浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．（2025高一上·拱墅期末）集合，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合．
2．（2025高一上·拱墅期末）设，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为不能推出，
所以“”不是“”的充分条件；
又因为能推出，
所以“”是“”的必要条件，
则“”是“”的必要条件非充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
3．（2025高一上·拱墅期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，，定义域为，
当时，，不符合题意，故A错误；
对于B，当时，，不符合题意，故B错误；
对于C，，定义域为，
则函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故C正确；
对于D，因为，当时，，不符合题意，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域、单调性和奇偶性以及特殊值法，从而判断找出幂函数图象可能对应的解析式.
4．（2025高一上·拱墅期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：将不等式变形可得，
因为函数是上单调递增的奇函数，
所以不等式等价于，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】由奇函数的性质结合函数的单调性，从而解抽象不等式可得实数m的取值范围.
5．（2025高一上·拱墅期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由对数函数在上单调递增，
得，
所以，
又因为对数函数在上单调递增，
所以，
则，
因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减，
所以，
则，
所以：.
故答案为：B.
【分析】由对数函数的单调性确定的取值范围，再由指数函数的图象和单调性，从而确定的取值范围，进而比较出a，b，c的大小.
6．（2025高一上·拱墅期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由题意，设且，
则，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用五点对应法求出的值，从而得出正弦型函数的解析式，再将自变量代入求出函数值.
7．（2025高一上·拱墅期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意，
可得函数在上单调递减，函数在单调递减，
且，
则，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和分段函数单调性，从而得出不等式组，进而解不等式组得出实数的取值范围.
8．（2025高一上·拱墅期末）若，则实数（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用二倍角的正弦公式和两角差的正弦公式以及已知条件，从而化简得出的值.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．（2025高一上·拱墅期末）下列运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，故A错误；
对于选项B，因为，故B错误；
对于选项C，令，则，
所以，故C正确；
对于选项D，因为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据对数的运算法则判断出选项A、选项B和选项C；利用换底公式判断出选项D，从而找出运算正确的选项.
10．（2025高一上·拱墅期末）已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图像可由的图象向左平移个单位得到
C．的对称轴为
D．在区间上的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：根据函数的部分图象，
可得，
，
再根据五点法作图，可得，，
因为，，
又因为最大值为，
∴.
则的最小正周期为，故A正确；
因为的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确；
令，则，
所以的对称轴为，故C不正确；
当时，，
则在区间上单调递增，
所以，当时，，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由正弦型函数的最小正周期公式求出的值，再由五点对应法求出的值，从而可得的解析式，再根据的图象变换、正弦型函数的对称性、正弦型函数的最值，从而逐项判断找出正确的选项．
11．（2025高一上·拱墅期末）已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（ ）
A． B．是函数的一个对称中心
C． D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：已知函数的周期为，
则.
当时，，
所以，
则，故选项A正确；
当时，，，
所以在上是偶函数，
结合函数周期性，易知函数图象关于轴对称，则函数在R上也是偶函数.
又因为函数的周期为，
所以，
则不是对称中心，故选项B错误；
因为函数的周期为，
所以，
又因为是偶函数，
所以，故选项C正确；
当时，，
则，
所以在上有两个不相等的实根，
则与在上有两个不同交点，
当时，，
则的图象是由向右平移4k个单位得到的，
当直线过点时，，
则要使与在上有两个不同交点，
所以，
则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数的周期为4，把转化为，在这个区间有对应表达式，再代入求出的值，则判断出选项A；根据是否成立，则可判断选项B；利用函数的周期性和奇偶性，则判断出选项C；当时，，是由平移得到的，从而找到直线过点时的值为，再根据两图象有两个不同交点，从而确定的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一上·拱墅期末）若，则的取值范围为 ．
【答案】.
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意，为，
根据指数函数单调性，
可得.
故答案为：.
【分析】根据指数函数单调性，从而解不等式得出实数x的取值范围.
13．（2025高一上·拱墅期末）已知，为锐角，则 ．
【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为锐角，
所以，
又因为，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】利用角的取值范围和不等式的基本性质，再根据同角三角函数基本关系式和两角差的余弦公式，从而得出的值.
14．（2025高一上·拱墅期末）已知正实数满足，则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，设，
当且仅当时取等号，
则的最小值为6.
故答案为：6.
【分析】利用“1”的代换和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．（2025高一上·拱墅期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由题意知：角的终边经过点，
∴由三角函数的定义，可知.
（2）解：由（1）可知：，
所以.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义得出的值.
（2）将分子、分母同时除以进行弦化切，再代入得出的值.
（1）由题知：角的终边经过点，
∴由三角函数的定义可知.
（2）由（1）可知：，
.
16．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求函数的最小值，及取最小值时的的值；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间．
【答案】（1）解：因为 ，
所以的最小值为，此时，，
则，.
（2）解：将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），
得到的图象，
再将的图象向右平移个单位，
得到.
由，
得函数的最小正周期为，
由，
得，，
所以，.
则函数的单调递减区间为：，.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先根据三角函数的有关公式（诱导公式、和角公式、辅助角公式）把函数化成的形式，再利用换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最小值和对应的的值.
（2）先根据三角型函数的图象变换确定函数的解析式，从而得出正弦型函数的最小正周期公式，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递减区间．
（1）.
所以的最小值为，
此时：，，即，.
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向右平移个单位，得到.
由，得函数的最小正周期为.
由，
得，，
所以，.
所以函数的单调递减区间为：，.
17．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并给予证明；
（3）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为；
（2）解：函数为奇函数，证明如下：
由（1）可知：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，则函数为奇函数；
（3）解：不等式，即，
当时，在上单调递增，，解得；
当时，在上单调递减，，解得；
综上：当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，列出不等式组求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明；
（3）讨论a的取值范围，结合函数单调性求解即可.
（1）由题意知函数满足，解得，
即函数的定义域为；
（2）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数；
（3）即，
当时，在上单调递增，有，解得；
当时，在上单调递减，有，解得；
故当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
18．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由已知条件，可得，
对称轴为：，
由图象开口向上，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）解：因为，
当时，，显然在区间上单调递增，符合题意；
当时，对称轴为：，且开口向上，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：；
当时，对称轴为：，且开口向下，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
综上所述，若函数在区间上单调递增，实数的取值范围.
（3）解：若函数在区间上有且仅存一个零点，
当时，由，解得：，符合题意；
当，对于，
若，则当时，方程有一根，符合题意；
若，① ，因为对称轴为：，又因为，
若函数在区间上有且仅存一个零点，需满足，
则，
所以；
②当 时，对称轴为：，，
若函数在区间上有且仅存一个零点，需满足，且，
则且，
解得：，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用二次函数的对称性和开口方向，从而得出函数的单调区间.
（2）由，，三种情况分类讨论结合函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
（3）分或两种情况，再结合判别式法和零点存在性定理，从而得出实数a的取值范围.
（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2），
当时，，显然在区间上单调递增，符合；
当时，对称轴为：，且开口向上，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
当时，对称轴为：，且开口向下，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，
当时，由，解得：，符合；
当，对于，若，即时，方程有一根，符合，
若，① ，因为对称轴为：，又，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，即，故：；
② ，对称轴为：，，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，且，即且，解得：；
综上实数的取值范围是
19．（2025高一上·拱墅期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似性质．
（1）判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性；
（2）（ⅰ）证明；
（ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；
（3）若函数在上最大值为0，求实数的值．
【答案】（1）解：设，其定义域为，关于原点对称，
计算：，
因为，
所以双曲余弦函数是偶函数，
设，
则
因为指数函数在上单调递增，
当时，，
则，
当时，，
则，
所以，此时，
则，
所以在上单调递减；
当时，，
则，
所以，此时，
则，
所以在上单调递增，
综上所得，双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，
在上单调递增.
（2）（ⅰ）证明：
，
所以.
（ⅱ）解：结论：.
证明如下：右边
，
所以成立.
（3）解：令，
因为，
当且仅当时，即当时取等号，
所以，
因为，，
所以
，
那么函数，
因为函数在上单调递减，
要使在上最大值为，
则在上有最小值.
函数的对称轴为，
当时，即当时，在上单调递增，
则，
由，解得；
当时，即当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
由，
得，此方程无实数解.
综上所述，实数的值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义判断双曲余弦函数的奇偶性，再利用单调性的定义，从而求出函数的单调区间.
（2）（ⅰ）根据已知条件结合指数幂的运算法则，从而化简证出.
（ⅱ）先写出一个结论，再结合指数幂的运算法则，从而化简证明.
（3）先换元，再结合二次函数的单调性和复合函数单调性，从而求出的取值范围.
（1）设，其定义域为，关于原点对称.
计算：，
因为，所以双曲余弦函数是偶函数.
设，计算的值：
因为指数函数在上单调递增，当时，，即.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递减.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递增.
综上所得，双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增.
（2）（ⅰ）
，
所以.
（ⅱ）结论：.
证明：右边
.
所以成立.
（3）令，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
因为，，
所以.
那么函数.
因为函数在上单调递减，
要使在上最大值为，则在上有最小值.
函数的对称轴为.
当，即时，在上单调递增，
则．
由，解得.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则.
由，即，此方程无实数解.
综上，实数的值为.
1 / 1浙江省杭州市下沙区杭四吴山2024-2025学年高一上学期期末数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．（2025高一上·拱墅期末）集合，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·拱墅期末）设，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
3．（2025高一上·拱墅期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·拱墅期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·拱墅期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·拱墅期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（2025高一上·拱墅期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·拱墅期末）若，则实数（ ）
A． B．2 C．1 D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）
9．（2025高一上·拱墅期末）下列运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025高一上·拱墅期末）已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图像可由的图象向左平移个单位得到
C．的对称轴为
D．在区间上的最大值为
11．（2025高一上·拱墅期末）已知函数是定义在上的以4为周期的函数，对任意整数，区间．当时，．集合在上有两个不相等的实根，则（ ）
A． B．是函数的一个对称中心
C． D．若，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一上·拱墅期末）若，则的取值范围为 ．
13．（2025高一上·拱墅期末）已知，为锐角，则 ．
14．（2025高一上·拱墅期末）已知正实数满足，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．（2025高一上·拱墅期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上.
（1）求的值；
（2）求的值.
16．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求函数的最小值，及取最小值时的的值；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间．
17．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性并给予证明；
（3）求关于的不等式的解集．
18．（2025高一上·拱墅期末）已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围．
19．（2025高一上·拱墅期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似的，我们可以定义双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似性质．
（1）判断并证明双曲余弦函数的奇偶性和单调性；
（2）（ⅰ）证明；
（ⅱ）类比正弦函数和余弦函数的和（差）角公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似结论并给出证明；
（3）若函数在上最大值为0，求实数的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合．
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为不能推出，
所以“”不是“”的充分条件；
又因为能推出，
所以“”是“”的必要条件，
则“”是“”的必要条件非充分条件.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件和充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项．
3．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，，定义域为，
当时，，不符合题意，故A错误；
对于B，当时，，不符合题意，故B错误；
对于C，，定义域为，
则函数为偶函数且在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故C正确；
对于D，因为，当时，，不符合题意，故D错误.
故答案为：C.
【分析】利用函数的定义域、单调性和奇偶性以及特殊值法，从而判断找出幂函数图象可能对应的解析式.
4．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：将不等式变形可得，
因为函数是上单调递增的奇函数，
所以不等式等价于，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】由奇函数的性质结合函数的单调性，从而解抽象不等式可得实数m的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由对数函数在上单调递增，
得，
所以，
又因为对数函数在上单调递增，
所以，
则，
因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减，
所以，
则，
所以：.
故答案为：B.
【分析】由对数函数的单调性确定的取值范围，再由指数函数的图象和单调性，从而确定的取值范围，进而比较出a，b，c的大小.
6．【答案】B
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由题意，设且，
则，
所以，
又因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据函数图象结合正弦型函数的最小正周期公式得出的值，再利用五点对应法求出的值，从而得出正弦型函数的解析式，再将自变量代入求出函数值.
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意，
可得函数在上单调递减，函数在单调递减，
且，
则，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和分段函数单调性，从而得出不等式组，进而解不等式组得出实数的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：因为，
所以
，
所以.
故答案为：C.
【分析】利用二倍角的正弦公式和两角差的正弦公式以及已知条件，从而化简得出的值.
9．【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，故A错误；
对于选项B，因为，故B错误；
对于选项C，令，则，
所以，故C正确；
对于选项D，因为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据对数的运算法则判断出选项A、选项B和选项C；利用换底公式判断出选项D，从而找出运算正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：根据函数的部分图象，
可得，
，
再根据五点法作图，可得，，
因为，，
又因为最大值为，
∴.
则的最小正周期为，故A正确；
因为的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确；
令，则，
所以的对称轴为，故C不正确；
当时，，
则在区间上单调递增，
所以，当时，，故D正确.
故答案为：ABD．
【分析】由正弦型函数的最小正周期公式求出的值，再由五点对应法求出的值，从而可得的解析式，再根据的图象变换、正弦型函数的对称性、正弦型函数的最值，从而逐项判断找出正确的选项．
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性；函数的值；图形的对称性
【解析】【解答】解：已知函数的周期为，
则.
当时，，
所以，
则，故选项A正确；
当时，，，
所以在上是偶函数，
结合函数周期性，易知函数图象关于轴对称，则函数在R上也是偶函数.
又因为函数的周期为，
所以，
则不是对称中心，故选项B错误；
因为函数的周期为，
所以，
又因为是偶函数，
所以，故选项C正确；
当时，，
则，
所以在上有两个不相等的实根，
则与在上有两个不同交点，
当时，，
则的图象是由向右平移4k个单位得到的，
当直线过点时，，
则要使与在上有两个不同交点，
所以，
则，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数的周期为4，把转化为，在这个区间有对应表达式，再代入求出的值，则判断出选项A；根据是否成立，则可判断选项B；利用函数的周期性和奇偶性，则判断出选项C；当时，，是由平移得到的，从而找到直线过点时的值为，再根据两图象有两个不同交点，从而确定的取值范围，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】.
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由题意，为，
根据指数函数单调性，
可得.
故答案为：.
【分析】根据指数函数单调性，从而解不等式得出实数x的取值范围.
13．【答案】
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为锐角，
所以，
又因为，
所以，
则
.
故答案为：.
【分析】利用角的取值范围和不等式的基本性质，再根据同角三角函数基本关系式和两角差的余弦公式，从而得出的值.
14．【答案】6
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，设，
当且仅当时取等号，
则的最小值为6.
故答案为：6.
【分析】利用“1”的代换和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
15．【答案】（1）解：由题意知：角的终边经过点，
∴由三角函数的定义，可知.
（2）解：由（1）可知：，
所以.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义得出的值.
（2）将分子、分母同时除以进行弦化切，再代入得出的值.
（1）由题知：角的终边经过点，
∴由三角函数的定义可知.
（2）由（1）可知：，
.
16．【答案】（1）解：因为 ，
所以的最小值为，此时，，
则，.
（2）解：将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），
得到的图象，
再将的图象向右平移个单位，
得到.
由，
得函数的最小正周期为，
由，
得，，
所以，.
则函数的单调递减区间为：，.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）先根据三角函数的有关公式（诱导公式、和角公式、辅助角公式）把函数化成的形式，再利用换元法和正弦函数求最值的方法，从而得出正弦型函数的最小值和对应的的值.
（2）先根据三角型函数的图象变换确定函数的解析式，从而得出正弦型函数的最小正周期公式，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而得出正弦型函数的单调递减区间．
（1）.
所以的最小值为，
此时：，，即，.
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向右平移个单位，得到.
由，得函数的最小正周期为.
由，
得，，
所以，.
所以函数的单调递减区间为：，.
17．【答案】（1）解：要使函数有意义，则，解得，
即函数的定义域为；
（2）解：函数为奇函数，证明如下：
由（1）可知：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，则函数为奇函数；
（3）解：不等式，即，
当时，在上单调递增，，解得；
当时，在上单调递减，，解得；
综上：当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据对数函数有意义，列出不等式组求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义即可判断和证明；
（3）讨论a的取值范围，结合函数单调性求解即可.
（1）由题意知函数满足，解得，
即函数的定义域为；
（2）为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
，故为奇函数；
（3）即，
当时，在上单调递增，有，解得；
当时，在上单调递减，有，解得；
故当时，关于的不等式的解集为；
当时，关于的不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：由已知条件，可得，
对称轴为：，
由图象开口向上，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
（2）解：因为，
当时，，显然在区间上单调递增，符合题意；
当时，对称轴为：，且开口向上，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：；
当时，对称轴为：，且开口向下，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
综上所述，若函数在区间上单调递增，实数的取值范围.
（3）解：若函数在区间上有且仅存一个零点，
当时，由，解得：，符合题意；
当，对于，
若，则当时，方程有一根，符合题意；
若，① ，因为对称轴为：，又因为，
若函数在区间上有且仅存一个零点，需满足，
则，
所以；
②当 时，对称轴为：，，
若函数在区间上有且仅存一个零点，需满足，且，
则且，
解得：，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）利用a的值得出函数的解析式，再利用二次函数的对称性和开口方向，从而得出函数的单调区间.
（2）由，，三种情况分类讨论结合函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
（3）分或两种情况，再结合判别式法和零点存在性定理，从而得出实数a的取值范围.
（1）由条件可得，对称轴为：，由开口向上，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2），
当时，，显然在区间上单调递增，符合；
当时，对称轴为：，且开口向上，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
当时，对称轴为：，且开口向下，
若函数在区间上单调递增，需满足：，
解得：，
综上若函数在区间上单调递增，实数的取值范围；
（3）若函数在区间上有且仅存一个零点，
当时，由，解得：，符合；
当，对于，若，即时，方程有一根，符合，
若，① ，因为对称轴为：，又，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，即，故：；
② ，对称轴为：，，
若函数在区间上有且仅存一个零点，
需满足：，且，即且，解得：；
综上实数的取值范围是
19．【答案】（1）解：设，其定义域为，关于原点对称，
计算：，
因为，
所以双曲余弦函数是偶函数，
设，
则
因为指数函数在上单调递增，
当时，，
则，
当时，，
则，
所以，此时，
则，
所以在上单调递减；
当时，，
则，
所以，此时，
则，
所以在上单调递增，
综上所得，双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，
在上单调递增.
（2）（ⅰ）证明：
，
所以.
（ⅱ）解：结论：.
证明如下：右边
，
所以成立.
（3）解：令，
因为，
当且仅当时，即当时取等号，
所以，
因为，，
所以
，
那么函数，
因为函数在上单调递减，
要使在上最大值为，
则在上有最小值.
函数的对称轴为，
当时，即当时，在上单调递增，
则，
由，解得；
当时，即当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
由，
得，此方程无实数解.
综上所述，实数的值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义判断双曲余弦函数的奇偶性，再利用单调性的定义，从而求出函数的单调区间.
（2）（ⅰ）根据已知条件结合指数幂的运算法则，从而化简证出.
（ⅱ）先写出一个结论，再结合指数幂的运算法则，从而化简证明.
（3）先换元，再结合二次函数的单调性和复合函数单调性，从而求出的取值范围.
（1）设，其定义域为，关于原点对称.
计算：，
因为，所以双曲余弦函数是偶函数.
设，计算的值：
因为指数函数在上单调递增，当时，，即.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递减.
当时，，则，即，
此时，即，
所以在上单调递增.
综上所得，双曲余弦函数是偶函数，在上单调递减，在上单调递增.
（2）（ⅰ）
，
所以.
（ⅱ）结论：.
证明：右边
.
所以成立.
（3）令，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
因为，，
所以.
那么函数.
因为函数在上单调递减，
要使在上最大值为，则在上有最小值.
函数的对称轴为.
当，即时，在上单调递增，
则．
由，解得.
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则.
由，即，此方程无实数解.
综上，实数的值为.
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