由勾股定理可得，解得x=4，从而得到CD﹣DF=，CD+DF=．即可解答．
【解答】解：如图，
设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，
∵将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，
∴OG=DG，
∵OG⊥DG，
∴∠MGO+∠DGC=90°，
∵∠MOG+∠MGO=90°，
∴∠MOG=∠DGC，
在△OMG和△GCD中，
∴△OMG≌△GCD，
∴OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．
∵AB=CD，
∴BC﹣AB=2．
设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r=（a+b﹣c），
∴c=a+b﹣2．
在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2=（a+b﹣2）2，
整理得2ab﹣4a﹣4b+4=0，
又∵BC﹣AB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4=0，
解得（舍去），
∴，
∴BC+AB=2+4．
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN=，OF=x，ON=，
由勾股定理可得，
解得x=4，
∴CD﹣DF=，CD+DF=．
综上只有选项A错误，
故选A．
【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识点的综合应用，解决本题的关键是三角形内切圆的性质．
二．填空题（共10小题）
16．（2016?包头）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为 ．
【分析】在RT△POC中，根据∠P=30°，PC=3，求出OC、OP即可解决问题．
【解答】解：∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠OCA=∠A=30°，
∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，
∵PC是⊙O切线，
∴∠PCO=90°，∠P=30°，
∵PC=3，
∴OC=PC?tan30°=，PO=2OC=2，
∴PB=PO﹣OB=，
故答案为．
【点评】本题考查切线的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数等知识，解题的关键是利用切线的性质，在RT△POC解三角形是突破口，属于中考常考题型．
17．（2016?泰安）如图，半径为3的⊙O与Rt△AOB的斜边AB切于点D，交OB于点C，连接CD交直线OA于点E，若∠B=30°，则线段AE的长为 ．
【分析】要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据∠B=30°和OB的长求得，OE可以根据∠OCE和OC的长求得．
【解答】解：连接OD，如右图所示，
由已知可得，∠BOA=90°，OD=OC=3，∠B=30°，∠ODB=90°，
∴BO=2OD=6，∠BOD=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，AO=BO?tan30°=，
∵∠COE=90°，OC=3，
∴OE=OC?tan60°=，
∴AE=OE﹣OA=，
故答案为：．
【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
18．（2016?无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD=t，
∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴=
∴EF===
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（4﹣t）2=+，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．
故答案为：
【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．
19．（2016?日照）如图，直线y=﹣与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，﹣1）为圆心、1为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小是 ．
【分析】过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．
【解答】解：过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．
直线AB的解析式为y=﹣，即3x+4y﹣12=0，
∴CP==．
∵PQ为⊙C的切线，
∴在Rt△CQP中，CQ=1，∠CQP=90°，
∴PQ==．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键．
20．（2016?攀枝花）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
【分析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD=S△ABD=S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．
【解答】解：过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD=S△ACD，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴AB?OE+BD?OF=CD?AC，即5×OE+2×0E=2×3，
解得OE=，
∴⊙O的半径是．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
21．（2016?哈尔滨）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC、BE．若AE=6，OA=5，则线段DC的长为 ．
【分析】OC交BE于F，如图，有圆周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，则可判断BE∥CD，再利用切线的性质得OC⊥CD，则OC⊥BE，原式可判断四边形CDEF为矩形，所以CD=EF，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长．
【解答】解：OC交BE于F，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AD⊥l，
∴BE∥CD，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∴OC⊥BE，
∴四边形CDEF为矩形，
∴CD=EF，
在Rt△ABE中，BE===8，
∵OF⊥BE，
∴BF=EF=4，
∴CD=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是证明四边形CDEF为矩形．
22．（2016?淄博）如图，⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为4，有一内角为60°的菱形，当菱形的一边在直线l上，另有两边所在的直线恰好与⊙O相切，此时菱形的边长为 ．
【分析】考虑菱形与另有两边所在的直线相切，分三种情况进行讨论，添加相应辅助线计算即可．
【解答】解：第一种情况：
过点O作直线l的垂线，交AD于E，交BC于F，作AG直线l于G，
由题意得，EF=2+4=6，
∵四边形AGFE为矩形，
∴AG=EF=6，
在Rt△ABG中，AB===4．
第二种情况：
过O点作OE⊥l于E点，过D点作DF⊥l于F点，则
OE=4，DF=2，DC=DF=
第三种情况：
过O点作EF垂直于BA延长线于E点，交CD于F点，过A点作AG⊥CD于G
则AG=EF=4，AD=AG=
故答案为：4或或．
【点评】本题考查的是切线的性质和菱形的性质，根据题意正确画出图形、灵活运用解直角三角形的知识是解题的关键．
23．（2014?宜宾）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=2，AD和BE是圆O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB，若∠ABC=30°，则AM= ．
【分析】连接OM，OC，由OB=OC，且∠ABC的度数求出∠BCO的度数，利用外角性质求出∠AOC度数，利用切线长定理得到MA=MC，利用HL得到三角形AOM与三角形COM全等，利用全等三角形对应角相等得到OM为角平分线，求出∠AOM为30°，在直角三角形AOM中，利用锐角三角函数定义即可求出AM的长．
【解答】解：连接OM，OC，
∵OB=OC，且∠ABC=30°，
∴∠BCO=∠ABC=30°，
∵∠AOC为△BOC的外角，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，
∵MA，MC分别为圆O的切线，
∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，
在Rt△AOM和Rt△COM中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），
∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，
在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，
∴tan30°=，即=，
解得：AM=．
故答案为：．
【点评】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
24．（2014?辽阳）如图，a个半圆弧依次相外切，他们的圆心都在x轴的正半轴上，并都与直线y=x相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆Cn的半径分别为r1、r2、r3…、rn，当r1=1时，rn= （n＞1的自然数）
【分析】过C1、C2、C3、…、Cn作直线y=x的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图，根据切线的性质得C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，再确定直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°，接着利用两圆相切的性质得到C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，然后根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OC1A1中得到OC1=2C1A1=2，在Rt△OC2A2中得到2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，在Rt△OC3A3中得到6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，再观察计算出来的半径得到半径都是3的正整数指数幂，且指数比序号数小1，于是得rn=3n﹣1．
【解答】解：过C1、C2、C3、…、Cn作直线y=x的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图，
∵a个半圆弧都与直线y=x相切，
∴C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，
∵x=1时，y=x=，
∴直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°，
∵a个半圆弧依次相外切，
∴C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，
在Rt△OC1A1中，OC1=2C1A1=2，
在Rt△OC2A2中，OC2=2C2A2，则2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，
在Rt△OC3A3中，OC3=2C3A3，则6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，
在Rt△OC4A4中，OC4=2C4A4，则18+9+r4=2r4，解得r4=27=33，
由此可得rn=3n﹣1．
故答案为rn=3n﹣1．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
25．（2015春?锡山区期中）如图，已知A、B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，﹣1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是 ．
【分析】当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．设EF=x，由切割线定理表示出DE，可证明△CDE∽△AOE，根据相似三角形的性质可求得x，然后求得△ABE面积．
【解答】解：当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
连接AC，
∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，
∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），
∴AD=AO=2，
连接CD，设EF=x，
∴DE2=EF?OE，
∵CF=1，
∴DE=，
∴△CDE∽△AOE，
∴=，
即=，
解得x=，
S△ABE===．
故答案为：
【点评】本题是一个动点问题，考查了切线的性质和三角形面积的计算，解题的关键是确定当射线AD与⊙C相切时，△ABE面积的最大．
三．解答题（共5小题）
26．（2016?三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；
（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．
27．（2016?漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD==，根据切割线定理得到CD2=AD?DE，根据勾股定理得到CE==，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．
【解答】解：（1）相切，连接OC，
∵C为的中点，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∴∠2=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）方法1：连接CE，
∵AD=2，AC=，
∵∠ADC=90°，
∴CD==，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2=AD?DE，
∴DE=1，
∴CE==，
∵C为的中点，
∴BC=CE=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==3．
方法2：∵∠DCA=∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴=，
∴AB=3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
28．（2016?绵阳）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若OF=4，求AC的长度．
【分析】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；
（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．
【解答】解：（1）DE与⊙O相切．
证明：连接OD、AD，
∵点D是的中点，
∴=，
∴∠DAO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA，
∴∠DAC=∠ODA，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切．
（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，
由垂径定理可得：OH⊥BC， ==，
∴=，
∴DG=BC，
∴弦心距OH=OF=4，
∵AB是直径，
∴BC⊥AC，
∴OH∥AC，
∴OH是△ABC的中位线，
∴AC=2OH=8．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．
29．（2016?怀化）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；
（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证．
【解答】解：（1）如图所示，⊙P为所求的圆；
（2）BC与⊙P相切，理由为：
过P作PD⊥BC，交BC于点P，
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD=PA，
∵PA为⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及作图﹣复杂作图，证明切线的方法有两种：一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径．
30．（2016?泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．
（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．
（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴=，
∴PC2=PF?PA，设PF=a．则PC=2a，
∴4a2=a（a+5），
∴a=，
∴PC=2a=．
【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
《直线与圆的位置关系》专题练习（2）
1．（2016?百色）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．
（1）求证：∠1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．
2．（2016?济南）（1）如图1，在菱形ABCD中，CE=CF，求证：AE=AF．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
3．（2016?曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．
（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；
（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．
4．（2016?南通）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当⊙O的半径为2cm，求CD的长．
5．（2016?十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．
6．（2016?雅安）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．
7．（2016?武汉）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD=，求的值．
8．（2016?江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
9．（2016?烟台）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．
10．（2016?北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．
11．（2016?南平）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
（1）求证：OC=AD；
（2）若∠P=50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长（精确到0.1）
12．（2016?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；
②求⊙O的半径．
13．（2016?天津）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．
14．（2016?资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．
（1）求证：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
15．（2016?营口）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．
（1）求证：CA=CP；
（2）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．
16．（2016?南京）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．
（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．
17．（2016?梧州）如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点．
求证：（1）△ACO≌△BDO；（2）CE=DF．
18．（2016?扬州）如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半径和BF的长．
19．（2016?枣庄）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．
20．（2016?荆门）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．
21．（2016?宁波）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
22．（2016?南宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．
23．（2016?贺州）如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．
24．（2016?张家界）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径．
25．（2016?乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长．
26．（2016?呼伦贝尔）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当OE=10时，求BC的长．
27．（2016?衢州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线．
（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．
28．（2016?常德）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．
29．（2016?襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的长．
30．（2016?毕节市）如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，DF=，求⊙O的直径BC的长．
参考答案与解析
1．（2016?百色）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E．
（1）求证：∠1=∠CAD；
（2）若AE=EC=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）由AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，易证得∠CAD=∠BDO，继而证得结论；
（2）由（1）易证得△CAD∽△CDE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得CD的长，再利用勾股定理，求得答案．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
∵AC为⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAD+∠CAD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠1=∠BDO，
∴∠1=∠CAD；
（2）解：∵∠1=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CDE，
∴CD：CA=CE：CD，
∴CD2=CA?CE，
∵AE=EC=2，
∴AC=AE+EC=4，
∴CD=2，
设⊙O的半径为x，则OA=OD=x，
则Rt△AOC中，OA2+AC2=OC2，
∴x2+42=（2+x）2，
解得：x=．
∴⊙O的半径为．
【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．注意证得△CAD∽△CDE是解此题的关键．
2．（2016?济南）（1）如图1，在菱形ABCD中，CE=CF，求证：AE=AF．
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【分析】（1）根据菱形的性质，利用SAS判定△ABE≌△ADF，从而求得AE=AF；
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠PAO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D
∵CE=CF，
∴BE=DF
在△ABE与△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF；
（2）∵AB是⊙O的直径，直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°．
又∵∠OPA=40°，
∴∠POA=50°，
∴∠ABC=∠POA=25°．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．同时考查了切线的性质，圆周角定理．圆的切线垂直于经过切点的半径．
3．（2016?曲靖）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．
（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；
（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．
【分析】（1）连接OE，设圆的半径为r，在之间三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据BC与圆相切，得到OE垂直于BC，进而得到一对直角相等，再由一对公共角，利用两角相等的三角形相似得到三角形BOE与三角形ABC相似，由相似得比例求出r的值即可；
（2）利用同弧所对的圆周角相等，得到∠AOE=4∠B，进而求出∠B与∠F的度数，根据EF与AD垂直，得到一对直角相等，确定出∠MEB=∠F=60°，CA与EF平行，进而得到CB与AF平行，确定出四边形ACEF为平行四边形，再由∠CAB为直角，得到CA为圆的切线，利用切线长定理得到CA=CE，利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证．
【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为人，
在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，
根据勾股定理得：AB==12，
∵BC与圆O相切，
∴OE⊥BC，
∴∠OEB=∠BAC=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BOE∽△BCA，
∴=，即=，
解得：r=；
（2）∵=，∠F=2∠B，
∴∠AOE=2∠F=4∠B，
∵∠AOE=∠OEB+∠B，
∴∠B=30°，∠F=60°，
∵EF⊥AD，
∴∠EMB=∠CAB=90°，
∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，
∴CB∥AF，
∴四边形ACEF为平行四边形，
∵∠CAB=90°，OA为半径，
∴CA为圆O的切线，
∵BC为圆O的切线，
∴CA=CE，
∴平行四边形ACEF为菱形．
【点评】此题考查了切线的性质，菱形的判定，相似三角形的判定与性质，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
4．（2016?南通）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于点C，OC平分∠AOB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当⊙O的半径为2cm，求CD的长．
【分析】（1）由AM为圆O的切线，利用切线的性质得到OA与AM垂直，再由BD与AM垂直，得到OA与BD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由OC为角平分线得到一对角相等，以及OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠BOC=∠OBC=∠OCB=60°，即可得出答案；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，进而得出四边形OADE是矩形，得出DC的长即可．
【解答】解：（1）∵AM为圆O的切线，
∴OA⊥AM，
∵BD⊥AM，
∴∠OAD=∠BDM=90°，
∴OA∥BD，
∴∠AOC=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，
∴∠AOB=120°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，
∵∠BOC=∠OCB=∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴BE=EC=1，
∵∠OED=∠EDA=∠OAD=90°，
∴四边形OADE是矩形，
∴DE=OA=2，
∴EC=DC=1．
【点评】此题考查了切线的性质，平行线的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
5．（2016?十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；
②若AC=3，BC=4，求CE的长．
【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明．
（2）①只要证明∠CEF=∠CFE即可．
②由△DCA∽△DBC，得===，再由△DCE∽△DBF，得=，设EC=CF=x，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OC．
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵CD是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠DCO=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵AB是直径，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B．
（2）解：①∵∠CEF=∠ECD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠FDB，
∵∠CDE=∠FDB，∠ECD=∠B，
∴∠CEF=∠CFE，∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴tan∠CFE=tan45°=1．
②在RT△ABC中，∵AC=3，BC=4，
∴AB==5，
∵∠CDA=∠BDC，∠DCA=∠B，
∴△DCA∽△DBC，
∴===，
∵∠CDE=∠BDF，∠DCE=∠B，
∴△DCE∽△DBF，
∴==，设EC=CF=x，
∴=，
∴x=．
∴CE=．
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．（2016?雅安）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D．
（1）求证：△PCD是等腰三角形；
（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．
【分析】（1）连接OC，由切线性质和垂直性质得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°，继而可得∠3=∠5得证；
（2）连接OC、BC，先根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC得QC=QB=5，而sinE=sin∠ABF=，可知QH=3、BH=4，设圆的半径为r，在RT在△OCH中根据勾股定理可得r的值，在RT△ABF中根据三角函数可得答案．
【解答】解：（1）连接OC，
∵EC切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴∠1+∠3=90°，
又∵OP⊥OA，
∴∠2+∠4=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
又∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴DP=DC，即△PCD为等腰三角形．
（2）如图2，连接OC、BC，
∵DE与⊙O相切于点E，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠BCE=90°，
又∵CG⊥AB，
∴∠OBC+∠BCG=90°，
∴∠BCE=∠BCG，
∵BF∥DE，
∴∠BCE=∠QBC，
∴∠BCG=∠QBC，
∴QC=QB=5，
∵BF∥DE，
∴∠ABF=∠E，
∵sinE=，
∴sin∠ABF=，
∴QH=3、BH=4，
设⊙O的半径为r，
∴在△OCH中，r2=82+（r﹣4）2，
解得：r=10，
又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=，
∴AF=12．
【点评】本题主要考查切线的性质、平行线的性质及三角函数的应用等知识的综合，根据切线性质和平行线性质及垂直性质证∠BCG=∠QBC是解题的关键．
7．（2016?武汉）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）连接BE交AC于点F，若cos∠CAD=，求的值．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和已知求出OC∥AD，求出∠OCA=∠CAO=∠DAC，即可得出答案；
（2）连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H，根据cos∠CAD==，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，根据cos∠CAB==，求出AB、BC，再根据勾股定理求出CH，由此即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AD，
∴AD∥OC，
∴∠CAD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAD=∠CAO，
即AC平分∠DAB；
（2）解：连接BE、BC、OC，BE交AC于F交OC于H．
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠DEH=∠D=∠DCH=90°，
∴四边形DEHC是矩形，
∴∠EHC=90°即OC⊥EB，
∴DC=EH=HB，DE=HC，
∵cos∠CAD==，设AD=4a，AC=5a，则DC=EH=HB=3a，
∵cos∠CAB==，
∴AB=a，BC=a，
在RT△CHB中，CH==a，
∴DE=CH=a，AE==a，
∵EF∥CD，
∴==．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系的应用，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
8．（2016?江西）如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质和PE⊥OE以及∠OAC=∠OCA得∠APE=∠DPC，然后结合对顶角的性质可证得结论；
（2）由∠CAB=30°易得△OBC为等边三角形，可得∠AOC=120°，由F是的中点，易得△AOF与△COF均为等边三角形，可得AF=AO=OC=CF，易得以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵∠OAC=∠ACO，PE⊥OE，OC⊥CD，
∴∠APE=∠PCD，
∵∠APE=∠DPC，
∴∠DPC=∠PCD，
∴DC=DP；
（2）解：以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形；
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是的中点，
∴∠AOF=∠COF=60°，
∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．
【点评】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理和等边三角形的判定等，作出恰当的辅助线利用切线的性质是解答此题的关键．
9．（2016?烟台）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半径为1，PD=3DE，求OE及AB的长．
【分析】（1）由∠PBD+∠OBD=90°，∠DBE+∠BDO=90°利用等角的余角相等即可解决问题．
（2）利用面积法首先证明==，再证明△BEO∽△PEB，得=，即==，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵PB是⊙O切线，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBD+∠OBD=90°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵OP⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠DBE+∠BDE=90°，
∴∠PBD=∠EBD，
∴BD平分∠PBC．
（2）解：作DK⊥PB于K，
∵==，
∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，
∴DK=DE，
∴==，
∵∠OBE+∠PBE=90°，∠PBE+∠P=90°，
∴∠OBE=∠P，∵∠OEB=∠BEP=90°，
∴△BEO∽△PEB，
∴=，
∴==，
∵BO=1，
∴OE=，
∵OE⊥BC，
∴BE=EC，∵AO=OC，
∴AB=2OE=．
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是添加辅助线，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
10．（2016?北京）如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．
（1）求证：AC∥DE；
（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．
【分析】（1）欲证明AC∥DE，只要证明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD，首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE?DM，只要求出DM即可．
【解答】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D，
∴OD⊥DE，
∵F为弦AC中点，
∴OD⊥AC，
∴AC∥DE．
（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．
首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE?DM，只要求出DM即可．
∵AC∥DE，AE=AO，
∴OF=DF，
∵AF⊥DO，
∴AD=AO，
∴AD=AO=OD，
∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形，
∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a，
∴AO∥CD，又AE=CD，
∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM=a，
∴平行四边形ACDE面积=a2．
【点评】本题考查切线的性质、平行四边形的性质、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．（2016?南平）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于D
（1）求证：OC=AD；
（2）若∠P=50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长（精确到0.1）
【分析】（1）只要证明四边形OADC是矩形即可．
（2）在RT△OBC中，根据sin∠BCO=，求出OC即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，即∠OAD=90°，
∵OC∥AP，
∴∠COA=180°﹣∠OAD=180°﹣90°=90°，
∵CD∥PA，
∴∠CDA=∠OAD=∠COA=90°，
∴四边形AOCD是矩形，
∴OC=AD．
（2）解：∵PB切⊙O于等B，
∴∠OBP=90°，
∵OC∥AP，
∴∠BCO=∠P=50°，
在RT△OBC中，sin∠BCO=，OB=4，
∴OC=≈5.22，
∴矩形OADC的周长为2（OA+OC）=2×（4+5.22）=18.4．
【点评】本题考查切线的性质、矩形的判定和性质等知识解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2016?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．
①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；
②求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OD．先证明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，再根据OA=OD，得到∠OAD=∠ODA，进而得到∠CAD=∠BAD，即可解答．
（2）①DF=DH，利用FH平分∠AFE，得到∠AFH=∠EFH，再证明∠DFH=∠DHF，即可得到DF=DH．
②设HG=x，则DH=DF=1+x，证明△DFG∽△DAF，得到，即，求出x=1，再根据勾股定理求出AF，即可解答．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD平分∠CAB．
（2）①DF=DH，理由如下：
∵FH平分∠AFE，
∴∠AFH=∠EFH，
又∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，
∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，
即∠DFH=∠DHF，
∴DF=DH．
②设HG=x，则DH=DF=1+x，
∵OH⊥AD，
∴AD=2DH=2（1+x），
∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，
∴△DFG∽△DAF，
∴，
∴，
∴x=1，
∵DF=2，AD=4，
∵AF为直径，
∴∠ADF=90°，
∴AF=
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，本题涉及的知识点：两直线平行，等腰三角形的判定、三角形相似．
13．（2016?天津）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．
【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC，
∵⊙O与PC相切于点C，
∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，
∵∠CAB=27°，
∴∠COB=2∠CAB=54°，
在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，
∴∠P=90°﹣∠COP=36°；
（Ⅱ）∵E为AC的中点，
∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，
在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，
得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，
∴∠ACD=∠AOD=40°，
∵∠ACD是△ACP的一个外角，
∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．
【点评】本题考查了切线的性质，解题的关键是能够利用圆的切线垂直于经过切点的半径得到直角三角形，难度不大．
14．（2016?资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．
（1）求证：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
【分析】（1）由圆周角推论可得∠A+∠ABD=90°，由切线性质可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；
（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，
∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
∵∠ADB=90°，DM=1，
∴DN=DM=1，
∴MN==．
【点评】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键，．
15．（2016?营口）如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，OE⊥AB交⊙O于点E，连接CA、CE、CB，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF交BC于点P．
（1）求证：CA=CP；
（2）连接OF，若AC=，∠D=30°，求线段OF的长．
【分析】（1）先利用直角三角形的两锐角互余和对顶角，得出∠BAP=∠OEG，再用同弧所对的圆周角相等得出∠ABC=∠AEC，最后用三角形的外角得出∠APC=∠AEO=45°即可；
（2）先利用切线的性质得出∠AOC=60°，进而得出∠BAC=60°，再利用锐角三角函数求出BC，进而得出BP，最后利用三角形的中位线判断出OF=BP即可．
【解答】解：（1）如图1，
连接AE，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，∠AEO=45°，
∴∠OEG+∠OGE=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠AFG=90°，
∴∠FAG+∠AGF=90°，
∵∠AGF=∠OGE，
∴∠OEG=∠BAP，
∵∠AEC=∠ABC，
∴∠APC=∠ABC+∠BAP=∠AEC+∠OEG=∠AEO=45°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠APC=45°=∠APC，
∴CA=CP；
（2）如图2，
连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∵∠D=30°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=60°
在Rt△ABC中，AC=，
∴BC=ACtan∠BAC=ACtan60°=×=3，
由（1）知，CP=AC=，
∴BP=BC﹣CP=3﹣，
由（1）知AC=CP，
∵AF⊥CE，
∴AF=PF，
∵OA=OB，
∴OF=BP=（3﹣）．
【点评】此题是切线的性质，主要考查了圆的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线，圆周角的性质，求出∠APC=45°，和求出∠BAC=60°是解本题的关键．
16．（2016?南京）如图，O是△ABC内一点，⊙O与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC，连接DF、EG．
（1）求证：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时⊙O的半径．
【分析】（1）由切线长定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因为DE∥BC，由平行线的性质得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；
（2）如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，由△AOD∽△ABN得=，得到AD=r，再由△GBD∽△ABN得=，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD、AE是⊙O的切线，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；
（2）解：如图，连接AO，交DE于点M，延长AO交BC于点N，连接OE、DG，设⊙O半径为r，
∵四边形DFGE是矩形，
∴∠DFG=90°，
∴DG是⊙O直径，
∵⊙O与AB、AC分别相切于点D、E，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵OD=OE，OE⊥AC，
∵OD=OE．
∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，
∴AN⊥BC，BN=BC=6，
在RT△ABN中，AN===8，
∵OD⊥AB，AN⊥BC，
∴∠ADO=∠ANB=90°，
∵∠OAD=∠BAN，
∴△AOD∽△ABN，
∴=，即=，
∴AD=r，
∴BD=AB﹣AD=10﹣r，
∵OD⊥AB，
∴∠GDB=∠ANB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△GBD∽△ABN，
∴=，即=，
∴r=，
∴四边形DFGE是矩形时⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆、切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用参数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
17．（2016?梧州）如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点．
求证：（1）△ACO≌△BDO；（2）CE=DF．
【分析】（1）直接利用切线的性质得出∠CAO=∠DBO=90°，进而利用ASA得出△ACO≌△BDO；
（2）利用全等三角形的性质结合垂径定理以及等腰三角形的性质得出答案．
【解答】证明：（1）∵过⊙O上的两点A、B分别作切线，
∴∠CAO=∠DBO=90°，
在△ACO和△BDO中
∵，
∴△ACO≌△BDO（ASA）；
（2）∵△ACO≌△BDO，
∴CO=DO，
∵OM⊥CD，
∴MC=DM，EM=MF，
∴CE=DF．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，正确得出△ACO≌△BDO是解题关键．
18．（2016?扬州）如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=2﹣，求⊙O的半径和BF的长．
【分析】（1）连接OE，根据切线性质得OE⊥DE，与已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根据同圆的半径相等得∠1=∠B，可得出三角形为等腰三角形；
（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG=x，通过AB=AC列等量关系式，可求得结论．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如图1，连接OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1=∠C，
∵OB=OE，
∴∠1=∠B，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C=75°，
∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，
设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，
∴DG=0E=2x，
根据AC=AB得：4x=x+2x+2﹣，
x=1，
∴0E=OB=2，
在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，
cos30=，OF==2÷=，
∴BF=﹣2，⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了切线的性质，由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，由此得出平行和角的关系，根据两个角相等的三角形是等腰三角形可得△ABC是等腰三角形；第二问运用了直角三角形30°角的性质及等腰三角形和矩形的有关性质，关键是找出恰当的等量关系式：AC=AB，设未知数，列关于x的一元一次方程得出结论．
19．（2016?枣庄）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为2，求BC的长．
【分析】（1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．
【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2，
∴OB=2，AC=4，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴，
即，
∴BC=2．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．
20．（2016?荆门）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．
【分析】（1）证明：连接CO，证得∠OCA=∠CAE，由平行线的判定得到OC∥FD，再证得OC⊥CE，即可证得结论；
（2）证明：连接BC，由圆周角定理得到∠BCA=90°，再证得△ABC∽△ACE，根据相似三角形的性质即可证得结论．
【解答】（1）证明：连接CO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠FAB，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥FD，
∵CE⊥DF，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：连接BC，
在Rt△ACE中，AC===，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠BCA=∠CEA，
∵∠CAE=∠CAB，
∴△ABC∽△ACE，
∴=，
∴，
∴AB=5，
∴AO=2.5，即⊙O的半径为2.5．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
21．（2016?宁波）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．
【分析】（1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．
【解答】证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF=CF=3，
∴OF===4．
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE=OF=4．
【点评】本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．
22．（2016?南宁）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．
【分析】（1）连接OD，由BD为角平分线得到一对角相等，根据OB=OD，等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，进而确定出OD与BC平行，利用两直线平行同位角相等得到∠ODA为直径，即可得证；
（2）由OD与BC平行得到三角形OAD与三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的长，进而确定出AB的长，连接EF，过O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的长，由垂径定理可得BE=2BG．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
则AC为圆O的切线；
（2）解：过O作OG⊥BC，连接OE，
∴四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∵OG⊥BE，OB=OE，
∴BE=2BG=12．
解得：BE=12．
【点评】此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
23．（2016?贺州）如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．
【分析】（1）由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；
（2）首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】（1）证明：∵AE=AB，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，
∵∠BAC=2∠CBE，
∴∠CBE=∠BAC，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，
即AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴=，
∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，
∴AC==10，
∴，
解得：AD=6.4，
∵AE=AB=8，
∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．
【点评】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线，证得△ABD∽△ACB是解此题的关键．
24．（2016?张家界）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD．
（1）求证：直线MN是⊙O的切线；
（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OC，推出AD∥OC，推出OC⊥MN，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AD、AC长，证△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB长即可．
【解答】（1）证明：连接OC，
因为OA=OC，
所以∠BAC=∠ACO．
因为AC平分∠BAD，
所以∠BAC=∠CAD，
故∠ACO=∠CAD．
所以OC∥AD，
又已知AD丄MN，
所以OC丄MN，
所以，直线MN是⊙O的切线；
（2）解：已知AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，
又AD丄MN，
则∠ADC=90°．
因为CD=3，∠CAD=30°，
所以AD=3，AC=6
在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠BAC=∠CAD，
所以Rt△ABC∽Rt△ACD，
则，
则AB=4，
所以⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
25．（2016?乐山）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB=，且sin∠CFD=，求⊙O的半径与线段AE的长．
【分析】（1）连结OD，如图，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，则∠B=∠ODC，于是可判断OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）在Rt△ODF利用正弦的定义得到sin∠OFD==，则可设OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE==，可得到AE=x，接着表示出BE得到x=，解得x=，于是可得到AE和OD的长．
【解答】（1）证明：连结OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD==，
设OD=3x，则OF=5x，
∴AB=AC=6x，AF=8x，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE==，
∴AE=?8x=x，
∵BE=AB﹣AE=6x﹣x=x，
∴x=，解得x=，
∴AE=?=6，
OD=3?=，
即⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．灵活应用三角函数的定义是解决（2）小题的关键．
26．（2016?呼伦贝尔）如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）当OE=10时，求BC的长．
【分析】（1）如图，连接OD．通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得结论；
（2）利用圆周角定理和垂径定理推知OE∥BC，所以根据平行线分线段成比例求得BC的长度即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE与△DOE中，
，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，∵OE=10．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵由（1）知，△AOE≌△DOE，
∴∠AEO=∠DEO，
又∵AE=DE，
∴OE⊥AD，
∴OE∥BC，
∴=，
∴BC=2OE=20，即BC的长是20．
【点评】本题考查了切线的判定与性质．解答（2）题时，也可以根据三角形中位线定理来求线段BC的长度．
27．（2016?衢州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD的延长线交于点F，且∠AFB=∠ABC．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线．
（2）若CD=2，OP=1，求线段BF的长．
【分析】（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可．
（2）连接OD，在RT△ODE中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF， =，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC，
∴∠AFB=∠ADC，
∴CD∥BF，
∴∠APD=∠ABF，
∵CD⊥AB，
∴AB⊥BF，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：连接OD，
∵CD⊥AB，
∴PD=CD=，
∵OP=1，
∴OD=2，
∵∠PAD=∠BAF，∠APD=∠ABF，
∴△APD∽△ABF，
∴=，
∴=，
∴BF=．
【点评】本题考查切线的判定，垂径定理、勾股定理．相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．
28．（2016?常德）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BC=，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．
【分析】（1）先根据等弦所对的劣弧相等，再结合∠EBD=∠CAB从而得到∠BAD=∠EBD，最后用直径所对的圆周角为直角即可；
（2）利用三角形的中位线先求出OF，再用平行线分线段成比例定理求出半径R，最后根据相似求出BE即可．
【解答】解：如图，
连接OB，∵BD=BC，
∴∠CAB=∠BAD，
∵∠EBD=∠CAB，
∴∠BAD=∠EBD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，OA=BO，
∴∠BAD=∠ABO，
∴∠EBD=∠ABO，
∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，
∵点B在⊙O上，
∴BE是⊙O的切线，
（2）如图2，
设圆的半径为R，连接CD，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACCD=90°，
∵BC=BD，
∴OB⊥CD，
∴OB∥AC，
∵OA=OD，
∴OF=AC=，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠BDE=∠ACB，
∵∠DBE=∠ACB，
∴△DBE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，
∵∠OBE=∠OFD=90°，
∴DF∥BE，
∴，
∴，
∵R＞0，
∴R=3，
∴AB==
∵=，
∴BE=．
【点评】此题是切线的判定，主要考查了圆周角的性质，切线的判定，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和相似，圆内接四边形的性质，解本题的关键是作出辅助线．
29．（2016?湖北襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的长．
【分析】（1）①欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可．
②首先证明OC∥DF，再证明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可．
（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解决问题．
【解答】（1）①证明：连接OC．
∵OA=OB，AC=CB，
∴OC⊥AB，
∵点C在⊙O上，
∴AB是⊙O切线．
②证明：∵OA=OB，AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC=∠OFD，
∴OC∥DF，
∴∠CDF=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC=∠CDF．
（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M．
∵ON⊥DF，
∴DN=NF=3，
在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，
∴ON==4，
∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，
∴四边形OCMN是矩形，
∴ON=CM=4，MN=OC=5，
在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，
∴CD===4．
【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．（2016?毕节市）如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，DF=，求⊙O的直径BC的长．
【分析】（1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可证得∠BCE=∠ABD，继而求得∠ABC=90°，则可证得AB是⊙O的切线；
（2）由∠A=60°，DF=，可求得AF、BF的长，易证得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
【解答】（1）证明：∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CEB=90°，
∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，
∴∠BCE=∠DCE，
即∠BCD=2∠BCE，
∵∠BCD=2∠ABD，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，
∴CB⊥AB，
∵CB为直径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠A=60°，DF=，
∴在Rt△AFD中，AF===1，AD=2
∵DF⊥AB，CB⊥AB，
∴DF∥BC，
∴∠ADF=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ACB，
∴=，
设BC=x，则=，解得x=4+6．
∴BC=4+6．
【点评】此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意证得△ADF∽△ACB是解此题的关键．
